マルコフの不等式からチェビシェフ不等式へ

Prop&Proof

任意に $a>0$ をとる。
事象
$$ A:=\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge a\} $$
を定める。
$X$ は確率変数であり、$[a,\infty)$ は $\mathbb R$ のボレル集合であるから、
$$ A=X^{-1}([a,\infty))\in\mathcal F $$
である。したがって、$A$ は事象である。
ここで、$A$ の指示関数 $1_A:\Omega\to\mathbb R$ を
$$ 1_A(\omega):= \begin{cases} 1, & \omega\in A,\\ 0, & \omega\notin A \end{cases} $$
で定める。
任意の $\omega\in\Omega$ に対して、
$$ a1_A(\omega)\le X(\omega) $$
が成り立つことを示す。

1. $\omega\in A$ の場合
   このとき、$A$ の定義より
   $$ X(\omega)\ge a $$
   である。また、$1_A(\omega)=1$ であるから、
   $$ a1_A(\omega)=a\le X(\omega) $$
   である。
   $ $
2. $\omega\notin A$ の場合
   このとき、$1_A(\omega)=0$ であるから、
   $$ a1_A(\omega)=0 $$
   である。一方、$X$ は非負なので、
   $$ 0\le X(\omega) $$
   である。したがって、
   $$ a1_A(\omega)\le X(\omega) $$
   である。

-以上より、任意の $\omega\in\Omega$ に対して
$$ a1_A(\omega)\le X(\omega) $$
が成り立つ。
また、$X\ge0$ かつ $\mathbb E[X]<\infty$ であるから、$X$ は可積分である。
さらに、$A\in\mathcal F$ であるから $1_A$ は可測であり、
$$ 0\le 1_A\le 1 $$
であるから $1_A$ は有界可測関数である。したがって、$1_A$ は可積分であり、$a1_A$ も可積分である。
$ $
よって、期待値の単調性より、
$$ \mathbb E[a1_A]\le \mathbb E[X] $$
である。期待値の線形性より、
$$ \mathbb E[a1_A]=a\mathbb E[1_A] $$
である。また、指示関数の期待値の性質より、指示関数 $1_A$ は$A$ 上で $1$ で、$A^c$ 上で $0$ となるので、
$$ \mathbb{E}[1_A] =\int_\Omega 1_A(\omega)\,d\mathbb P(\omega) =\int_A 1\,d\mathbb P(\omega)+\int_{A^c} 0\,d\mathbb P(\omega) =\mathbb P(A)+0 =\mathbb P(A) $$
である。したがって、
$$ a\mathbb P(A)\le \mathbb E[X] $$
を得る。
ここで、
$$ A=\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge a\} $$
であるから、
$$ a\,\mathbb P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge a\})\le \mathbb E[X] $$
である。
$a>0$ なので、両辺を $a$ で割ることができる。したがって、
$$ \mathbb P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge a\}) \le \frac{\mathbb E[X]}{a} $$
を得る。
以上より、任意の $a>0$ に対して
$$ \mathbb P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge a\}) \le \frac{\mathbb E[X]}{a} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$a>0$ を任意に固定する。ここで
$$ Y:=(X-\mu)^2 $$
とおく。
$X$ は実数値確率変数であり、写像
$$ x\mapsto (x-\mu)^2 $$
は $\mathbb R$ 上の連続関数である。したがって、連続関数と可測関数の合成は可測であるから、$Y$ は確率変数である。
また、任意の $\omega\in\Omega$ に対して平方は非負なので、
$$ Y(\omega)=(X(\omega)-\mu)^2\ge 0 $$
である。したがって、$Y$ は非負の確率変数である。
さらに、分散の定義より、
$$ \mathbb E[Y] = \mathbb E[(X-\mu)^2] = \sigma^2 $$
である。仮定より $\sigma^2<\infty$ なので、
$$ \mathbb E[Y]<\infty $$
である。
よって、非負確率変数 $Y$ にマルコフの不等式を適用できる。
マルコフの不等式より、任意の $c>0$ に対して
$$ \mathbb P(Y\ge c)\le \frac{\mathbb E[Y]}{c} $$
が成り立つ。
ここで、$c=a^2$ とおく。$a>0$ より $a^2>0$ であるから、
$$ \mathbb P(Y\ge a^2) \le \frac{\mathbb E[Y]}{a^2} = \frac{\sigma^2}{a^2} $$
を得る。
$Y=(X-\mu)^2$ であるから、
$$ \mathbb P((X-\mu)^2\ge a^2) \le \frac{\sigma^2}{a^2} $$
である。
最後に、
$$ \{\,|X-\mu|\ge a\,\}=\{\,(X-\mu)^2\ge a^2\,\} $$
を確認する。
任意の $\omega\in\Omega$ に対して、$r=X(\omega)-\mu$ とおくと、$r\in\mathbb R$ である。$a>0$ なので、
$$ |r|\ge a\ \Leftrightarrow\ r^2\ge a^2 $$
が成り立つ。したがって、
$$ |X(\omega)-\mu|\ge a \ \Leftrightarrow\ (X(\omega)-\mu)^2\ge a^2 $$
である。
よって、集合の外延性より、
$$ \{\,|X-\mu|\ge a\,\}=\{\,(X-\mu)^2\ge a^2\,\} $$
である。
したがって、
$$ \mathbb P(|X-\mu|\ge a) = \mathbb P((X-\mu)^2\ge a^2) \le \frac{\sigma^2}{a^2} $$
を得る。
以上より、任意の $a>0$ に対して
$$ \mathbb P(|X-\mu|\ge a)\le \frac{\sigma^2}{a^2} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$