回答です.(順次更新予定)
エレガントな解答を思いついた方は連絡ください.
問題→
東進数コンの問題No.1~No.10
$h(x)=e^{-Lx} \int_{0}^{x} f(t)dt $とおくと,$h(x) \geq0 ,h(0)=0 $
また,$h(x)$は$(0,1)$上で微分可能で
$ h^{\prime}(x)=e^{-Lx} \big( f(x)-L \int_{0}^{x}f(t)dt \big) \leq 0$
よって,$h(x)$は単調非増加なので,$[0,1]$上で$h(x)=0$が成り立つ.
従って,$[0,1]$上の全ての実数$x$において
$0 \leq f(x) \leq L\int_{0}^{x}f(t)dt \leq0 $
より,$f(x)=0$である.
追記:
たたたっく
さんから連続性より強い仮定微分可能性が肯定された場合の回答を頂きました！
該当のツイート
ああうえ
さんから回答をいただきました！
ありがとうございます！！！
$u=\large{\frac{1}{x^2+xy}}\normalsize,v=\large\frac{1}{y^2+xy}\normalsize ,F(x)=f(\frac{1}{x})$と置く.
($x,y \in \mathbb{Q^+} $より$u,v \in \mathbb{Q^+} $)
与式より,$F(u)+F(v)=F(u+v)$が成り立つ.
$F(1)=a \hspace{5mm}(a\gt0)$とおくと,自然数$n$に対して$F(n)=an$
また,自然数$p,q$に$pF(\frac{q}{p})=F(q)=aq$となるから,$F(\frac{q}{p})=\large\frac{aq}{p}$
よって任意の有理数$x$に対して,$F(x)=ax$となる.
従って,$f(x)=F(\frac{1}{x})=\large\frac{a}{x}$($a$は任意)