東大数理の院試（2024年度専門A問4）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
実数$t$に対して，$t$を超えない最大の整数を$[t]$で表す．$0 < \alpha \leq 1$を満たす実数$\alpha$に対して，広義積分$I_\alpha, J_\alpha$を次で定める．
\begin{align*}
I_\alpha &= \int_0^1 \bigg( \frac{\alpha}{x} - \bigg[ \frac{\alpha}{x}\bigg] \bigg) dx, \\
J_\alpha &= \int_0^1 \bigg( \alpha \bigg[ \frac{1}{x}\bigg] - \bigg[ \frac{\alpha}{x}\bigg] \bigg) dx.
\end{align*}
以下の問に答えよ．
$\alpha = 1$のとき，$I_\alpha$は収束し，その値が
$$
\sum_{n = 1}^\infty \bigg\{ -\frac{1}{n + 1} - \log \bigg( 1 - \frac{1}{n + 1}\bigg)\bigg\}
$$
に等しいことを示せ．
$I_\alpha = \alpha I_1 - \alpha \log \alpha$を示せ．
$J_\alpha$を求めよ．
(1)
$x = t^{-1}$と置換すると
$$
I_1
= \int_1^\infty \frac{t - [t]}{t^2} dt
= \sum_{k = 1}^\infty \int_k^{k + 1} \frac{t - [t]}{t^2} dt
= \sum_{k = 1}^\infty \int_0^1 \frac{t}{(t + k)^2} dt.
$$
ここで
\begin{align*}
\int_0^1 \frac{t}{(t + k)^2}dt
&= \int_0^1 \bigg( \frac{1}{t + k} - \frac{k}{(t + k)^2} \bigg) dt
= \log(t + k) + \frac{k}{t + k} \bigg|_0^1 \\
&= -\log \frac{k}{k + 1} - \frac{1}{k + 1}
= -\log \bigg( 1 - \frac{1}{k + 1} \bigg) - \frac{1}{k + 1}
\end{align*}
であるから示された．
また$(t - [t]) / t^2$は$t \to \infty$の時$O(t^{-2})$だから，$I_1$は収束する．
(2)
$x = \alpha t$と置換すると
$$
I_\alpha
= \int_0^{1 / \alpha} \bigg( \frac{1}{t} - \bigg[ \frac{1}{t}\bigg] \bigg) \alpha dt
= \alpha I_1 + \alpha \int_1^{1 / \alpha} \bigg( \frac{1}{t} - \bigg[ \frac{1}{t}\bigg] \bigg) dt
= \alpha I_1 - \alpha \log \alpha - \alpha \int_1^{1 / \alpha} \bigg[ \frac{1}{t} \bigg] dt.
$$
右辺第$3$項は$(1, 1 / \alpha]$において$0 < 1 / t < 1$だから，積分は$0.$よって示された．
(3)
$$
J_\alpha
= \alpha \int_0^1 \bigg( \bigg[ \frac{1}{x}\bigg] - \frac{1}{x} \bigg) dx
+ \int_0^1 \bigg( \frac{\alpha}{x} - \bigg[ \frac{\alpha}{x}\bigg] \bigg) dx
= -\alpha I_1 + I_\alpha
= -\alpha \log \alpha.
$$