大学入試で使えそうなちょっとずるい書き出し
ちょっとずるい大学入試の数学の答案の書き出しを列挙します。
微分・積分
実数$ x $に対し、$ x = \tan{y} $を満たす実数$ y $であって$ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $であるものが唯一つ存在するのでこれを$ \arctan{x} $と書くことにする。
$ y = \arctan{x} $のとき$ x = \tan{y} $であり、この両辺を$ x $で微分すると$ 1 = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{\cos^2{y}} $より$ \frac{dy}{dx} = \cos^2{y} = \frac{1}{1 + \tan^2{y}} = \frac{1}{1 + x^2} $が成り立つ。よって、$ (\arctan{x})' = \frac{1}{1 + x^2} $である。
実数$ x $に対し、$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \cosh{x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $とおくと、$ (\sinh{x})' = \cosh{x}, (\cosh{x})' = \sinh{x}, (\cosh{x})^2 - (\sinh{x})^2 = 1 $が成り立つ。
$ (\cos{x})' = {\color{red}-}\sin{x} $ですが、$ (\cosh{x})' = {\color{red}+}\sinh{x} $であることに注意しましょう。三角関数が$ 4 $回微分すると元に戻るのに対し、$ \sinh $と$ \cosh $は$ 2 $回微分すると元に戻るという性質があります。
高校までの数学では$ \sinh, \cosh $という表記は正式なものではないため、うっかり$ (\sinh{x})^2, (\cosh{x})^2 $を$ \sinh^2{x}, \cosh^2{x} $と書いてしまわないように注意しましょう(枠内の記述だけでは$ \sinh^2{x} $と$ \cosh^2{x} $が何を意味するかは未定義です)。心配なら「$ (\sinh{x})^2, (\cosh{x})^2 $をそれぞれ$ \sinh^2{x}, \cosh^2{x} $と書く。」のような一文を追加すると安心です。
指数・対数
実数$ x $に対し、$ 2^{\frac{x}{1200}} $を$ x \textcentoldstyle $と書くことにする。
$ \textcentoldstyle $はアメリカなどで使われる通貨単位の「セント」と同じ記号です。$ 2^{\frac{1}{12}} $を基準にして、その指数を$ 100 $等分したものというニュアンスです。
$ x \textcentoldstyle = \left(2^{\frac{1}{1200}}\right)^x $と書き直すことで、$ \textcentoldstyle $は指数法則を満たすことが分かります。特に、$ x \textcentoldstyle \cdot y \textcentoldstyle = (x + y) \textcentoldstyle, (x \textcentoldstyle)^n = (nx) \textcentoldstyle $が成り立ちます。
これを定義して何ができるかということですが、 この記事 のような問題を対数表を使わずに解くことができます。特に、$ \frac{3}{2} > 700 \textcentoldstyle $は便利なので初手になることが多いです。
