素微分友愛数の性質を弱めたかった話

前提

素微分の定義などはこちら

$p_{i}$ を0から数えてi番目の素数とする。また $q_{i}$ は有理数とする。
$n = \prod_{i = 0}^{\infty} {p_{i}}^{q_{i}}$ と書けるとき、素微分 $D$ を以下のように定義する。
$D (n) := n \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{q_{i}}{p_{i}}$
また対数素微分ldを次のように定義する。
$ld (n) := \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{q_{i}}{p_{i}}$
以下の関係式は明らか。

$D (n) = n \cdot ld (n)$

※また、本記事の内容は素微分友愛数となる相異なる自然数同士は互いに素を前提としています。

導入

素微分友愛数を探す、または非存在を証明する方法がまるっきり分からないので、素微分友愛数なら満たすような弱い性質を考えることにした。
着目したのは、素微分友愛数における対数素微分の性質である、

・ $a$ が素微分友愛数であることと、 $ld (a) \cdot ld (D (a)) = 1$ は同値

という性質である。

ここから正整数 $n$ の素微分上の知り合い(?)を定義する。

$n$ と $m$ が知人同士であるとは、以下が成り立つこと。

$n, m$ が知人同士 $⟺$ $n \cdot m = D (n) \cdot D (m)$

ちなみに知り合い要素は、素微分友愛数を弱めたものだからである。
（思い付きでの命名であるので、単語の衝突などがあれば申し訳ない。）

定義中の式を変形することで、 $1 = ld (n) \cdot ld (m)$ が得られるため、 $m = D (n)$ とすれば、素微分友愛数の場合になる。

知人同士の例を挙げる。

知人同士となる組

$(6, 20) は知人同士 ⟺ D (6) \cdot D (20) = 5 \cdot 24 = 6 \cdot 20$
$(27, 4) は知人同士 ⟺ D (4) \cdot D (27) = 4 \cdot 27$

知人同士の組には例があるので、自然数の条件を制限することで、素微分友愛数の性質も考えられるのではないかと思った。

ただ後述するが素微分友愛数の知人は少ない。

知人同士の関係について分かること。

$a, b$ が素微分友愛数なら、 $a, b$ は知人同士。
$a$ と $b$ が知人同士で $b = D (a)$ が成り立つなら $a = D (b)$ 。
(つまり $a, b$ は素微分友愛数)
$a$ と $b$ が知人同士で $a$ が素微分完全数なら、 $b$ も素微分完全数

上記はほぼ自明であるので、本題に入る。

本題

非自明な素微分友愛数に関して、知人同士となる数はただ一つ

$a$ が非自明な素微分友愛数、つまりは素微分完全数でない素微分友愛数であるとする。

まず素微分友愛数 $a$ については $D (a)$ がその知人として存在している。

知人同士の定義より、

$a \cdot b = D (a) \cdot D (b)$

について、 $b$ の性質を考える。

$a$ は非自明な素微分友愛数なので、 $a, D (a)$ は互いに素であり、また式の両辺が等しいことから、ある正整数cが存在して、

$c \cdot a \cdot D (a) = a \cdot b = D (a) \cdot D (b)$

とできる。
これにより、２つの式を得る。

$\begin{array}{r} {\begin{cases} c \cdot D (a) = b \dots (1) \\ c \cdot a = D (b) \dots (2) \end{cases} \end{array}$

ここから、 $c = 1$ を示す。

式(1)を素微分し、式(2)と比較することで、
$D (c) \cdot D (a) + c \cdot D (D (a)) = c \cdot a$
$a$ は素微分友愛数であったから、 $D (D (a)) = a$ より、
$D (c) \cdot D (a) + c \cdot a = c \cdot a$
$⟺$ $D (c) \cdot D (a) = 0$
$⟺$ $D (c) = 0 \dots (3)$ または $D (a) = 0 \dots (4)$
式(3)(4)について、素微分すると $0$ になる正整数は $1$ だけであり、 $1$ は素微分友愛数ではないので、式(3)より $c = 1$ が分かる。