東進数コンの問題No.1~No.10

区間$[0,1] $で定義された連続関数$f(x)$は次の条件を満たすとする.
ある正の実数$L$が存在して、$[0,1]$上の全ての実数$x$において
$0\leq$$f(x)$$\leq$$L \int_{0}^{x}f(t)dt$
が成り立つ.
この時$[0,1]$上の全ての実数$x$において$f(x)=0$を示せ.

$m,n$を異なる正の整数とする.
$m,n$が以下の条件を満たす時,$m+n$の桁数の最小値を求めよ.
必要ならば$\log_{10}2=0.30103$を用いよ.
$1:m$と$n$は共に$10$と互いに素である.
$2$:$m$と$n$の下$1$桁は等しい.
$3$:$m^{100}$と$n^{100}$の下$100$桁は等しい.

$\alpha$,$\beta$を共に$0$以上$\pi$未満の実数とする.
また,$A=\sqrt{4-({cos\alpha-cos\beta})^{2}}$,$B=\sin\alpha+\sin\beta+2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) \ $とする.
この時$A-B$の最小値を求めよ.

$30$個の島と$150$本の橋があり,島と島の間は$1$本の橋で結ばれているか,結ばれていないかのいずれかである.
また,どの島からどの島へも橋を何本か伝って渡ることが出来る.
$15$個の島には赤い旗が立っており,残りの$15$個の島には青い旗が立っている.
この状態からスタートして,以下の動作で旗の色を変える.
$1:$$30$個の中からランダムに$1$つ島を選び,それを$X$とする.
$2:$島$X$と橋で結ばれている島の中からランダムに$1$つ選び,それを$Y$とする.
$3:$$X$と$Y$の旗の色が異なる場合,$Y$の旗の色を$X$と同じものに変える.
この動作を全ての島の旗の色が同じになるまで繰り返し行う.
この時,全ての島の旗の色が赤になる確率は島の配置により異なるが,その最大値を求めよ.

$p_{1},p_{2},…p_{k}$を$m$以下の全素数とする.
この時,以下の不等式が成り立つことを示せ.
$\log{m}-1 \leq \sum_{i=1}^{k} \frac{\log{p_{i}}}{p_{i}-1}$

$x^3+y^3+z^3=1$を満たす正の実数$x,y,z$に対して$x^2y+xz^2$の取りうる値の最大値を求めよ.

鋭角三角形$ABC$の内接円$\omega$の中心を$I$として,線分$AI,BI,CI$と$\omega$の交点を$D,E,F$とする.
$\acute{B}\acute{C},\acute{C}\acute{A},\acute{A}\acute{B}$がそれぞれ$D,E,F$と$\omega$で接するように$\acute{A},\acute{B},\acute{C}$をとる.
この時,直線$A\acute{A},B\acute{B},C\acute{C}$が一直線で交わることを示せ.

正の有理数に対して定義され,正の実数値を取る関数$f(x)$で,任意の正の有理数$x,y$に対して
$f(x^2+xy)+f(xy+y^2)=f(xy)$
を満たすものを全て求めよ.

三角形$ABC$の外心を$O$,内心を$I$,垂心を$H$とする.
$OI \leq OH$を示せ.