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大学数学基礎問題
いい感じの問題
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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{dep}[0]{{\rm dep}}
\newcommand{ds}[0]{\displaystyle}
\newcommand{Li}[0]{{\rm Li}}
\newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}}
\newcommand{n}[0]{\varnothing}
\newcommand{ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{R}[0]{{\cal R}}
\newcommand{sh}[0]{ш}
$$
多重ポリログ
正の整数$k_1,\cdots,k_r$と、絶対値が$1$以下の複素数$z_1,\cdots,z_r$について、(多重)級数$$\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{z_1^{n_1}\cdots z_r^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$を考える。証明は省略するが、この級数は$(k_r,z_r)\neq(1,1)$のとき収束し、その値を$\Li_{k_1,\cdots k_r}(z_1,\cdots,z_r)$と書くことにする。これは多重ポリログと呼ばれ、今日盛んに研究が行われている。特に、$z_1,\cdots,z_r$が全て$\ds\zeta_N:=\exp\left(\frac{2\pi i}{N}\right)$の冪であるときは、level$N$の多重L値と呼ぶ。
いくつかの正の整数の組$(k_1,\cdots,k_r)$をインデックスと呼び、しばしば太字で$\bm k$などと書く。
本題
前置きが長くなりましたが、ここで問題です。
インデックス$\bm k=(k_1,\cdots,k_r)$と$0< p< q$で互いに素な整数$p,q$について、${\mathcal{Z}}_{p,q}(\bm k)$を
$$\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{(-1)^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\binom{-p/q}{n_r}$$
で定める。このとき、${\mathcal{Z}}_{p,q}(\bm k)$はlevel$q$の多重L値の$\mathbb{Q}$線型結合で書けることを示せ。
投稿日：2023年5月4日
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