東大数理院試2004年度専門問4解答

$A^\times \cong \ZZ / p^2 \ZZ$となる$A$が存在したとする．$|A^\times| = p^2$は奇数だから$-1 \in A^\times$の位数も奇数．よって$-1 = 1$だから$A$の標数は$2$である．$A^\times$の生成元を$g$とし，環準同型 $\varphi : \FF_2[x] \to A$を$x \mapsto g$で定める．$\Ker \varphi$は$\FF_2[x]$のイデアルなので，一つの$f \in \FF_2[x]$で生成される．$f_0(x) = x^{p^2} - 1$とおくと$(f_0) \subset \Ker \varphi$であるから$f_0$は$f$で割り切れる．また$f_0'(x) = p^2 x^{p^2 - 1} \not= 0 \, (x \in A \setminus \{ 0\})$だから$f_0$は重根を持たない．よって$f$も重根を持たないから，$\FF_2$上で既約かつどの二つも互いに素な多項式$f_1, \dots, f_n$があって$f = f_1 \cdots f_n$とおける．従って準同型定理と中国剰余定理から
\begin{align*} \IIm \varphi &\cong \FF_2[x] / (f_1 \cdots f_n) \\ &\cong \FF_2[x] / (f_1) \times \cdots \times \FF_2[x] / (f_n) \\ &\cong \FF_{2^{d_1}} \times \cdots \times \FF_{2^{d_n}}. \end{align*}
ただし$d_i = \deg f_i$とおいた．$x \not\in \Ker \varphi$であること，また$g$の位数は$p^2 > 1$だから $x - 1 \not\in \Ker \varphi$であることから$d_i \geq 2$である．
ここで$(\IIm \varphi)^\times = A^\times$を示す．$\IIm \varphi \subset A$より$(\IIm \varphi)^\times \subset A^\times$である．逆に$u \in A^\times$なら$v \in A^\times$が存在して$uv = 1$となる．$\varphi|_{R^\times} : R^\times \to A^\times$は全射だから，$u', v' \in R^\times$であって$\varphi(u') = u, \varphi(v') = v$となるものが存在する．この時$1 = uv = \varphi(u')\varphi(v')$だから$u = \varphi(u') \in (\IIm \varphi)^\times.$よって$A^\times \subset (\IIm \varphi)^\times$となるから示された．
以上から
\begin{align*} A^\times &\cong (\FF_{2^{d_1}} \times \cdots \times \FF_{2^{d_n}})^\times \\ &\cong \FF_{2^{d_1}}^\times \times \cdots \times \FF_{2^{d_n}}^\times \\ &\cong \ZZ / (2^{d_1} - 1)\ZZ \times \cdots \times \ZZ / (2^{d_n} - 1)\ZZ \end{align*}
だから，位数を比較して$p^2 = (2^{d_1} - 1)\cdots (2^{d_n} - 1).$これより$n \leq 2$である．$\bmod 4$で見ると，$d_i \geq 2$より$1 \equiv (-1)^n$なので$n = 2.$この時$2^{d_i} - 1 > 1$より$2^{d_1} - 1 = 2^{d_2} - 1 = p$であるが，$A^\times \cong (\ZZ / p\ZZ)^2 \not\cong \ZZ / p^2 \ZZ$となって矛盾．