大学入試で使えそうなちょっとずるい書き出し

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ちょっとずるい大学入試の数学の答案の書き出しを列挙します。

微分・積分

実数 $x$ に対し、 $x = \tan y$ を満たす実数 $y$ であって $- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}$ であるものが唯一つ存在するのでこれを $\arctan x$ と書くことにする。
$y = \arctan x$ のとき $x = \tan y$ であり、この両辺を $x$ で微分すると $1 = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{\cos^{2} y}$ より $\frac{d y}{d x} = \cos^{2} y = \frac{1}{1 + \tan^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}}$ が成り立つ。よって、 $(\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$ である。

実数 $x$ に対し、 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, \cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ とおくと、 $(\sinh x)^{'} = \cosh x, (\cosh x)^{'} = \sinh x, (\cosh x)^{2} - (\sinh x)^{2} = 1$ が成り立つ。

$(\cos x)^{'} = - \sin x$ ですが、 $(\cosh x)^{'} = + \sinh x$ であることに注意しましょう。三角関数が $4$ 回微分すると元に戻るのに対し、 $\sinh$ と $\cosh$ は $2$ 回微分すると元に戻るという性質があります。

高校までの数学では $\sinh, \cosh$ という表記は正式なものではないため、うっかり $(\sinh x)^{2}, (\cosh x)^{2}$ を $\sinh^{2} x, \cosh^{2} x$ と書いてしまわないように注意しましょう(枠内の記述だけでは $\sinh^{2} x$ と $\cosh^{2} x$ が何を意味するかは未定義です)。心配なら「 $(\sinh x)^{2}, (\cosh x)^{2}$ をそれぞれ $\sinh^{2} x, \cosh^{2} x$ と書く。」のような一文を追加すると安心です。