東進数コンの問題No.1~No.10

2435

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

東進数学コンクールの問題一覧(No.1~No.10)です.
問題と回答は順次更新予定.
回答をDMでもコメントでも構いませんので送って頂けると、とてもありがたいです！！！
回数の横は成績優秀者の人数を記してます.

第1回(3名)

区間 $[0, 1]$ で定義された連続関数 $f (x)$ は次の条件を満たすとする.
ある正の実数 $L$ が存在して、 $[0, 1]$ 上の全ての実数 $x$ において
$0 \leq$ $f (x)$ $\leq$ $L \int_{0}^{x} f (t) d t$
が成り立つ.
この時 $[0, 1]$ 上の全ての実数 $x$ において $f (x) = 0$ を示せ.

私は示すのにA4紙2枚ほど使いましたが、とてもエレガントな方法があります.
追記:初稿の段階で積分に

L

を掛け忘れてました.
大変申し訳ございません.

第2回(4名)

$m, n$ を異なる正の整数とする.
$m, n$ が以下の条件を満たす時, $m + n$ の桁数の最小値を求めよ.
必要ならば $\log_{10} 2 = 0.30103$ を用いよ.
$1 : m$ と $n$ は共に $10$ と互いに素である.
$2$ : $m$ と $n$ の下 $1$ 桁は等しい.
$3$ : $m^{100}$ と $n^{100}$ の下 $100$ 桁は等しい.

第3回(3名)

$α$ , $β$ を共に $0$ 以上 $π$ 未満の実数とする.
また, $A = \sqrt{4 - (c o s α - c o s β)^{2}}$ , $B = \sin α + \sin β + 2 \sin (\frac{α + β}{2})$ とする.
この時 $A - B$ の最小値を求めよ.

ヒント(本紙問題文内では掲載)

トレミーの定理を使いましょう

第4回(2名)

$30$ 個の島と $150$ 本の橋があり,島と島の間は $1$ 本の橋で結ばれているか,結ばれていないかのいずれかである.
また,どの島からどの島へも橋を何本か伝って渡ることが出来る.
$15$ 個の島には赤い旗が立っており,残りの $15$ 個の島には青い旗が立っている.
この状態からスタートして,以下の動作で旗の色を変える.
$1 :$ $30$ 個の中からランダムに $1$ つ島を選び,それを $X$ とする.
$2 :$ 島 $X$ と橋で結ばれている島の中からランダムに $1$ つ選び,それを $Y$ とする.
$3 :$ $X$ と $Y$ の旗の色が異なる場合, $Y$ の旗の色を $X$ と同じものに変える.
この動作を全ての島の旗の色が同じになるまで繰り返し行う.
この時,全ての島の旗の色が赤になる確率は島の配置により異なるが,その最大値を求めよ.

この問題だけ異様に難しく感じます

第5回(3名)

$p_{1}, p_{2}, \dots p_{k}$ を $m$ 以下の全素数とする.
この時,以下の不等式が成り立つことを示せ.
$\log m - 1 \leq \sum_{i = 1}^{k} \frac{\log p_{i}}{p_{i} - 1}$

簡単回です.　

\log m!

を考えてみましょう.

第6回(4名)

$x^{3} + y^{3} + z^{3} = 1$ を満たす正の実数 $x, y, z$ に対して $x^{2} y + x z^{2}$ の取りうる値の最大値を求めよ.

また簡単回です.頭を使いたくない人は未定乗数法でもいけます.

第7回(1名)

鋭角三角形 $A B C$ の内接円 $ω$ の中心を $I$ として,線分 $A I, B I, C I$ と $ω$ の交点を $D, E, F$ とする.
$\overset{´}{B} \overset{´}{C}, \overset{´}{C} \overset{´}{A}, \overset{´}{A} \overset{´}{B}$ がそれぞれ $D, E, F$ と $ω$ で接するように $\overset{´}{A}, \overset{´}{B}, \overset{´}{C}$ をとる.
この時,直線 $A \overset{´}{A}, B \overset{´}{B}, C \overset{´}{C}$ が一直線で交わることを示せ.