【相対論】相対論的流体

　相対論における流体について基本的なことを解説します。色んな教科書や論文に書いてることです。

　相対論的流体を扱う場合はLagrangianを与えてE-L方程式を出すという方法はあまりしません。もちろん変分法で扱うこともできますがエネルギー運動量テンソルを与える方法が多いです。この記事でもエネルギー運動量テンソルの方法で述べます。エネルギー運動量テンソル$T_{ab}$が与えられたら局所的なエネルギー保存則$\nabla^aT_{ab}=0$が流体の満たすべき運動方程式を与えます。

　本記事の議論は4次元時空$(M,g)$上で考えます。

準備

　相対論的流体を論じるための基本的事項です。まずunit timelikeベクトル場$u$に垂直な面への射影は

で与えられます。テンソル$S_{ab}$の$u$に直交する成分は
$$ (S_{ab})^\perp:=S_{cd}h^c_ah^d_b $$
で与えられます。

　また$u$の微分は次のように分解することができます。$ \nabla_au_bh^a_ch^b_d=\nabla_cu_d+u_cu^a\nabla_au_d$が成り立つので、$\nabla_au_b$を$u$に平行な成分と垂直な成分に分解すると、
$$ \nabla_au_b=\nabla_cu_dh^c_ah^d_b-u_aA_b,\ (A_a=\nabla_uu_a) $$
となり、垂直成分を対称、反対称パートに分解すると
$$ =(\nabla_{(c}u_{d)}+\nabla_{[c}u_{d]})h^c_ah^d_b-u_aA_b $$
となり、対称パートをトレースパートとトレースレスパートに分けると
$$ =(\nabla_{(c}u_{d)}-\frac{1}{3}\theta h_{cd})h^c_ah^d_b+\nabla_{[c}u_{d]}h^c_ah^d_b-u_aA_b+\frac{1}{3}\theta h_{ab},\ \theta=\nabla_au^a $$
となります。ここで

$ \theta=div(u)$:expansion
$ A=\nabla_uu:$acceleation
$ \sigma_{\mu\nu}=(\nabla_{(\mu}u_{\nu)}-\frac{1}{3}\theta h_{\alpha\beta})h^\alpha_\mu h^\beta_\nu:$shear
$ \omega_{\mu\nu}=\nabla_{[\alpha}u_{\beta]}h^\alpha_\mu h^\beta_\nu: $rotation

とおくと、

が得られます。

完全流体

　Euler流体を相対論的に拡張したものが完全流体です。

　完全流体の満たすべき方程式$\nabla^aT_{ab}=0$を具体的に書き下すと以下のようになります。
$$ \nabla^aT_{ab}=u(\rho)u_b+\rho div(u) u_b+\rho\nabla_uu_b+u(P)u_b+Pdiv(u)u_b+P\nabla_uu_b+\nabla_bP=0 $$
を$ u$に平行な方向と垂直な方向に分解すると、平行な成分は
$$ \nabla^aT_{ab}u^b=-u(\rho)-\rho div(u)-u(P)-Pdiv(u)+u(P)=-u(\rho)-\rho div(u)-Pdiv(u)=0 $$
となり、垂直な成分は
$$ \nabla^aT_{ac}h^c_b= \rho\nabla_uu_b+P\nabla_uu_b+(\nabla_bP)^\perp=0 $$
となります。よって完全流体の運動方程式は

となります。

弱重力近似

　重力が非常に弱いとき計量は
$$ g\sim-(1+2\Phi(x,y,z))dt^2+dx^2+dy^2+dz^2,\ |\Phi|<<1 $$
速度場$u$は
$$ u^0\sim 1,\ v^i:=u^i\sim0 $$
$\rho,P$は
$$ \rho>>P $$
と近似します。計量に関しては$\Phi$は１より十分小さいですが、その微分はそんなに小さくないかもという気分があります。

　平行成分は
$$ \frac{d\rho}{dt}=-div(\rho v) $$
となり、垂直成分は
\begin{align} &(\rho+P)\nabla_uu_i\sim \rho\left(\frac{dv_i}{dt}-\Gamma^0_{0i}+\nabla_vv_i\right) \sim \rho\left(\frac{dv_i}{dt}+\nabla_i\Phi+\nabla_vv_i\right)=-\nabla_iP\\ &\rho\frac{Dv}{dt}=-{\rm grad}P-\rho{\rm grad}\Phi \end{align}
となりEuler流体となります。

粘性流体

　続いて完全流体に粘性項を加えたものが相対論的粘性流体です。

　$\nabla^aT^{pf}_{ab}=0$は前の節で計算したので、$T^{vis}$についてだけ計算します。
\begin{align} \nabla^aT^{vis}_{ab}u^b&=-\nabla^a(2\mu\sigma_{ab}+\lambda\theta h_{ab})u^b=2\mu\sigma_{ab}\nabla^au^b+\lambda\theta h_{ab}\nabla^au^b=2\mu\sigma_{ab}\sigma^{ab}+\lambda\theta^2\\ \nabla^aT^{vis}_{ab}h^b_c&=\nabla^aT^{vis}_{ac}+(2\mu\sigma_{ab}\sigma^{ab}+\lambda\theta^2)u_c \end{align}
より運動方程式は

となります。

弱重力近似

　垂直方向の運動方程式を弱重力近似することでNavier–Stokes方程式が出てきます。完全流体と同様の近似を使うと
$$ \rho\frac{Dv_i}{dt}+\rho {\rm grad}\ \Phi+({\rm grad}\ P)_i-\nabla^j(2\mu\sigma_{ji}+\lambda\theta h_{ji})=0 $$
となります。最後の項を計算していきます。
\begin{align} \nabla^j(2\mu\sigma_{ji}+\lambda\theta h_{ji})&=2(\nabla^j\mu)\sigma_{ji}+\mu \nabla^j(\nabla_ju_i+\nabla_iu_j-\frac{2}{3}\theta h_{ij})+\nabla_i(\lambda\theta)\\ &=2(\nabla^j\mu)\sigma_{ji}+\mu (\nabla^j\nabla_ju_i+\nabla^j\nabla_iu_j-\frac{2}{3}\nabla_i\theta)+\nabla_i(\lambda\theta)\\ &=2(\nabla^j\mu)\sigma_{ji}+\mu (\nabla^j\nabla_ju_i+\nabla_i\nabla_ju^j)-\frac{2}{3}\mu\nabla_i\theta+\nabla_i(\lambda\theta)\\ &=2(\nabla^j\mu)\sigma_{ji}+\mu \Delta v_i+\frac{1}{3}\mu\nabla_i\theta+\nabla_i(\lambda\theta) \end{align}
さらに
\begin{align} 2({\rm grad}\ \mu)^j\sigma_{ji}&=({\rm grad}\ \mu)^j(\nabla_jv_i+\nabla_iv_j-\frac{2}{3}\theta h_{ij})\\ &=({\rm grad}\ \mu)^j\nabla_jv_i+\nabla_i(({\rm grad}\ \mu)^jv_j)-(\nabla_i({\rm grad}\ \mu)^j)v_j-\frac{2}{3}\theta ({\rm grad}\ \mu)_i \end{align}
であり、
\begin{align} &rot(v\times {\rm grad}\ \mu)_i=\epsilon_{ijk}\nabla^j(\epsilon^{klm}v_l\nabla_m\mu)=(\delta^l_i\delta^m_j-\delta^l_j\delta^m_i)\nabla^j(v_l\nabla_m\mu)=\nabla^m(v_i\nabla_m\mu)-\nabla^l(v_l\nabla_i\mu)\\ &=({\rm grad}\ \mu)^j\nabla_jv_i+(\Delta\mu) v_i-\theta({\rm grad}\ \mu)_i-(\nabla_i\nabla^l\mu)v_l\\ &\therefore\ ({\rm grad}\ \mu)^j\nabla_jv_i-(\nabla_i\nabla^l\mu)v_l=rot(v\times {\rm grad}\ \mu)_i-(\Delta\mu) v_i+\theta({\rm grad}\ \mu)_i \end{align}
を使うと
\begin{align} 2({\rm grad}\ \mu)^j\sigma_{ji}&=\nabla_i(({\rm grad}\ \mu)^jv_j)-\frac{2}{3}\theta ({\rm grad}\ \mu)_i-rot(v\times {\rm grad}\ \mu)_i-(\Delta\mu) v_i+\theta({\rm grad}\ \mu)_i\\ &=\nabla_i(({\rm grad}\ \mu)^jv_j)+\frac{1}{3}\theta ({\rm grad}\ \mu)_i+rot(v\times {\rm grad}\ \mu)_i-(\Delta\mu) v_i \end{align}
となるから、
\begin{align} \rho\frac{Dv_i}{dt}&=-({\rm grad}\ P)_i+\mu \Delta v_i+\lambda({\rm grad}\ \theta)_i+\frac{1}{3}\mu({\rm grad}\ \theta)_i+\frac{1}{3}\theta ({\rm grad}\ \mu)_i+\theta({\rm grad}\ \lambda)_i\\ &+\nabla_i(({\rm grad}\ \mu)^jv_j)+rot(v\times {\rm grad}\ \mu)_i-(\Delta\mu) v_i-\rho ({\rm grad}\ \Phi)_i \end{align}
となります。これはNavier-Stokes方程式です（係数が標準的なものと少し違いますが）。