極限シリーズ 第０章 高校範囲の極限のお気持ち + 問題集

次の極限を求めよ。
$$\lim_{x\to\pi}\int_{\pi}^{x}\dfrac{x+t}{\sin{(x+t)}}dt$$

次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n\to\infty}n\int_{1}^{2}\log{\left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)}dx$$

数列 $\{a_n\}$ を
$$ a_1 = 5, \quad a_{n+1} = \frac{4a_n - 9}{a_n - 2} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$
で定める。また数列 $\{b_n\}$ を
$$ b_n = \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n}{1 + 2 + \cdots + n} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$
と定める。
(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(2) すべての $n$ に対して、不等式 $b_n \leqq 3 + \dfrac{4}{n+1}$ が成り立つことを示せ。
(3) 極限値 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n$ を求めよ。

$t$ を正の実数として、定積分 $I(t)$ を
$$ I(t) = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x + t} \, dx$$
と定める。このとき、極限
$$\lim_{t \to \infty} t^4 \left( I(t) - \frac{a}{t} - \frac{b}{t^2} - \frac{c}{t^3} \right)$$
が $0$ ではない実数に収束するような実数 $a, b, c$ および、そのときの極限値を求めよ。

$t$を正の実数、$n$を自然数とする。
(1)等式 $\displaystyle \lim_{t\to+0}t\log{t}=0$ を示せ。
(2)次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log{\left(\dfrac{k}{n}\right)}$$

関数
$$ f(x) = \int_{x}^{x+1} \log(4t^2 + 1) \, dt$$
に関して、以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ。また、そのときの極値を求めよ。
(2) 極限 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x \{ f(x) - f(x-1) \}$ を求めよ。

$n$を$2$以上の整数とする。平面上に$n+2$個の点$O, P_0, P_1, \cdots, P_n$があり、次の$2$つの条件をみたしている。
① $\angle P_{k-1}OP_k = \dfrac{\pi}{n}\;(1 \leqq k \leqq n),\;\angle OP_{k-1}P_k = \angle OP_0P_1\;(2 \leqq k \leqq n)$
② 線分$OP_0$の長さは$1$、線分$OP_1$の長さは$1 + \dfrac{1}{n}$である。
線分$P_{k-1}P_k$の長さを $a_k$ とし、$\displaystyle s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ とおくとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} s_n$ を求めよ。

次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$$

$t$を正の実数とする。$f(t)=\sin\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{t}$と定める。
(1)$f^{\prime}(t)$が$t=0$で連続であることを示せ。
(2)次の極限を求めよ。
$$ \lim_{t\to0}\left(\dfrac{\sin{t}}{t}\right)^{\frac{1}{t^2}}$$

次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n\to\infty}\cos^{n}\dfrac{\pi}{\sqrt{n}}$$

1. 正の整数 $k$ に対し、
   $$ A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} |\sin(x^2)| \, dx$$
   とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
   $$ \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \le A_k \le \frac{1}{\sqrt{k\pi}}$$
2. 正の整数 $n$ に対し、
   $$ B_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}} |\sin(x^2)| \, dx$$
   とおく。極限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$ を求めよ。

実数$a,b$に対し、次の極限値を実数全体で連続な関数$f(x)$を用いて表せ。
$$ \lim_{n\to\infty}n\int_{\sqrt[n]{a}}^{\sqrt[n]{b}}f\left(x^x\right)\,dx$$

関数$f(x)$を$f(x)=\dfrac{1}{2}\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}$とする。ただし、$e$は自然対数の底である。

1. $x>\dfrac{1}{2}$ならば、$0\leqq f^{\prime}(x)<\dfrac{1}{2}$であることを示せ。
2. $x_0$を正の数とするとき、数列$\{x_{n}\}(n=0,1,\cdots)$を$x_{n+1}f(x_{n})$で定める。
   $x_{0}>\dfrac{1}{2}$ であれば、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}=1$であることを示せ。

次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\int_{0}^{1}\sqrt[n]{1+x^{2}}dx\right)^n$$

$a_1 = \dfrac{1}{2}$ とし、数列 $\{a_n\}$ を漸化式 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{(1 + a_n)^2}$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$ によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 各 $n = 1, 2, 3, \cdots$ に対し $b_n = \dfrac{1}{a_n}$ とおく。$n > 1$ のとき、$b_n > 2n$ となることを示せ。
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ を求めよ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n a_n$ を求めよ。

次の極限を求めよ。
$$\lim_{n\to\infty}\int_{\pi}^{2\pi}\dfrac{|\sin{nx}|}{x-\cos^2{nx}}dx$$

$n$ は $2$ 以上の自然数とする。関数 $y = e^x \cdots\cdots (\text{ア}),\;y = e^{nx} - 1 \cdots\cdots (\text{イ})$ について以下の問いに答えよ。
(1) $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ のグラフは第 $1$ 象限においてただひとつの交点を持つことを示せ。
(2) 第 $1$ 象限内で $(\text{ア})$ と $(\text{イ})$ のグラフおよび $y$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_n$ とおく。このとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n S_n$ を求めよ。

次の極限を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \left\{\dfrac{(3n)!}{n^{2n}n!}\right\}^{\frac{1}{n}}$$

以下の問いに答えよ。
(1) $n$ を $1$ 以上の整数とする。$x$ についての方程式
$$ x^{2n-1} = \cos x$$
は、ただひとつの実数解 $a_n$ をもつことを示せ。
(2) (1) で定まる $a_n$ に対し、$\cos a_n > \cos 1$ を示せ．
(3) (1) で定まる数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots\cdots, a_n, \cdots\cdots$ に対し、
$$ a = \lim_{n \to \infty} a_n, \quad b = \lim_{n \to \infty} {a_n}^n, \quad c = \lim_{n \to \infty} \frac{{a_n}^n - b}{a_n - a}$$
を求めよ。