東大数理院試2024年度専門A問4解答

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東大数理の院試（2024年度専門A問4）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2024年度専門A問4）

実数 $t$ に対して， $t$ を超えない最大の整数を $[t]$ で表す． $0 < α \leq 1$ を満たす実数 $α$ に対して，広義積分 $I_{α}, J_{α}$ を次で定める．
$\begin{aligned} I_{α} & = \int_{0}^{1} (\frac{α}{x} - [\frac{α}{x}]) d x, \\ J_{α} & = \int_{0}^{1} (α [\frac{1}{x}] - [\frac{α}{x}]) d x . \end{aligned}$
以下の問に答えよ．

$α = 1$ のとき， $I_{α}$ は収束し，その値が
$\sum_{n = 1}^{\infty} {- \frac{1}{n + 1} - \log (1 - \frac{1}{n + 1})}$
に等しいことを示せ．
$I_{α} = α I_{1} - α \log α$ を示せ．
$J_{α}$ を求めよ．

(1)
$x = t^{- 1}$ と置換すると
$I_{1} = \int_{1}^{\infty} \frac{t - [t]}{t^{2}} d t = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_{k}^{k + 1} \frac{t - [t]}{t^{2}} d t = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{t}{(t + k)^{2}} d t .$
ここで
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{t}{(t + k)^{2}} d t & = \int_{0}^{1} (\frac{1}{t + k} - \frac{k}{(t + k)^{2}}) d t = \log (t + k) + \frac{k}{t + k} |_{0}^{1} \\ = - \log \frac{k}{k + 1} - \frac{1}{k + 1} = - \log (1 - \frac{1}{k + 1}) - \frac{1}{k + 1} \end{aligned}$
であるから示された．
また $(t - [t]) / t^{2}$ は $t \to \infty$ の時 $O (t^{- 2})$ だから， $I_{1}$ は収束する．

(2)
$x = α t$ と置換すると
$I_{α} = \int_{0}^{1 / α} (\frac{1}{t} - [\frac{1}{t}]) α d t = α I_{1} + α \int_{1}^{1 / α} (\frac{1}{t} - [\frac{1}{t}]) d t = α I_{1} - α \log α - α \int_{1}^{1 / α} [\frac{1}{t}] d t .$
右辺第 $3$ 項は $(1, 1 / α]$ において $0 < 1 / t < 1$ だから，積分は $0.$ よって示された．