東進数コンの回答

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

回答です.(順次更新予定)
エレガントな解答を思いついた方は連絡ください.
問題→ 東進数コンの問題No.1~No.10

第1回

$h (x) = e^{- L x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ とおくと, $h (x) \geq 0, h (0) = 0$
また, $h (x)$ は $(0, 1)$ 上で微分可能で
$h^{'} (x) = e^{- L x} (f (x) - L \int_{0}^{x} f (t) d t) \leq 0$
よって, $h (x)$ は単調非増加なので, $[0, 1]$ 上で $h (x) = 0$ が成り立つ.
従って, $[0, 1]$ 上の全ての実数 $x$ において
$0 \leq f (x) \leq L \int_{0}^{x} f (t) d t \leq 0$
より, $f (x) = 0$ である.

エレガントですね！
こういった関数の値域の問題では

e^{x}

を考えるのが定跡みたいです.
解答の背景はGronwall's inequalityらしい(?).
wikipediaリンク

追記: たたたっくさんから連続性より強い仮定微分可能性が肯定された場合の回答を頂きました！
該当のツイート

第8回

ああうえさんから回答をいただきました！
ありがとうございます！！！

$u = \frac{1}{x^{2} + x y}, v = \frac{1}{y^{2} + x y}, F (x) = f (\frac{1}{x})$ と置く.
( $x, y \in Q^{+}$ より $u, v \in Q^{+}$ )
与式より, $F (u) + F (v) = F (u + v)$ が成り立つ.
$F (1) = a (a > 0)$ とおくと,自然数 $n$ に対して $F (n) = a n$
また,自然数 $p, q$ に $p F (\frac{q}{p}) = F (q) = a q$ となるから, $F (\frac{q}{p}) = \frac{a q}{p}$
よって任意の有理数 $x$ に対して, $F (x) = a x$ となる.
従って, $f (x) = F (\frac{1}{x}) = \frac{a}{x}$ ( $a$ は任意)