東大数理院試2025年度専門B問12解答
東大数理の院試（2025年度専門B問12）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
実数値関数$u \in C^\infty(\RR \times (0, \infty))$は
$$
\begin{cases}
u_t(x, t) + u(x, t)u_x(x, t) = u_{xxx}(x, t) & (x, t) \in \RR \times (0, \infty) \\
u(x + 1, t) = u(x, t) & (x, t) \in \RR \times (0, \infty)
\end{cases}
$$
を満たすとする．以下の問に答えよ．
- $t \in (0, \infty)$に対して，
$$ I_1(t) = \int_0^1 u(x, t)^2 dx $$
とおく．$I_1(t)$が$t$によらないことを示せ． - $a \in \RR, t \in (0, \infty)$に対して，
$$ I_2(t) = \int_0^1 (u_x(x, t)^2 + au(x, t)^3)dx $$
とおく．$I_2(t)$が$t$によらないような$a$を一つ求めよ． - 関数$u$は$\RR \times (0, \infty)$上で有界であることを示せ．ただし必要ならば，ある定数$M \geq 0$が存在して任意の$t \in (0, \infty)$に対して
$$ \max_{x \in [0, 1]} u(x, t)^2 \leq M\int_0^1 (u(x, t)^2 + u_x(x, t)^2)dx $$
が成り立つことを用いて良い．
(1)
$I_1$の積分区間が有限であることと$u \in C^\infty$より，$I_1$は積分記号下で微分できる．よって部分積分と$u$の周期性により
\begin{align*}
I_1'(t)
&= \int_0^1 2uu_t dx
= \int_0^1 2u(u_{xxx} - uu_x)dx \\
&= \int_0^1 2(-u_x u_{xx} - u^2 u_x)dx
= \bigg( -(u_x)^2 - \frac{2}{3} u^3 \bigg) \bigg|_0^1
= 0.
\end{align*}
(2)
(1) と同様にして
\begin{align*}
\int_0^1 2u_x u_{xt}dx
&= \int_0^1 2u_x(u_{xxx} - uu_x)_x dx
= \int_0^1 -2u_{xx}(u_{xxx} - uu_x)dx
= \int_0^1 2uu_x u_{xx}dx, \\
\int_0^1 3u^2 u_t dx
&= \int_0^1 3u^2 (u_{xxx} - uu_x)dx
= -\int_0^1 (3u^2)_x u_{xx} dx - \frac{3}{4} u^4 \bigg|_0^1
= \int_0^1 -6uu_x u_{xx} dx
\end{align*}
だから
$$
I_2'(t)
= \int_0^1 (2u_x u_{xt} + 3au^2 u_t)dx
= (2 - 6a)\int_0^1 uu_x u_{xx} dx.
$$
よって$a = 1 / 3.$
(3)
$\dis{M(t) = \max_{x \in [0, 1]} |u(x, t)|}$とおくと，各$t > 0$に対し$M(t) < \infty$である．また定数$C > 0$があって任意の$t > 0$に対し
\begin{align*}
CM(t)^2
&\leq \int_0^1 (u^2 + (u_x)^2 )dx
= I_1(1) + I_2(1) - \frac{1}{3}\int_0^1 u^3 dx \\
&\leq I_1(1) + I_2(1) + \frac{1}{3}\int_0^1 M(t)u^2 dx
= I_1(1) + I_2(1) + \frac{I_1(1)}{3} M(t)
\end{align*}
となる．よってある有限な閉区間$[a, b]$があって$M(t) \in [a, b]$となるから示された．
(補足)
(3) にある不等式は，例えばEvansのPDE本のP302, Theorem2 にある．
また$v(x, t) = u(ix, it)$とおけば$v$は$v_t + vv_x + v_{xxx} = 0$を満たすが，
$$
\max_{x \in I}\{ |v|, |v'|, \dots, |v^{(n - 1)}|\}, \qquad \int_0^1 |v^{(n)}|^2 dx
$$
（微分は$x$についての偏微分）は (1), (2) のような$n + 1$個の保存量を用いて上から抑えられるらしい．
（P.D.Lax, Periodic solutions of the KdV equation, Commun.Pure Appl.Math.28, 141-188 (1975), Theorem 3.1.）
