いい感じの問題

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多重ポリログ

正の整数 $k_{1}, \dots, k_{r}$ と、絶対値が $1$ 以下の複素数 $z_{1}, \dots, z_{r}$ について、(多重)級数 $\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{z_{1}^{n_{1}} \dots z_{r}^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$ を考える。証明は省略するが、この級数は $(k_{r}, z_{r}) \neq (1, 1)$ のとき収束し、その値を ${L i}_{k_{1}, \dots k_{r}} (z_{1}, \dots, z_{r})$ と書くことにする。これは多重ポリログと呼ばれ、今日盛んに研究が行われている。特に、 $z_{1}, \dots, z_{r}$ が全て $ζ_{N} := \exp (\frac{2 π i}{N})$ の冪であるときは、level $N$ の多重L値と呼ぶ。

いくつかの正の整数の組 $(k_{1}, \dots, k_{r})$ をインデックスと呼び、しばしば太字で $k$ などと書く。

本題

前置きが長くなりましたが、ここで問題です。

インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ と $0 < p < q$ で互いに素な整数 $p, q$ について、 $Z_{p, q} (k)$ を
$\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{(- 1)^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} (\binom{- p / q}{n_{r}})$
で定める。このとき、 $Z_{p, q} (k)$ はlevel $q$ の多重L値の $Q$ 線型結合で書けることを示せ。

投稿日：2023年5月4日

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Ιδέα

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割り算が苦手です

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