多元数理2027のJordan標準形を瞬殺する方法
問題
今回は, 私が受験した多元数理のJordan標準形の問題を簡単に解く方法を考えたのでここに書き残しておきます. 問題はこちらです.
正方行列
\begin{align}
A=\begin{pmatrix}
8 & 2 & -1 & 2 \\
-2 & 10 & 1 & 1 \\
-1 & 2 & 8 & 2 \\
1 & 1 & -2 & 10
\end{pmatrix}
\end{align}
のジョルダン標準形$J$を求めよ. また, $P^{-1}AP=J$を満たす正則行列$P$を一つ求めよ.
なんと4次のJordan標準形である上に変換行列まで求めさせてきました！私はこの時点で計算地獄を確定して絶望しました...
試験中には気づきませんでしたが, よく見てみると...
\begin{align}
\begin{pmatrix} \fcolorbox{black}{rgba(255, 100, 100, 0.5)}{$\begin{matrix} 8 & 2 \\ -2 & 10 \end{matrix}$} & \fcolorbox{black}{rgba(100, 150, 255, 0.5)}{$\begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}$} \\ \fcolorbox{black}{rgba(100, 150, 255, 0.5)}{$\begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}$} & \fcolorbox{black}{rgba(255, 100, 100, 0.5)}{$\begin{matrix} 8 & 2 \\ -2 & 10 \end{matrix}$} \end{pmatrix}
\end{align}
きれいなブロック行列になっているではありませんか！この形から, Jordan標準形は2,2のブロックに分かれるんじゃないかと予想ができます.
解答
簡単のために
\begin{align}
X=\begin{pmatrix}
8 & 2 \\
-2 & 10
\end{pmatrix}
,\quad
Y=\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
とおけば
\begin{align}
A=\begin{pmatrix}
X & Y \\
Y & X
\end{pmatrix}
\end{align}
となります. ここで$A$をブロック対角化してみましょう.
\begin{align}
Q=\begin{pmatrix}
I & I \\
I & -I
\end{pmatrix}
\end{align}
とすると
\begin{align}
Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}
X+Y & O \\
O & X-Y
\end{pmatrix}
\end{align}
です. あとは$X+Y,X-Y$をそれぞれJordan標準形にします. 詳細は省略しますが, 簡単な計算により$X+Y,X-Y$はともに重複度2の固有値$9$を持ち,
\begin{align}
R_+=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
,\quad
R_-=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
とすると
\begin{align}
R_+^{-1}(X+Y)R_+=R_-^{-1}(X-Y)R_-=\begin{pmatrix}
9 & 1 \\
0 & 9
\end{pmatrix}
\end{align}
とできます. よって
\begin{align}
R=\begin{pmatrix}
R_+ & O \\
O & R_-
\end{pmatrix}
\end{align}
とすれば$P=QR$によって
\begin{align}
P^{-1}AP &= R^{-1}Q^{-1}AQR \\
&= \begin{pmatrix}
R_+^{-1} & O \\
O & R_-^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X+Y & O \\
O & X-Y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
R_+ & O \\
O & R_-
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
9 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 9 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
\end{align}
となります. $P=QR$に関しても簡単に計算できて
\begin{align}
P &= \begin{pmatrix}
I & I \\
I & -I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
R_+ & O \\
O & R_-
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
R_+ & R_- \\
R_+ & -R_-
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -3 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
となります.
