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久保演習 - 第一章 - 例題１

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

磁性体をコイルの中に入れ、コイルに電流を通して磁場を作り、磁性体を磁化する。簡単のため磁性体内で磁場$\mathbf{H}$、磁化$\mathbf{M}$は一様であるとする。磁化を生ぜしめるために電源がなさなければいけない仕事は、磁性体の単位体積当たり
$$ A=\int_0^M \mathbf{H}\cdot d\mathbf{M} $$
であることを示せ。ただし、磁化によって磁性体は変形しないものとする。

コイルという装置を通して$\delta A= \mathbf{H}\cdot d\mathbf{M}$という関係式を導くのは、なんだかピストンという装置を通して$\delta A = P\cdot dV$という関係式を導くのと似てますね。さて実際にやってみましょう。

解答

$H=nJ$、$B=\mu_0 H + M$、$d\Phi = n\sigma l\cdot dB=nV\cdot dB$より、仕事としては、
$$ \frac{d\Phi}{dt}\times J \cdot dt = V\,dB=V(\mu_0 H\cdot dH + H\cdot dM)=d[\mu_0VH^2]+VH\cdot dM $$
ここで、右辺第一項は磁場に対しての仕事なので、今は（磁化を生むために必要な仕事を考えているので）考えなくてもよい。よって単位体積当たり、
$$\delta A=H\cdot dM$$であることが分かり、積分して、問題の答えを得る。