円盤、多角形、滑らかな境界を持つさまざまな形の太鼓を考えてみよう。
どのような形が最も良い音を響かせるだろうか?一般的に、「うなり」のある音は良い音とは感じにくい。太鼓と聞いて円盤を思い浮かべる人も多いかもしれないが、その円盤の対称性が「音のうなり」に関係している可能性がある。
まず、最も単純な図形のひとつである三角形について考えてみよう[図1]。
三角形の太鼓
三角形の太鼓が最も良い音を鳴らすのは、どのような形の三角形のときだろうか?
本ノートでは、三角形の太鼓の中でも特に対称性の高い正三角形が、ある意味でうなりのない最も良い音を鳴らすことを数学的に証明することを試みる。
太鼓の音は、ラプラシアンのディリクレ固有値問題によってモデル化される。倍音は各固有振動モードに対応しており、そのモードは膜に関連するラプラシアンのディリクレ固有値によって決まる。
ラプラシアンのディリクレ固有値問題は、有界領域
ここで
ラプラシアンの固有値は可算無限個存在し、非減少の実数列を形成する。第一固有値
物理的には、太鼓の倍音の周波数
三角形の太鼓における第2、第3固有値
が知られているMcCartin。このとき、うなりの周波数は
であり、うなりは発生しない。したがってその意味で,正三角形の太鼓は「良い音」を鳴らすことが分かる。
では三角形をわずかに歪めるとどうなるか?実は歪んだ三角形においては
実際に例えば、次の頂点を持つ三角形
頂点
このとき、
であるため、うなりが発生することがわかる。
三角形
それでは任意の歪な三角形
具体的には次の予想を証明することはできるか?:
正三角形以外の三角形に対して、ディリクレ第2固有値
ここで
Lehmann-Goerisch Methodを用いるような手法では、与えられた
プレプリントendoliuでは,「固有値の差分商」を精度保証付き数値計算で分離することによって
任意の
正三角形
endoliuでは,重複固有値の方向微分公式に良く似た「固有値の差分商公式」を新しく導出し,固有値問題の精度保証付き計算の技術を用いて差分商公式を精度保証することにより,上記の評価を得た.
最後に差分商公式の主張について簡単に説明する.
パラメータ
であると仮定する。
ここで、
また、
と定める.
さらに、固有値の差分商を
と表し,次のように
これらの設定のもと,以下の差分商公式が成り立つ:
このとき、差分商
さらに、摂動された領域
ここで、
通常,近接固有値やその固有ベクトルの挙動を把握することは固有値問題の解析において非常に困難なことであるが,固有値の差分商に関する情報を用いることにより,近接固有値の挙動を追跡することができる.