多重T値の双対性
1.はじめに
多重$T$値と呼ばれる級数が、多重ゼータ値と同じように双対性を持つことを最近知ったので、記事に書こうと思う。
2.やっていく
許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$に対して、多重$T$値を次のように定める。
$$T(\boldsymbol{k}):=2^r\sum_{\substack{{0\lt n_1 \lt \cdots \lt n_r}\\n_i \equiv i \ (\mathrm{mod} \: 2)}}\frac{1}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}$$
$\mathrm{mod}$を用いずに書けば
$$T(\boldsymbol{k})=2^r\sum_{0\lt n_1 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{(2n_1-1)^{k_1}(2n_2-2)^{k_2}\cdots (2n_r-r)^{k_r}}\Bigg(=2^r\sum_{0\lt n_1 \lt \cdots \lt n_r}\prod_{j=1}^{r}\frac{1}{(2n_j-j)^{k_j}}\Bigg)$$
$$\Omega_0(t)=\frac{dt}{t},\Omega_1(t)=\frac{2dt}{1-t^2}$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1 \rbrace, \quad i,k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。
$$I(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\Omega_{\epsilon_1}(t_1)\Omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\Omega_{\epsilon_k}(t_k)$$
このとき、次の等式が成立する。
$$T(\boldsymbol{k})=I(1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-1},1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-1},\cdots,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-1})$$
$$\frac{2}{1-t^2}=2\sum_{n=1}^{\infty}t^{2n-2}$$
を用いながら順に積分を実行していけば、定理1が成り立つことを確認できます。
$\boldsymbol{k}$の双対インデックス$\boldsymbol{k}^{\dagger}$に対し
$$T(\boldsymbol{k})=T(\boldsymbol{k}^{\dagger})$$
正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_m$を用いて
$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m-1},b_m+1)$とおく。
(許容インデックスに対し、このような書き方は一意的に定まる)
定理1より、
\begin{align}
T(\boldsymbol{k})
&=I(\lbrace 1 \rbrace^{a_1},\lbrace 0 \rbrace^{b_1},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_m},\lbrace 0 \rbrace^{b_m})\\
&=\int_{0\lt t_1 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\Omega_{\epsilon_1}(t_1)\Omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\Omega_{\epsilon_k}(t_k)
\end{align}
ここで変数変換$t_i=\frac{1-x_i}{1+x_i} \; (1\leq i\leq k)$を行う。
\begin{align} \frac{ \partial (t_1,\cdots,t_k) }{ \partial (x_1,\cdots ,x_k) } &=\begin{vmatrix} \frac{\partial t_1}{\partial x_1} &\frac{\partial t_2}{\partial x_1} &\cdots &\frac{\partial t_k}{\partial x_1}\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_2} &\frac{\partial t_2}{\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial t_{k}}{\partial x_2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial t_1}{\partial x_{k}} &\frac{\partial t_2}{\partial x_{k}} &\cdots &\frac{\partial t_{k}}{\partial x_k} \end{vmatrix}\\ \\ &=\begin{vmatrix} \frac{-2}{(1+x_1)^2} &0 &\cdots &0 \\ 0 &\frac{-2}{(1+x_2)^2} &\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &0 &\dots &\frac{-2}{(1+x_k)^2} \end{vmatrix}\\ \\ &=(-1)^{k}\frac{2}{(1+x_1)^2}\frac{2}{(1+x_2)^2}\cdots\frac{2}{(1+x_k)^2}\\ \\ &\therefore dt_i=\frac{2dx_i}{(1+x_i)^2} \\ \\ \end{align}
$$\Omega_{0}(t_i)=\frac{dt_i}{t_i}=\frac{(1+x_i)^2}{1-x_i^2}\frac{2dx_i}{(1+x_i)^2}=\frac{2dx_i}{1-x_i^2}=\Omega_{1}(x_i)$$
$$\Omega_{1}(t_i)=\frac{2dt_i}{1-t_i^2}=\frac{2}{1-(\frac{1-x_i}{1+x_i})^2}\frac{2dx_i}{(1+x_i)^2}=\frac{dx_i}{x_i}=\Omega_{0}(x_i)$$
となるので、$\epsilon_i'$を次のように定めることにより
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\epsilon_i=0\Longrightarrow \epsilon'_i=1\\
\epsilon_i=1\Longrightarrow \epsilon'_i=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$\:$
\begin{align}
T(\boldsymbol{k})
&=\int_{0\lt t_1 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\Omega_{\epsilon_1}(t_1)\Omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\Omega_{\epsilon_k}(t_k)\\
&=\int_{0\lt x_k \lt \cdots \lt x_1 \lt 1}\Omega_{\epsilon'_k}(x_k)\Omega_{\epsilon'_2}(x_{k-1})\cdots\Omega_{\epsilon'_1}(x_1)\\
&=I(\lbrace 1 \rbrace^{b_m},\lbrace 0 \rbrace^{a_m},\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{b_1},\lbrace 0 \rbrace^{a_1})\\
&=T(\boldsymbol{k}^{\dagger})
\end{align}
となるので示された$\blacksquare$
3.おわりに
ここまで読んでいただきありがとうございました（>₋<）