大学数学基礎解説

ゼータ関数の極限で遊ぶ

イータ関数,ゼータ関数,極限

176

ゼータ関数の極限で遊ぶ

どうも、らららです。
ゼータ関数の極限を求めていきます。

$lim_{s \to 1} (s - 1)^{2} ζ^{'} (s) = - 1$

この記事ではこの極限の証明を書いていきます。

リーマンゼータ関数

$ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} (Re (s) > 1)$

大丈夫です、今回は発散級数を収束させません

イータ関数

$η (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{s}} (Re (s) > 1)$

イータ関数とゼータ関数の関係式があります。

$η (s) = (1 - 2^{1 - s}) ζ (s)$

証明は読者への課題とします。
偶奇分けすると証明できます。

イータ関数の特殊値を紹介します。

$lim_{s \to 1} η (s) = \log 2$

$η (s)$ の定義域の $Re (s) > 1$ を守るために極限をとっている

証明は読者への課題とする。
$\log (x + 1)$ のマクローリン展開を考えれば証明できる。

本題のゼータ関数の極限の証明をしていく

$lim_{s \to 1} (s - 1)^{2} ζ^{'} (s) = lim_{s \to 1} \frac{ζ^{'} (s)}{\frac{1}{(s - 1)^{2}}}$
$\frac{d}{d s} \frac{1}{1 - s} = \frac{1}{(s - 1)^{2}}$ に注意してロピタルの定理を用いると
$\begin{aligned} lim_{s \to 1} \frac{ζ^{'} (s)}{\frac{1}{(s - 1)^{2}}} & = lim_{s \to 1} \frac{ζ (s)}{\frac{1}{1 - s}} \\ = lim_{s \to 1} (1 - s) ζ (s) \\ = lim_{s \to 1} \frac{1 - s}{1 - 2^{1 - s}} (1 - 2^{1 - s}) ζ (s) \\ = lim_{s \to 1} \frac{1 - s}{1 - 2^{1 - s}} η (s) \\ = \log 2 lim_{s \to 1} \frac{1 - s}{1 - 2^{1 - s}} \\ = \log 2 lim_{s \to 0} \frac{s}{1 - 2^{s}} \\ = \log 2 lim_{s \to 0} \frac{1}{- 2^{s} \log 2} \\ = - 1 \end{aligned}$