複素数においての素数 条件編
複素整数においての素元を考える。
基礎知識
$可換環Rの元pにおいて、任意の a,b∈R について もし p が ab を割り切るなら、必ず a か b のどちらかを割り切るときpを素元という。$
ある複素数のノルムは$N(a+bi)$で表し、それは原点からの距離の2乗である。
$N(a+bi)=a^2+b^2$
N(xy)=N(x) N(y)
複素整数においての素元
複素整数になるための必要条件は以下の2つのうちどちらか1つを満たすものである。
・複素数ノルムが整数においての素元（素数）である数。
例)$1+i$ ($1^2+1^2=2⇨素数$)
・整数においての素元（素数）が4k+3と表せる数。
例)$7$ ($4・1+3 = 7$)
$N(a+bi)=p $ (pは素数)
とする。
そして
$a+bi=uv$
と分解できると仮定する。
するとノルムの性質から
$p=N(a+bi)=N(u)N(v)$
となる。
でも$p$は素数だから、 積が$p$になるのは
$ N(u)=1, N(v)=p$
$N(u)=p, N(v)=1$
のどちらかしかない。
ノルム1である複素整数$±1,±i$ は単元であるため、
素元はもう一方しかないため、自身が素元となる。
ノルムが素数のガウス整数は、 分解しようとしても単元しか出てこない。 だから素元になる。
素数は複素整数で分解できるなら、
$p=(a+bi)(a−bi)$
となるはずである。
ノルムの性質より
$N(a+bi)=a^2+b^2$
であり、
$ N(a+bi)N(a−bi)=N(p)=p^2$
さらに
$N(a−bi)=N(a+bi)$
だから
$ N(a+bi)^2=p^2$
よって
$ N(a+bi)=p$
となる。
よって「$p$が複素整数で分解できる」ためには
$p=a^2+b^2$
となる整数解が必要である。
素数$p$が平方和$p=a^2+b^2$で表せるのは
$p=2$または $p≡1(mod4)$のときだけである。
つまり
$p≡3(mod4)$
の素数は平方和にならない。
よって
$3k+4$は複素数で分解できないため、素元となる。
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