ここでは東大数理の修士課程の院試の2021A02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2021A02
実数に対し
とする。またをを原点を軸に反時計回りに角度だけ回転させた領域とする。積分
を考え、更に
とおく。
- 及びの値をを用いて表しなさい。
- 極限
を求めなさい。
- 初めに
であり、これはのときに最大値を取る。また上記の式にを代入しても得られる。 - 初めにルベーグの優収束定理から有界領域に対して
である。よってある定数を用いて
であるから、これにより不等式
が従う。(1)から右辺第二項のオーダーはであるから、これにより
が従う。
またある定数を用いて
であるから、これにより不等式
が従う。(1)から右辺第二項のオーダーはであるから、これにより
が従う。
以上から
がわかる。