中間値の定理を二分法的な方法で証明

中間値の定理

$f (x)$ を区間 $[a, b]$ 上で連続な関数とするとき, 任意の $f (a) \leq d \leq f (b)$ (または $f (a) \geq d \geq f (b)$ ) に対しある $c \in [a, b]$ が存在して $f (c) = d$ となる.

$d = 0, f (a) \leq 0 \leq f (b)$ の場合のみを示せばよい. $a_{0} = a, b_{0} = b$ とし, 任意の $n \geq 1$ に対し
$\begin{array}{r} a_{n + 1} : = {\begin{cases} \frac{a_{n} + b_{n}}{2} & (f (\frac{a_{n} + b_{n}}{2}) < 0) \\ a_{n} & (f (\frac{a_{n} + b_{n}}{2}) > 0) \end{cases} \\ b_{n + 1} : = {\begin{cases} \frac{a_{n} + b_{n}}{2} & (f (\frac{a_{n} + b_{n}}{2}) > 0) \\ b_{n} & (f (\frac{a_{n} + b_{n}}{2}) < 0) \end{cases} \end{array}$
と定義する. ただし, ある $n$ に対し $f (a_{n}) = d$ または $f (b_{n}) = d$ となるなら, $c = a_{n}$ (または $b_{n}$ ) とする. このとき, 数列 $(a_{n})_{n \geq 0}$ と $(b_{n})_{n \geq 0}$ はどちらも有界で単調だから, 極限値が存在する.- 定義により $b_{n} > a_{n} (\forall n)$ であり, $b_{n + 1} - a_{n + 1} = (b_{n} + a_{n}) / 2$ であるから, $lim_{n \to \infty} b_{n} - lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} (b_{0} - a_{0}) / 2^{n - 1} = 0$ . それゆえ $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n}$ である. $c = lim_{n \to \infty} a_{n}$ とする. このとき, $0 < f (a_{n}) < f (c) < f (b_{n}) < 0$ だから $0 \leq lim_{n \to \infty} f (a_{n}) \leq f (c) \leq lim_{n \to \infty} f (b_{n}) \leq 0$ . ゆえに $f (c) = 0$ である.

投稿日：2月24日

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