東大数理院試2011年度専門B問8解答

$f(x,y,z)=\exp A,w=\sqrt{x^2+y^2-z^2}$とする．
$A^2=(\mathrm{tr}A)A-(\det A)I=w^{2}I$であるから，$w=0$の時は$f(x,y,z)=I+A.$
$w\ne 0$の時は
$$\begin{array}{rl}f(x,y,z)& =\sum _{n\ge 0}\frac{A^{2n}}{(2n)!}+\sum _{n\ge 0}\frac{A^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum _{n\ge 0}\frac{w^{2n}}{(2n)!}I+\frac{1}{w}\sum _{n\ge 0}\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!}A\\ & =\cosh \left(w\right)I+g(w)A\\ & =(\cosh w)E_1+g(w)(x{E}_2+y{E}_3+z{E}_4).\end{array}$$
ここで$E_1=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & 1\end{array}\right),E_2=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & -1\end{array}\right),E_3=\left(\begin{array}{cc}& 1\\ 1& \end{array}\right),E_4=\left(\begin{array}{cc}& 1\\ -1& \end{array}\right),g(w)=(\sinh w)/w$とおいた．${\displaystyle g(0)=\underset{w\to 0}{lim}g(w)=1}$と見なせばこれは$w=0$でも成立する．$E_1,\dots ,E_4$は$M_2(\mathbb{R})$の基底であるから，$f$を$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4$と見なせる．
$w\ne 0$ の時は
$$\begin{array}{rl}D{f}_{(x,y,z)}& =\left(\begin{array}{ccc}xg(w)& yg(w)& -zg(w)\\ g^{\prime }(w)\frac{x^2}{w}+g(w)& g^{\prime }(w)\frac{xy}{w}& g^{\prime }(w)\frac{-xz}{w}\\ g^{\prime }(w)\frac{xy}{w}& g^{\prime }(w)\frac{y^2}{w}+g(w)& g^{\prime }(w)\frac{-yz}{w}\\ g^{\prime }(w)\frac{xz}{w}& g^{\prime }(w)\frac{yz}{w}& g^{\prime }(w)\frac{-z^2}{w}+g(w)\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccc}xw{g}^{\prime }(w)& yw{g}^{\prime }(w)& -zw{g}^{\prime }(w)\\ g^{\prime }(w)\frac{x^2}{w}+g(w)& g^{\prime }(w)\frac{xy}{w}& g^{\prime }(w)\frac{-xz}{w}\\ g^{\prime }(w)\frac{xy}{w}& g^{\prime }(w)\frac{y^2}{w}+g(w)& g^{\prime }(w)\frac{-yz}{w}\\ g^{\prime }(w)\frac{xz}{w}& g^{\prime }(w)\frac{yz}{w}& g^{\prime }(w)\frac{-z^2}{w}+g(w)\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccc}xw{g}^{\prime }(w)& yw{g}^{\prime }(w)& -zw{g}^{\prime }(w)\\ g(w)& 0& 0\\ 0& g(w)& 0\\ 0& 0& g(w)\end{array}\right)\end{array}$$
であるから，単射でないのは$g(w)=0,$すなわち$w=i\pi n(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\})$の時．
$w=0$ の時は
$$g^{\prime }(w)=\frac{w\cosh w-\sinh w}{w^2}=\frac{1}{3}w+O(w^3)(w\to 0)$$
より
$$D{f}_{(x,y,z)}=\left(\begin{array}{ccc}x& y& -z\\ \frac{x^2}{3}+1& \frac{xy}{3}& \frac{-xz}{3}\\ \frac{xy}{3}& \frac{y^2}{3}+1& \frac{-yz}{3}\\ \frac{xz}{3}& \frac{yz}{3}& \frac{-z^2}{3}+1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}x& y& -z\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
だから$\mathrm{rank}D{f}_{(x,y,z)}=3.$
以上から答えは
$$\bigcup _{n\ge 1}\{(x,y,z);z^2-x^2-y^2=(n\pi {)}^2\}.$$
これは$x=0$上の双曲線$z^2-y^2=(n\pi {)}^2$を$z$軸の周りに回転させた曲面の和集合である．