東大数理院試過去問解答例(2021A02)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2021A02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2021A02

実数 $a > 0$ に対し
$D_{a} = [0, a] \times [0, a]$
とする。また $D_{a, θ}$ を $D_{a}$ を原点を軸に反時計回りに角度 $θ$ だけ回転させた領域とする。積分
$f (a, θ) = \int_{D_{a, θ}} (e^{x^{3} + y^{3}} - 1) d x d y$
$g (a, θ) = \int_{D_{a, θ}} (x^{3} + y^{3}) d x d y$
を考え、更に
$M_{a} = max_{θ \in R} f (a, θ)$
$L_{a} = max_{θ \in R} g (a, θ)$
とおく。

$L_{a}$ 及び $g (a, 0)$ の値を $a$ を用いて表しなさい。
極限
$lim_{a \to + 0} \frac{M_{a}}{f (a, 0)}$
を求めなさい。

初めに
$\begin{aligned} \int_{D_{a, θ}} (x^{3} + y^{3}) d x d y & = \int_{D_{0, θ}} (x \cos θ - y \sin θ)^{3} + (x \cos θ + y \sin θ)^{3} d x d y \\ = 2 \int_{D_{0, θ}} (x^{3} \cos θ + 3 x y^{2} \cos θ \sin^{2} θ) d x d y \\ = \frac{a^{5}}{2} \cos^{3} θ + \frac{a^{5}}{2} \cos θ \sin^{2} θ \\ = \frac{a^{5}}{2} (\cos^{3} θ + 2 \cos θ \sin^{2} θ) \\ = \frac{a^{5}}{2} (- \cos^{3} θ + 2 \cos θ) \end{aligned}$
であり、これは $\cos θ = \sqrt{\frac{2}{3}}$ のときに最大値 $L_{a} = \frac{2 \sqrt{6}}{9} a^{5}$ を取る。また上記の式に $θ = 0$ を代入して $g (a, 0) = \frac{a^{5}}{2}$ も得られる。
初めにルベーグの優収束定理から有界領域 $D$ に対して
$\int_{D} (e^{x^{3} + y^{3}} - 1) d x d y = \int_{D} (x^{3} + y^{3}) d x d y + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{D} (x^{3} + y^{3})^{n} d x d y$
である。よってある定数 $C$ を用いて
$L_{a} \leq M_{a} \leq L_{a} + C \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a^{3 n}}{n!} = L_{a} + C (\exp (a^{3}) - a^{3} - 1)$
であるから、これにより不等式
$1 \leq \frac{M_{a}}{L_{a}} \leq 1 + \frac{\exp (a^{3}) - a^{3} - 1}{L_{a}}$
が従う。(1)から右辺第二項のオーダーは $1$ であるから、これにより
$lim_{a \to + 0} \frac{M_{a}}{L_{a}} = 1$
が従う。
またある定数 $D$ を用いて
$g (a, 0) \leq f (a, 0) \leq g (a, 0) + D (\exp (a^{3}) - a^{3} - 1)$
であるから、これにより不等式
$1 \leq \frac{f (a, 0)}{g (a, 0)} \leq 1 + \frac{\exp (a^{3}) - a^{3} - 1}{g (a, 0)}$
が従う。(1)から右辺第二項のオーダーは $1$ であるから、これにより
$lim_{a \to + 0} \frac{f (a, 0)}{g (a, 0)} = 1$
が従う。
以上から
$lim_{a \to + 0} \frac{M_{a}}{f (a, 0)} = lim_{a \to + 0} \frac{L_{a}}{g (a, 0)} = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$
がわかる。

投稿日：2024年8月23日

更新日：2024年8月23日

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