中間値の定理を二分法的な方法で証明

$d = 0, f(a) \le 0 \le f(b)$の場合のみを示せばよい. $a_0 = a, b_0 = b$とし, 任意の$n \ge 1$に対し
\begin{align} a_{n + 1} \coloneqq \begin{cases} \frac{a_n + b_n}{2} & (f(\frac{a_n + b_n}{2}) < 0)\\ a_n & (f(\frac{a_n + b_n}{2}) > 0) \end{cases}\\ b_{n + 1} \coloneqq \begin{cases} \frac{a_n + b_n}{2} & (f(\frac{a_n + b_n}{2}) > 0)\\ b_n & (f(\frac{a_n + b_n}{2}) < 0) \end{cases} \end{align}
と定義する. ただし, ある$n$に対し$f(a_n) = d$または$f(b_n) = d$となるなら, $c = a_n$ (または$b_n$) とする. このとき, 数列$(a_n)_{n \ge 0}$と$(b_n)_{n \ge 0}$はどちらも有界で単調だから, 極限値が存在する.- 定義により$b_n > a_n\ (\forall n)$であり, $b_{n + 1} - a_{n + 1} = (b_n + a_n) / 2$であるから, $\lim_{n \to \infty} b_n - \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (b_0 - a_0) / 2^{n - 1} = 0$. それゆえ$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$である. $c = \lim_{n \to \infty} a_n$とする. このとき, $0 < f(a_n) < f(c) < f(b_n) < 0$だから$0 \le \lim_{n \to \infty} f(a_n) \le f(c) \le \lim_{n \to \infty} f(b_n) \le 0$. ゆえに$f(c) = 0$である.