Rogers-Ramanujanの分割定理

自然数の分割$N={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_m,{\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_m>0$に対して, 各${\lambda }_i$をその和因子という. 以下, 分割を$({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)$のように書いたとき, ${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_m>0$であるとして, そのときの$m$をその分割の長さという. 後で用いる分割の性質を一つ定義しておく.

Rogers-Ramanujanの恒等式
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}& =\frac{1}{(q,q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ \sum _{0\le n}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}& =\frac{1}{(q^2,q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
を分割定理として書き換えることを考える. まず, 1つ目の式
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}& =\frac{1}{(q,q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
の右辺は
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{(q,q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}& =\prod _{0\le n}\left(\sum _{0\le i}{q}^{(5n+1)i}\right)\left(\sum _{0\le j}{q}^{(5n+4)j}\right)\end{array}$$
と表されるので, その$q^N$の係数は$N$の分割であって, その和因子が$5$を法として$1$または$4$と合同なものの個数を与えている. 左辺は
$$\begin{array}{rl}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}& =q^{n^2}\prod _{k=1}^n\left(\sum _{0\le j}{q}^{kj}\right)\end{array}$$
の$q^N$の係数は$N-n^2$の$n$以下の和因子による分割の個数を与えている. Young図形の共役を考えることによって, これは$N-n^2$の長さ$n$以下の分割の個数に等しい. そのような分割
$$\begin{array}{r}N-n^2={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n,{\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_n\ge 0\end{array}$$
は長さ$n$の2-差的な分割
$$\begin{array}{r}N=({\lambda }_1+2n-1)+({\lambda }_2+2n-3)+\cdots +({\lambda }_n+1)\end{array}$$
に書き換えることができ, 逆に長さ$n$の2-差的な分割$({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$が与えられたとき,
$$\begin{array}{r}N-n^2=({\lambda }_1-(2n-1))+({\lambda }_2-(2n-3))+\cdots +({\lambda }_n-1)\end{array}$$
は$N-n^2$の長さ$n$以下の分割を与える. よって,
$$\begin{array}{r}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}\end{array}$$
の$q^N$の係数は$N$の長さ$n$の$2$-差的な分割の個数を与えている. よって, それらを全て足し合わせた
$$\begin{array}{r}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}\end{array}$$
の$q^N$の係数は$N$の$2$-差的な分割の個数に等しい. よって次を得る.

2つ目のRogers-Ramanujanの恒等式
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}& =\frac{1}{(q^2,q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
においても同様に,
$$\begin{array}{r}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}\end{array}$$
の$q^N$の係数は$N-n^2-n$の長さ$n$以下の分割の個数を表しており,
$$\begin{array}{r}N-n^2-n={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n,{\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_n\ge 0\end{array}$$
は$2$-差的かつ${\lambda }_n\ge 2$であるような分割と
$$\begin{array}{r}N=({\lambda }_1+2n)+({\lambda }_2+2n-2)+\cdots +({\lambda }_1+2)\end{array}$$
によって1対1に対応する.　よって,
$$\begin{array}{r}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}\end{array}$$
の$q^N$の係数は$N$の$2$以上の和因子だけからなる$2$-差的な分割の個数に等しい. つまり, 以下を得る.

このように, $q$級数の等式を用いて自然数の分割の間の非自明な組合せ論的な等式を導出することができるのは興味深いと思う.