小さい位数の群の分類(位数 1,2,3)

位数1-3の群の分類

この記事では、位数1-3の群について同型を除いてすべて分類していきます。ぼくが初学者なので泥臭くできるだけ簡単に調べます。

位数1

位数1の群は定義より1通りしか存在しません。
まず、単位元 $e\in G$が存在しますが、それがすべてです。
つまり $G=\{e\}$の1通りです。

位数2

位数2の群は1通りしか存在しません。それを今から確かめていきます。
まず、単位元$e\in G$が存在します。$G$は単位元以外の元$a$を用いて、$G=\{e,a\}$と書けますね。
ここで、何通りか調べるために重要なのは演算表です。$G$にどのような演算が入っているのかを調べます。
ここで一度、演算表の例を出しましょう。

上の表は1行目と1列目による演算を表していて、1列目のもののほうが右から結合する演算です。また一番左上の$-$は演算方法です。
この表の場合、演算表を埋めると次のようになります。

ではこれと同じことを$G$で考えてみましょう。

この演算表で、$e$は単位元になるので、どの元と演算してもその値を変えません。つまり、

と埋まり、$a*a$さえ定まればすべての演算が決まります。もし$a*a$が2通りあれば、位数2の群は2通りあるということになります。ここで、

$a*a=e$にほかならない

ということを説明します。
$a*a=a$だとすると、$a^{-1}$を両辺にかけることで、$a=e$となり不合理になります。だから、$a*a$は1通りで、位数2の群も1通りだと定まります。　一般に演算表では、同じ行と列に同じ値を入れることはできません。例えば、$a*c=a*d$という結果を得たとき、$a^{-1}$を左からかけて、$c=d$を得るからです。このことは今後も使います。

位数3

さて、位数3の場合も同様に演算表を考えます。$G=\{e,a,b\}$と置きます。

まず先ほどの単位元の注意から上のように演算表が埋まりますね。
ここで行と列それぞれに同じ文字が入らないように気を付けると、1通りしか埋め方がないことがわかります。そして次のような表が得られます。

よって、位数3の群は1通りです。
さらに、よく注目すると、$b=a^2$と書けて、$a^3=e$となっていることがわかります。$G=\{e,a,a^2\}$となりますね。
ここで、次の用語を説明してこの記事の締めとします。

先ほどの位数3の場合、$G=\langle a \rangle$であった。