東大数理の院試（2011年度専門問8）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$M(2, \RR)$を$2$次の実正方行列全体のなす集合とし，写像$f : \RR^3 \to M(2, \RR)$を次のように定める．
$$
f(x, y, z) = \exp
\begin{pmatrix}
x & y + z \\
y - z & -x
\end{pmatrix}
$$
写像$f$の微分が単射にならない点$(x, y, z)$の集合を決定し，それを図示せよ．
$f(x, y, z) = \exp A, w = \sqrt{x^2 + y^2 - z^2}$とする．
$A^2 = (\tr A)A - (\det A)I = w^2 I$であるから，$w = 0$の時は$f(x, y, z) = I + A.$
$w \not= 0$の時は
\begin{align*}
f(x, y, z)
&= \sum_{n \geq 0}\frac{A^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n \geq 0}\frac{A^{2n + 1}}{(2n + 1)!}
= \sum_{n \geq 0}\frac{w^{2n}}{(2n)!}I + \frac{1}{w}\sum_{n \geq 0}\frac{w^{2n + 1}}{(2n + 1)!}A \\
&= \cosh(w)I + g(w)A \\
&= (\cosh w)E_1 + g(w)(x E_2 + y E_3 + z E_4).
\end{align*}
ここで$E_1 =
\begin{psmallmatrix}
1 & \\
& 1
\end{psmallmatrix},
E_2 =
\begin{psmallmatrix}
1 & \\
& -1
\end{psmallmatrix},
E_3 =
\begin{psmallmatrix}
& 1 \\
1 &
\end{psmallmatrix},
E_4 =
\begin{psmallmatrix}
& 1 \\
-1 &
\end{psmallmatrix},
g(w) = (\sinh w) / w$とおいた．$\dis{g(0) = \lim_{w \to 0}g(w) = 1}$と見なせばこれは$w = 0$でも成立する．$E_1, \dots, E_4$は$M_2(\RR)$の基底であるから，$f$を$f: \RR^3 \to \RR^4$と見なせる．
$w \not= 0$ の時は
\begin{align*}
Df_{(x, y, z)}
&=
\begin{pmatrix}
xg(w) & yg(w) & -zg(w) \\
g'(w) \frac{x^2}{w} + g(w) & g'(w) \frac{xy}{w} & g'(w) \frac{-xz}{w} \\
g'(w) \frac{xy}{w} & g'(w) \frac{y^2}{w} + g(w) & g'(w) \frac{-yz}{w} \\
g'(w) \frac{xz}{w} & g'(w) \frac{yz}{w} & g'(w) \frac{-z^2}{w} + g(w)
\end{pmatrix} \\
&\to
\begin{pmatrix}
xwg'(w) & ywg'(w) & -zwg'(w) \\
g'(w) \frac{x^2}{w} + g(w) & g'(w) \frac{xy}{w} & g'(w) \frac{-xz}{w} \\
g'(w) \frac{xy}{w} & g'(w) \frac{y^2}{w} + g(w) & g'(w) \frac{-yz}{w} \\
g'(w) \frac{xz}{w} & g'(w) \frac{yz}{w} & g'(w) \frac{-z^2}{w} + g(w)
\end{pmatrix} \\
&\to
\begin{pmatrix}
xwg'(w) & ywg'(w) & -zwg'(w) \\
g(w) & 0 & 0 \\
0 & g(w) & 0 \\
0 & 0 & g(w)
\end{pmatrix}
\end{align*}
であるから，単射でないのは$g(w) = 0,$すなわち$w = i\pi n \, (n \in \ZZ \setminus \{ 0\})$の時．
$w = 0$ の時は
$$
g'(w)
= \frac{w\cosh w - \sinh w}{w^2}
= \frac{1}{3} w + O(w^3)
\quad (w \to 0)
$$
より
$$
Df_{(x, y, z)}
=
\begin{pmatrix}
x & y & -z \\
\frac{x^2}{3} + 1 & \frac{xy}{3} & \frac{-xz}{3} \\
\frac{xy}{3} & \frac{y^2}{3} + 1 & \frac{-yz}{3} \\
\frac{xz}{3} & \frac{yz}{3} & \frac{-z^2}{3} + 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
x & y & -z \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
だから$\rank Df_{(x, y, z)} = 3.$
以上から答えは
$$
\bigcup_{n \geq 1} \{ (x, y, z) \, ; \, z^2 - x^2 - y^2 = (n\pi)^2 \}.
$$
これは$x = 0$上の双曲線$z^2 - y^2 = (n\pi)^2$を$z$軸の周りに回転させた曲面の和集合である．