大学数学基礎議論

Euler constantに収束する極限(既出なら既出ですまん)

ゼータ関数,極限,Euler Constant

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最近は山岳積みよりも迷走砲なArsenic(?)です。
まぁ極限します。
友達と議論した結果を載せているので、信憑性は低いかもしれませんが。
wolfram君に頼めばよかったんですが、固まってしまったので最悪です。

そんな問題(どんな問題?)

僕の友達が持ってきた。
次を示す。

Euler Constant(多分あってる)

$lim_{m \to \infty} [- \frac{1}{2 m} + \ln (\frac{e}{m}) + \sum_{n = 2}^{m} (\frac{1}{n} - \frac{ζ (1 - n)}{m^{n}})] = γ$

既存かな?僕ら今日これ議論したんですけど..。
まあいいや。

そんな中、僕の友達s(複数形)が以下のような考えを示した。

考え(F、M)

こっちの方が僕は好き!

部分的に考える。
次の二つの事柄がいえる。
$lim_{m \to \infty} [- \frac{1}{2 m}] = 0$
$lim_{m \to \infty} [\log (\frac{e}{m}) + \sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n}] = lim_{m \to \infty} [\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n} - \log m] = γ$
したがって、あとは、 $lim_{m \to \infty} [\frac{ζ (1 - n)}{m^{n}}] = 0 \dots ①$ を示す。
次の関数を定義する。
Def:
$f_{m} (n) : = {\begin{cases} 4 \sqrt{\frac{π}{n}} {(\frac{n}{π m e})}^{2 n} w h e n n ≦ [\frac{m}{2}] \\ 4 \sqrt{\frac{π}{n}} {(\frac{n}{2 π e})}^{2 n} w h e n n > [\frac{m}{2}] \end{cases}$
この時、
$\sum_{n = 1}^{\infty} f_{0} (n) ≦ \frac{4 \sqrt{π}}{4 π^{2} e^{2} - 1}$
$f_{m} (n) \to 0$ の時、単調に $m \to 0$
したがって、dominated convergence theoremより、
$lim_{m \to \infty} \sum_{n = 1}^{m} f_{m} (n) = 0 \dots ②$
②より、①が示された。

少しだけ補足をしておくと、

$\begin{aligned} | \sum_{n = 1}^{m} \frac{ζ (1 - n)}{m^{n}} | & = | \sum_{n = 1}^{⌊ \frac{m}{2} ⌋} \frac{ζ (1 - 2 n)}{m^{2 n}} | \\ = | \sum_{n = 1}^{⌊ \frac{m}{2} ⌋} - \frac{B_{2 n}}{2 n m^{n}} | \\ = | \sum_{n = 1}^{⌊ \frac{m}{2} ⌋} (- 1)^{n} ζ (2 n) \frac{(2 n)!}{n (2 π m)^{2} n} | \\ ≦ \sum_{n = 1}^{⌊ \frac{m}{2} ⌋} 2 \frac{\sqrt{4 π n} (2 n)^{2 n} e^{- 2 n}}{n (2 π m)^{2 n}} \\ = \sum_{n = 1}^{⌊ \frac{m}{2} ⌋} 4 \sqrt{\frac{π}{n}} {(\frac{n}{π m e})}^{2 n} \end{aligned}$