Euler constantに収束する極限(既出なら既出ですまん)
最近は山岳積みよりも迷走砲なArsenic(?)です。
まぁ極限します。
友達と議論した結果を載せているので、信憑性は低いかもしれませんが。
wolfram君に頼めばよかったんですが、固まってしまったので最悪です。
そんな問題(どんな問題?)
僕の友達が持ってきた。
次を示す。
$$\lim_{m \to \infty} \left[- \dfrac{1}{2m} +\ln \left( \dfrac{e}{m}\right)+\sum_{n=2}^m \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{\zeta(1-n)}{m^n} \right)\right]=\gamma$$
既存かな?僕ら今日これ議論したんですけど..。
まあいいや。
そんな中、僕の友達s(複数形)が以下のような考えを示した。
考え(F、M)
部分的に考える。
次の二つの事柄がいえる。
$$\lim_{m \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{2m}\right]=0$$
$$\lim_{m \to \infty} \left[ \log \left( \dfrac{e}{m}\right)+\sum_{n=2}^{m} \dfrac{1}{n}\right]=\lim_{m \to \infty} \left[ \sum_{n=1}^{m} \dfrac{1}{n}-\log m\right]=\gamma$$
したがって、あとは、$$\lim_{m \to \infty} \left[ \dfrac{\zeta(1-n)}{m^n} \right]=0 \cdots①$$を示す。
次の関数を定義する。
Def:
$$f_m(n)\coloneqq \begin{cases}
4\sqrt{\dfrac{\pi}{n}}\left( \dfrac{n}{\pi m e}\right)^{2n} when n ≦\left[\dfrac{m}{2} \right] \\
4\sqrt{\dfrac{\pi}{n}}\left( \dfrac{n}{2 \pi e}\right)^{2n} when n >\left[\dfrac{m}{2} \right]
\end{cases}
$$
この時、
$$\sum_{n=1}^{\infty} f_0(n)≦\dfrac{4 \sqrt{\pi}}{4 \pi^2 e^2-1}$$
$f_m(n) \to 0$の時、単調に$m \to 0$
したがって、dominated convergence theoremより、
$$\lim_{m \to \infty} \sum_{n=1}^{m} f_m(n)=0\cdots②$$
②より、①が示された。
少しだけ補足をしておくと、
$$ \begin{align} \left| \sum_{n=1}^{m}\dfrac{\zeta(1-n)}{m^n}\right| &=\left| \sum_{n=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} \dfrac{\zeta(1-2n)}{m^{2n}}\right| \\ &=\left|\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} -\dfrac{B_{2n}}{2n m^n} \right| \\ &= \left| \sum_{n=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} (-1)^n \zeta(2n) \dfrac{(2n)!}{n(2 \pi m)^2n}\right| \\ &≦\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} 2 \dfrac{\sqrt{4 \pi n}(2n)^{2n} e^{-2n}}{n(2 \pi m)^{2n}} \\ &=\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} 4 \sqrt{\dfrac{\pi}{n}} \left( \dfrac{n}{\pi m e} \right)^{2n} \end{align}$$
ただし、$B_n$はBernoulli数
dominated convergence theoremはLebesgue優収束定理
結論
ゼータ関数や$\gamma$はいろいろな表示方法があるので、もうちょいいろいろな示し方があるかもです.
別解等
「こんな方法どうかな?」みたいなやつ...マジでほしいです。
どんなのでも構いません!
ラスト(締め)
内容薄いし命題簡単だし...。
$\gamma$はよくわかりません。
おわりぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃ
何かあったら遠慮なく。
また、ほかにももう一つくらい友達から示された証明方法みたいなのがあります。時間があったら載せます。