【相対論】相対論的流体

　相対論における流体について基本的なことを解説します。色んな教科書や論文に書いてることです。

　相対論的流体を扱う場合はLagrangianを与えてE-L方程式を出すという方法はあまりしません。もちろん変分法で扱うこともできますがエネルギー運動量テンソルを与える方法が多いです。この記事でもエネルギー運動量テンソルの方法で述べます。エネルギー運動量テンソル$T_{ab}$が与えられたら局所的なエネルギー保存則${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}=0$が流体の満たすべき運動方程式を与えます。

　本記事の議論は4次元時空$(M,g)$上で考えます。

準備

　相対論的流体を論じるための基本的事項です。まずunit timelikeベクトル場$u$に垂直な面への射影は

で与えられます。テンソル$S_{ab}$の$u$に直交する成分は
$$(S_{ab}{)}^{\perp }:=S_{cd}{h}_a^c{h}_b^d$$
で与えられます。

　また$u$の微分は次のように分解することができます。${\mathrm{\nabla }}_a{u}_b{h}_c^a{h}_d^b={\mathrm{\nabla }}_c{u}_d+u_c{u}^a{\mathrm{\nabla }}_a{u}_d$が成り立つので、${\mathrm{\nabla }}_a{u}_b$を$u$に平行な成分と垂直な成分に分解すると、
$${\mathrm{\nabla }}_a{u}_b={\mathrm{\nabla }}_c{u}_d{h}_a^c{h}_b^d-u_a{A}_b,(A_a={\mathrm{\nabla }}_u{u}_a)$$
となり、垂直成分を対称、反対称パートに分解すると
$$=({\mathrm{\nabla }}_{(c}{u}_{d)}+{\mathrm{\nabla }}_{[c}{u}_{d]})h_a^c{h}_b^d-u_a{A}_b$$
となり、対称パートをトレースパートとトレースレスパートに分けると
$$=({\mathrm{\nabla }}_{(c}{u}_{d)}-\frac{1}{3}\theta h_{cd})h_a^c{h}_b^d+{\mathrm{\nabla }}_{[c}{u}_{d]}{h}_a^c{h}_b^d-u_a{A}_b+\frac{1}{3}\theta h_{ab},\theta ={\mathrm{\nabla }}_a{u}^a$$
となります。ここで

$\theta =div(u)$:expansion
$A={\mathrm{\nabla }}_{u}u:$acceleation
${\sigma }_{\mu \nu }=({\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{u}_{\nu )}-\frac{1}{3}\theta h_{\alpha \beta })h_{\mu }^{\alpha }{h}_{\nu }^{\beta }:$shear
${\omega }_{\mu \nu }={\mathrm{\nabla }}_{[\alpha }{u}_{\beta ]}{h}_{\mu }^{\alpha }{h}_{\nu }^{\beta }:$rotation

とおくと、

が得られます。

完全流体

　Euler流体を相対論的に拡張したものが完全流体です。

　完全流体の満たすべき方程式${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}=0$を具体的に書き下すと以下のようになります。
$${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}=u(\rho )u_b+\rho div(u)u_b+\rho {\mathrm{\nabla }}_u{u}_b+u(P)u_b+Pdiv(u)u_b+P{\mathrm{\nabla }}_u{u}_b+{\mathrm{\nabla }}_{b}P=0$$
を$u$に平行な方向と垂直な方向に分解すると、平行な成分は
$${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}{u}^b=-u(\rho )-\rho div(u)-u(P)-Pdiv(u)+u(P)=-u(\rho )-\rho div(u)-Pdiv(u)=0$$
となり、垂直な成分は
$${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ac}{h}_b^c=\rho {\mathrm{\nabla }}_u{u}_b+P{\mathrm{\nabla }}_u{u}_b+({\mathrm{\nabla }}_{b}P{)}^{\perp }=0$$
となります。よって完全流体の運動方程式は

となります。

弱重力近似

　重力が非常に弱いとき計量は
$$g\sim -(1+2\mathrm{\Phi }(x,y,z))d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,|\mathrm{\Phi }|<<1$$
速度場$u$は
$$u^0\sim 1,v^i:=u^i\sim 0$$
$\rho ,P$は
$$\rho >>P$$
と近似します。計量に関しては$\mathrm{\Phi }$は１より十分小さいですが、その微分はそんなに小さくないかもという気分があります。

　平行成分は
$$\frac{d\rho }{dt}=-div(\rho v)$$
となり、垂直成分は
$$\begin{array}{rl}& (\rho +P){\mathrm{\nabla }}_u{u}_i\sim \rho (\frac{d{v}_i}{dt}-{\mathrm{\Gamma }}_{0i}^0+{\mathrm{\nabla }}_v{v}_i)\sim \rho (\frac{d{v}_i}{dt}+{\mathrm{\nabla }}_i\mathrm{\Phi }+{\mathrm{\nabla }}_v{v}_i)=-{\mathrm{\nabla }}_{i}P\\ & \rho \frac{Dv}{dt}=-\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}P-\rho \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }\end{array}$$
となりEuler流体となります。

粘性流体

　続いて完全流体に粘性項を加えたものが相対論的粘性流体です。

　${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}^{pf}=0$は前の節で計算したので、$T^{vis}$についてだけ計算します。
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}^{vis}{u}^b& =-{\mathrm{\nabla }}^a(2\mu {\sigma }_{ab}+\lambda \theta h_{ab})u^b=2\mu {\sigma }_{ab}{\mathrm{\nabla }}^a{u}^b+\lambda \theta h_{ab}{\mathrm{\nabla }}^a{u}^b=2\mu {\sigma }_{ab}{\sigma }^{ab}+\lambda {\theta }^2\\ {\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ab}^{vis}{h}_c^b& ={\mathrm{\nabla }}^a{T}_{ac}^{vis}+(2\mu {\sigma }_{ab}{\sigma }^{ab}+\lambda {\theta }^2)u_c\end{array}$$
より運動方程式は

となります。

弱重力近似

　垂直方向の運動方程式を弱重力近似することでNavier–Stokes方程式が出てきます。完全流体と同様の近似を使うと
$$\rho \frac{D{v}_i}{dt}+\rho \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}P{)}_i-{\mathrm{\nabla }}^j(2\mu {\sigma }_{ji}+\lambda \theta h_{ji})=0$$
となります。最後の項を計算していきます。
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}^j(2\mu {\sigma }_{ji}+\lambda \theta h_{ji})& =2({\mathrm{\nabla }}^j\mu ){\sigma }_{ji}+\mu {\mathrm{\nabla }}^j({\mathrm{\nabla }}_j{u}_i+{\mathrm{\nabla }}_i{u}_j-\frac{2}{3}\theta h_{ij})+{\mathrm{\nabla }}_i(\lambda \theta )\\ & =2({\mathrm{\nabla }}^j\mu ){\sigma }_{ji}+\mu ({\mathrm{\nabla }}^j{\mathrm{\nabla }}_j{u}_i+{\mathrm{\nabla }}^j{\mathrm{\nabla }}_i{u}_j-\frac{2}{3}{\mathrm{\nabla }}_i\theta )+{\mathrm{\nabla }}_i(\lambda \theta )\\ & =2({\mathrm{\nabla }}^j\mu ){\sigma }_{ji}+\mu ({\mathrm{\nabla }}^j{\mathrm{\nabla }}_j{u}_i+{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j{u}^j)-\frac{2}{3}\mu {\mathrm{\nabla }}_i\theta +{\mathrm{\nabla }}_i(\lambda \theta )\\ & =2({\mathrm{\nabla }}^j\mu ){\sigma }_{ji}+\mu \mathrm{\Delta }{v}_i+\frac{1}{3}\mu {\mathrm{\nabla }}_i\theta +{\mathrm{\nabla }}_i(\lambda \theta )\end{array}$$
さらに
$$\begin{array}{rl}2(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{\sigma }_{ji}& =(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j({\mathrm{\nabla }}_j{v}_i+{\mathrm{\nabla }}_i{v}_j-\frac{2}{3}\theta h_{ij})\\ & =(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{\mathrm{\nabla }}_j{v}_i+{\mathrm{\nabla }}_i((\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{v}_j)-({\mathrm{\nabla }}_i(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j)v_j-\frac{2}{3}\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i\end{array}$$
であり、
$$\begin{array}{rl}& rot(v\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i={ϵ}_{ijk}{\mathrm{\nabla }}^j({ϵ}^{klm}{v}_l{\mathrm{\nabla }}_m\mu )=({\delta }_i^l{\delta }_j^m-{\delta }_j^l{\delta }_i^m){\mathrm{\nabla }}^j(v_l{\mathrm{\nabla }}_m\mu )={\mathrm{\nabla }}^m(v_i{\mathrm{\nabla }}_m\mu )-{\mathrm{\nabla }}^l(v_l{\mathrm{\nabla }}_i\mu )\\ & =(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{\mathrm{\nabla }}_j{v}_i+(\mathrm{\Delta }\mu )v_i-\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-({\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}^l\mu )v_l\\ & \therefore (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{\mathrm{\nabla }}_j{v}_i-({\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}^l\mu )v_l=rot(v\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-(\mathrm{\Delta }\mu )v_i+\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i\end{array}$$
を使うと
$$\begin{array}{rl}2(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{\sigma }_{ji}& ={\mathrm{\nabla }}_i((\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{v}_j)-\frac{2}{3}\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-rot(v\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-(\mathrm{\Delta }\mu )v_i+\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i\\ & ={\mathrm{\nabla }}_i((\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{v}_j)+\frac{1}{3}\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i+rot(v\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-(\mathrm{\Delta }\mu )v_i\end{array}$$
となるから、
$$\begin{array}{rl}\rho \frac{D{v}_i}{dt}& =-(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}P{)}_i+\mu \mathrm{\Delta }{v}_i+\lambda (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\theta {)}_i+\frac{1}{3}\mu (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\theta {)}_i+\frac{1}{3}\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i+\theta (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\lambda {)}_i\\ & +{\mathrm{\nabla }}_i((\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}^j{v}_j)+rot(v\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mu {)}_i-(\mathrm{\Delta }\mu )v_i-\rho (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }{)}_i\end{array}$$
となります。これはNavier-Stokes方程式です（係数が標準的なものと少し違いますが）。