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【ウォリス積分+α】Xのフォロワーが送ってきた問題を解いてみよう

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結構昔に解いたやつを記事に起こしてみました。
Twitter(現 X)のフォロワーさんが送ってくれた自分の履修範囲外を的確についてくる問題が解いて結構面白かったのでその一部始終を書いてみようかなと。

#2. 「さんかくかんすう」(なんいど:★★)

つぎの「せきぶん」をもとめよう!
nN;
 (1)In=0π2sinnxdx
 (2)In=0π2cosnxdx
 (3)In=0π4tannxdx

……うわぁ。問題文のゆるさに対しての問題の禍々しさがすごい。


まぁ順当に(1)からやっていくかぁ、どうしよ。
……とは言ったものの、 一回自分の直感に従ってみたらA41ページ分量の計算式全部吹っ飛んだしなぁ。 オープンブックにしてもいいって言ってたから大学の教材見てくるかぁ。

……あ、あった。これ使えそう。三角関数の漸化式の求め方。
お~し、やるかぁ!!
n3;In=00.5πsinnxdx=00.5π(cosx)sinn1xdx=(n1)00.5πcos2xsinn2xdx[cosxsinn1x]00.5π0=(n1)00.5πsinn2xdx(n1)00.5πsinnxdxIn=00.5πsinnxdx=n1n00.5πsinn2xdx=n1nIn2
お~、In2が出てきやがったか。ならn=2も外さなきゃあかんな。I0は定義してないし。(n3に修正)

んで~、この漸化式を一般式に直せばいいんだな。
しかし間隔が2なので奇偶分ける必要ありそう。

(i)n=2i+1(iN);In=2i2i+1In2=2i2i+12i22i1In4=2i2i+1×2i22i1××23I1

……ってあれ、2ずつ飛ぶ階乗ってどう表すんだ?

(問題投げたフォロワー)「!!」

あ、!!? あなた二重階乗って言うのね!(間接引用)
ほ~。んじゃ縮めましょうか。×1はなくてもあってもいいし。
n=2i+1(iN);In=(2i)!!(2i+1)!!I1=(n1)!!n!!I1
I1はあとで求めます。それじゃ次は偶数です。
(ii)n=2i(i2,iN);In=2i12iIn2=2i12i2i32i2In4=2i12i×2i32i2××34I2
……あ、これI0定義しないといけないヤツだ。
ならn=2も含めて改めて。
n=2i(iN);In=2i12i×2i32i2××12I0=(2i1)!!(2i)!!I0=(n1)!!n!!I0(I0:=00.5πsin0xdx=00.5πdx=π2)
んじゃn=1もやっとこ~ね。
(iii)n=1;In=00.5πsinxdx=cosx]00.5π=1
んでぇ、ケース分けを少しでも減らしたいから奇数にこれ代入してみるか。
I1=0!!1!!I1=11I1=I1(0!!:=1)
お、恒常式できてもうたや~ん。よし。んじゃ奇数のほうの式にn=1も加えましょ。
無理やり0!!定義したけど。0!=1だしいいよね。
ということでまとめましょう。これが(1)の答えです。
(1)nN;In=00.5πsinnxdx={(n1)!!n!!(n:odd)π(n1)!!2n!!(n:even)(0!!=1!!=1)


さて、次の(2)cosnxなんですが、
00.5πcos1xdx=00.5πsin1xdx=100.5πcos0xdx=00.5πsin0xdx=π2なので
(1)とほぼ、というかまったく同じ答えになるんですよね。
ということで簡易版の式をどうぞ。
n3;In=00.5πcosnxdx=00.5π(sinx)cosn1xdx=[sinxcosn1x]00.5π0+(n1)00.5πsin2xcosn2xdx=(n1)00.5πcosn2xdx(n1)00.5πcosnxdx
In=00.5πcosnxdx=n1n00.5πcosn2xdx=n1nIn2=n1nn3n2In4=={(n1)!!n!!I1(n:odd)(n1)!!n!!I0(n:even)={(n1)!!n!!(n:odd)π(n1)!!2n!!(n:even)
そして先ほどのI0,I1の定義を引っ張ってきてNで閉じているようにしましょ。
これが(2)の答えとなります。
(2)nN;In=00.5πcosnxdx={(n1)!!n!!(n:odd)π(n1)!!2n!!(n:even)(0!!=1!!=1)


さて、これが第一の問題かも知れません。tannxです。
これは……どうしよう。tanの導関数はsec2だしなぁ。
(※ (1)(2)と同じことやろうとして失敗済み。)

……あ。置換積分……でできるか? やって、みるかぁ。
(i)n2;In=00.25πtannxdx=00.25π(sec2x1)tann2xdx=00.25πsec2xtann2xdx00.25πtann2xt=tanxdt=sec2xdx,0<t<1)=01tn2dt00.25πtann2xdx=1n1In2=1n11n3+In4=k=1p(1)k+1n(2k1)+(1)pIn2p(pN,pn2)
……はぁ~~~~。上の式でpの奇偶でまた符号分かれるじゃないですか。ということでmod2ではなくmod4で判定します。はぁ。
まぁとりあえずI0I1をやっておこう。

I0=00.25πdx=π4
I1=00.25πtanxdx=00.25πsinxcosxdxt=cosxdt=sinxdx,1>t>12=0.5211tdt=lnt]0.521=ln2=ln22

おけ。それじゃ、行きます。
(i)n0(mod4);In=1n11n3++131+I0=k=10.5n(1)k2k1+π4
(ii)n2(mod4);In=1n11n3+13+1I0={k=10.5n(1)k2k1+π4}
(iii)n1(mod4);In=1n11n3++1412+I1=k=10.5(n1)(1)k2k+ln22
(iv)n3(mod4);In=1n11n3+14+12I1={k=10.5(n1)(1)k2k+ln22}
(i)(ii)(iii)(iv)を統一させたいので、(ii)(iv)の符号は取っ払って(1)0.5n(1)0.5(n1)をそれぞれにかけます。
これによってケースを短縮できます。

また、n=1(iii)に無理矢理入れるためにk=10ak:=0と定義します。
何も足してないから0でいいよね。(暴論)

ということでこちらが(3)の答えとなります。
(3)In=00.25πtannxdx={(1)0.5(n1){k=10.5(n1)(1)k2k+ln22}(n:odd)(1)0.5n{k=10.5n(1)k2k1+π4}(n:even)({an};k=10ak=0,nN)


はぁ~~~~~。疲れました。
書き写すだけなのに疲れた。(既にWordで解いていた)
でもn=1のケースは統合できてなかったからやってよかったです。

正解判定貰ったし検算も済んでいるのでエラーはないと思います。
(23.11.06. 18:56 追記)
思いっきりエラーありました。(3)n:oddでの級数の分母が2kではなく(2k1)でした。
なぜ違和感を持たなかったのか。申し訳ございませんでした。
また何かありましたらぜひコメントにまで。よろしくお願いします。

これどこの範囲なんでしょう。多分大学の範囲ですかね。
大学入試でnn2での漸化式を証明せよ、みたいな問題は見たことありますが。

私は初見でした。ウォリス積分という名称もたった今検索して知りました。

では、今回はこれにて失礼します。また、次の記事で。

投稿日:20231023
更新日:2023116
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YK
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どうも。なぜか日本語ができる韓国人です。 数学は楽しいという感情でやっています。よろしくお願いします。

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