大学数学基礎解説

多重T値の双対性

級数,双対性,多重T値

252

1.はじめに

多重 $T$ 値と呼ばれる級数が、多重ゼータ値と同じように双対性を持つことを最近知ったので、記事に書こうと思う。

2.やっていく

多重T値

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ に対して、多重 $T$ 値を次のように定める。

$T (k) := 2^{r} \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ n_{i} \equiv i (\mod 2) \end{matrix}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$
$\mod$ を用いずに書けば
$T (k) = 2^{r} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(2 n_{1} - 1)^{k_{1}} (2 n_{2} - 2)^{k_{2}} \dots (2 n_{r} - r)^{k_{r}}} (= 2^{r} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{1}{(2 n_{j} - j)^{k_{j}}})$

多重T値の反復積分表示

$Ω_{0} (t) = \frac{d t}{t}, Ω_{1} (t) = \frac{2 d t}{1 - t^{2}}$
$ϵ_{i} \in {0, 1}, i, k \in Z_{> 0}$ に対して、次のような積分を定める。

$I (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{k}) = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{k} < 1} Ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) Ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots Ω_{ϵ_{k}} (t_{k})$

このとき、次の等式が成立する。
$T (k) = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, 1, {0}^{k_{2} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{r} - 1})$

$\frac{2}{1 - t^{2}} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} t^{2 n - 2}$
を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。

双対性

$k$ の双対インデックス $k^{†}$ に対し
$T (k) = T (k^{†})$

正整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}$ を用いて
$k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, b_{m} + 1)$ とおく。
(許容インデックスに対し、このような書き方は一意的に定まる)

定理1より、
$\begin{aligned} T (k) & = I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{m}}, {0}^{b_{m}}) \\ = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{k} < 1} Ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) Ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots Ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) \end{aligned}$
ここで変数変換 $t_{i} = \frac{1 - x_{i}}{1 + x_{i}} (1 \leq i \leq k)$ を行う。

$\begin{aligned} \frac{\partial (t_{1}, \dots, t_{k})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{k})} & = | \begin{array}{c} \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial t_{k}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial t_{k}}{\partial x_{2}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial t_{1}}{\partial x_{k}} & \frac{\partial t_{2}}{\partial x_{k}} & \dots & \frac{\partial t_{k}}{\partial x_{k}} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \frac{- 2}{(1 + x_{1})^{2}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \frac{- 2}{(1 + x_{2})^{2}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & \frac{- 2}{(1 + x_{k})^{2}} \end{array} | \\ = (- 1)^{k} \frac{2}{(1 + x_{1})^{2}} \frac{2}{(1 + x_{2})^{2}} \dots \frac{2}{(1 + x_{k})^{2}} \\ ∴ d t_{i} = \frac{2 d x_{i}}{(1 + x_{i})^{2}} \end{aligned}$

$Ω_{0} (t_{i}) = \frac{d t_{i}}{t_{i}} = \frac{(1 + x_{i})^{2}}{1 - x_{i}^{2}} \frac{2 d x_{i}}{(1 + x_{i})^{2}} = \frac{2 d x_{i}}{1 - x_{i}^{2}} = Ω_{1} (x_{i})$
$Ω_{1} (t_{i}) = \frac{2 d t_{i}}{1 - t_{i}^{2}} = \frac{2}{1 - (\frac{1 - x_{i}}{1 + x_{i}})^{2}} \frac{2 d x_{i}}{(1 + x_{i})^{2}} = \frac{d x_{i}}{x_{i}} = Ω_{0} (x_{i})$
となるので、 $ϵ_{i}^{'}$ を次のように定めることにより

$\begin{array}{r} {\begin{cases} ϵ_{i} = 0 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 1 \\ ϵ_{i} = 1 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{aligned} T (k) & = \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{k} < 1} Ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) Ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots Ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) \\ = \int_{0 < x_{k} < \dots < x_{1} < 1} Ω_{ϵ_{k}^{'}} (x_{k}) Ω_{ϵ_{2}^{'}} (x_{k - 1}) \dots Ω_{ϵ_{1}^{'}} (x_{1}) \\ = I ({1}^{b_{m}}, {0}^{a_{m}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}}) \\ = T (k^{†}) \end{aligned}$
となるので示された $◼$