ゼータ関数の極限で遊ぶ
ゼータ関数の極限で遊ぶ
どうも、らららです。
ゼータ関数の極限を求めていきます。
$$\lim_{s\to1}(s-1)^2\zeta’(s)=-1$$
この記事ではこの極限の証明を書いていきます。
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}\quad(\mathrm{Re}(s)>1)$$
大丈夫です、今回は発散級数を収束させません
$$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\quad(\mathrm{Re}(s)>1)$$
イータ関数とゼータ関数の関係式があります。
$$\eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)$$
証明は読者への課題とします。
偶奇分けすると証明できます。
イータ関数の特殊値を紹介します。
$$\lim_{s\to1}\eta(s)=\log 2$$
$\eta(s)$の定義域の$\mathrm{Re}(s)>1$を守るために極限をとっている
証明は読者への課題とする。
$\log(x+1)$のマクローリン展開を考えれば証明できる。
本題のゼータ関数の極限の証明をしていく
$$\lim_{s\to1}(s-1)^2\zeta’(s)=\lim_{s\to1}\frac{\zeta’(s)}{\frac1{(s-1)^2}}$$
$\di\frac{d}{ds}\frac{1}{1-s}=\frac{1}{(s-1)^2}$に注意してロピタルの定理を用いると
\begin{align}
\lim_{s\to1}\frac{\zeta’(s)}{\frac1{(s-1)^2}}&=\lim_{s\to1}\frac{\zeta(s)}{\frac1{1-s}}
\\&=\lim_{s\to1}(1-s)\zeta(s)
\\&=\lim_{s\to1}\frac{1-s}{1-2^{1-s}}\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)
\\&=\lim_{s\to1}\frac{1-s}{1-2^{1-s}}\eta(s)
\\&=\log2\lim_{s\to1}\frac{1-s}{1-2^{1-s}}
\\&=\log2\lim_{s\to0}\frac{s}{1-2^s}
\\&=\log2\lim_{s\to0}\frac{1}{-2^s\log 2}
\\&=-1
\end{align}
でたー！！
ちなみにゼータ関数のローラン展開でも証明できます。
(あまり頭を使わず脳死で解ける方法)
おしまい！