Riemann積分よりも、Lebesgue積分よりも一般的な積分(その1)

\begin{align*} P_1 &= \{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_n,[u_n,v_n])\}\\ P_2 &= \{(t_{n+1},[u_{n+1},v_{n+1}]),\dots ,(t_{n+m},[u_{n+m},v_{n+m}])\} \end{align*}
をそれぞれ$[a,c],[c,b]$上の$\delta$-細 Perron 分割 とする.
このとき次が成り立つ.
\begin{align*} &[a,c]=\bigoplus_{k=1}^n [u_k,v_{k}],\\ &[c,b]=\bigoplus_{k=1}^m [u_{n+k},v_{n+k}]. \end{align*}
よって,
\begin{align*} [a,b]=\bigoplus_{k=1}^{n+m} [u_{k},v_{k}]. \end{align*}
ただし,$\bigoplus$は互いに交差しない集合の和集合を表すとする.
また,任意の$k=1,\dots n+m$に対して,
\begin{align*} [u_k,v_k]\subset (t_k-\delta (t_k),t_k+\delta (t_k)). \end{align*}
以上から$P=P_1 \cup P_2=\{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_{n+m},[u_{n+m},v_{n+m}])\}$は$\delta $-細Perron 分割になる.

$[a,b]$には$\delta $-細Perron 分割が存在しないとして背理法で示す.
$[a,b]$を$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$の互いに素な和集合とすると,Lemma 1.1.4.から,$\{[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]\}$から$\delta$-細 Perron 分割を持たない区間$[a_1,b_1]$を選ぶことができる.
これを繰り返すと,任意の$n\in \mathbb{N}$に対して次の三条件を満たすような,$\mathbb{R}$上の区間列$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\dots $を取ることができる.
(i)$[a_n,b_n] \supset [a_{n+1},b_{n+1}]$
(ii)$[a_n,b_n]$には$\delta$-細Perron 分割が存在しない.
(iii)$b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$
(i),(iii)から,区間収縮法により,ある$t_0\in \mathbb{R}$が存在して,
\begin{align*} \bigcap _{k=1}^\infty [a_k,b_k]=\{t_0\}.\dots (A) \end{align*}
一方,$(A)$と$\delta (t_0)>0,$(iii)から,ある$N\in \mathbb{N}$が存在して$\delta (t_0)>\frac{b-a}{2^N},\{(t_0,[a_N,b_N])\}$ は$[a_N,b_N]$上の$\delta $-細Perron 分割となるが,これは(ii)と矛盾する.

$\epsilon >0$を任意にとる.$f$は連続より,任意の$x_0\in [a,b]$に対してある$\delta _0{(x_0)}>0$が存在して,
\begin{align*} |f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}, \ \ (x \in (x_0-\delta _0({x_0}),x_0+\delta _0({x_0}))) \end{align*}
示したいことは,ある$\eta >0$が存在して,
\begin{align*} s,t\in [a,b] \quad( \text{with} |s-t|<\eta )\Rightarrow |f(s)-f(t)|<\epsilon . \end{align*}
$[a,b]$上のゲージ$\delta $を$\delta =\frac{1}{2}\delta _0 $と定義する.Cousin's Lemmaから,$[a,b]$上の$\delta$-細 Perron 分割 $\{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_p,[u_p,v_p])\}$を取ることができる.
$s,t\in [a,b]$を$|t-s|<\eta := \min \{\delta (t_j): j=1,\dots ,p\}$となるようにとると,ある$j\in \{1,\dots ,p\}$が存在して
\begin{align*} t\in [u_j,v_j]\subset (t_j -\delta (t_j),t_j + \delta (t_j)) \Rightarrow |t-t_j|<\delta (t_j) \end{align*}
が成り立ち,$|s-t_j|\leq |s-t|+|t-t_j|<2\delta (t_j)=\delta _0(t_0).$したがって
\begin{align*} |f(t)-f(s)|\leq |f(t)-f(t_j)|+|f(t_j)-f(s)|<\epsilon . \end{align*}
中辺は連続関数であることから得られた不等式の$x=t,s ,x_0=\delta _0 (t_j)$とした場合から得られる.

Theorem 1.1.6.より,$f\in C[a,b]$とすると,fは一様連続であるので,$\epsilon =1$とおくと,ある$\delta >0$が存在して,
\begin{align*} |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<1 \end{align*}
が任意の$x,y\in [a,b]$に対して成り立つ.
区間$[a,b]$は長さ有限なので,長さ$\delta $未満の有限個の区間で覆える.つまり,点$x_1,\dots ,x_N \in [a,b]$を取って
\begin{align*} [a,b]\subset \bigcup _{i=1}^{N} (x_i -\delta ,x_i+\delta ) \end{align*}
となるようにできる.任意の$x\in [a,b]$をとると,ある$i$があって$|x-x_i|<\delta $であり,したがって,
\begin{align*} |f(x)|\leq |f(x_i)|+|f(x)-f(x_i)|<|f(x_i)|+1 \end{align*}
よって,任意の$x\in [a,b]$に対して$\displaystyle|f(x)|< \max_{i=1,\dots ,N}|f(x_i)|+1$が成り立つ.右辺は定数より,$f$は有界である.

(Definition 1.2.1$ \Rightarrow $Definition 1.2.1'):
分割$\Delta :a=x_0<\dots < x_n=b$に対して,
\begin{align*} \max_{j\in \{1,\dots ,n\}}(x_j-x_{j-1})<\delta \end{align*}
を満たす$\delta $を取り,ゲージ$\delta (x)$を
\begin{align*} \delta (x)=\delta \end{align*}
と定義する.$j=1,2,\dots ,n$に対して$T\ni t_j\in [x_{j-1},x_j]$を取り,$x\in [x_{j-1},x_j]$を取ると,
\begin{align*} x-t_j&\leq x-x_{j-1}\leq x_j-x_{j-1}\leq \delta ,\\ t_j-x&\leq x_j-x\leq x_j-x_{j-1}\leq \delta \end{align*}
であるから,分割$\Delta $と代表点系$T$に関して,$\delta $-細 Perron分割であるから,Definition 1.2.1. からDefinition 1.2.1.'が示された.

(Definition 1.2.1'$ \Rightarrow $Definition 1.2.1):定数ゲージ$\delta (x)=c$に対して,$P=\{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_p,[u_p,v_p])\}$を$[a,b]$の$\delta $-細 Perron 分割とし,$\delta =2c $とすると,
\begin{align*} \max_{j\in \{1,\dots ,p\}} (u_j-v_{j-1})<(t_j +c-(t_j -c))=2c=\delta . \end{align*}
したがって,Definition 1.2.1'からDefinition 1.2.1が言える.

$A_1,A_2$をDefinition 1.2.2を満たす数とし,$A_1=A_2$を示す.
$\epsilon >0$を任意にとる.$A_1$はDefinition 1.2.2を満たすので,$[a,b]$上のあるゲージ $\delta _1$が存在して,
\begin{align*} |S(f,P_1)-A_1|<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}
が$[a,b]$上の任意の$\delta _1$-細 Perron 分割 $P_1$で成り立つ.
同様にして,$[a,b]$上のあるゲージ $\delta _2$が存在して,
\begin{align*} |S(f,P_2)-A_2|<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}
が$[a,b]$上の任意の$\delta _2$-細 Perron 分割 $P_2$で成り立つ.
ここで,$[a,b]$上のゲージ $\delta $を
\begin{align*} \delta (x)=\min \{\delta _1(x),\delta _2(x)\} \end{align*}
で定義する.Cousinの補題から,$[a,b]$上の$\delta $-細 Perron 分割 $P$が得られる.
ゲージ $\delta $の定義から,$\delta $-細 Perron 分割 $P$は$\delta _1, \delta _2$-細である.
\begin{align*} |A_1-A_2|\leq |S(f,P)-A_1|+|S(f,P)-A_2|<\epsilon. \end{align*}
$\epsilon >0$は任意より,$A_1=A_2.$

$(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$を$[0,1] \cap \mathbb{Q}$全ての値を取る(全単射な)点列とし,$\epsilon >0$を任意にとる.
$[0,1]$上のゲージ $\delta $を
\begin{equation*} \delta (x)= \begin{cases} \frac{\epsilon }{2^{n+1}} & \text{if $\exists n\in \mathbb{N}, x=r_n $,} \\ 1 & \text{if $x\in [0,1]\backslash \mathbb{Q}.$} \end{cases} \end{equation*}
$P$を$[0,1]$上の$\delta $-細 Perron 分割 とすると,
\begin{align*} |S(f,P)-0|&=\Bigg |\sum_{\substack{(t,[u,v]) \\ t\in \mathbb{Q}\cap [0,1]}} f(t)(u-v) +\sum_{\substack{(t,[u,v]) \\ t\in [0,1]\backslash \mathbb{Q}}} f(t)(u-v)\Bigg |\\ &=\sum_{\substack{(t,[u,v]) \\ t\in \mathbb{Q}\cap [0,1]}} f(t)(u-v)\\ &<\sum _{k=1}^\infty \frac{\epsilon}{2^k}\\ &=\epsilon. \end{align*}
$\epsilon >0$は任意であるので,$f\in HK[0,1]$で$,(HK)\int _0^1 f = 0$

$f\not \in R[0,1]$を背理法で示す.$f \in R[0,1]\subset HK[0,1]$より,$(HK)\int _0^1 f =0$であるから,$\int _0^1 f=0.$よって,$\epsilon =1$に対して,$[0,1]$上の一定のゲージ $\delta _1$が存在して,
\begin{align*} |S(f,P_1)|<1 \end{align*}
が$[0,1]$上の任意の$\delta $-細 Perron 分割 $P_1 $で成り立つ.
$\frac{1}{q} < \delta _1 $を満たす正の整数$q$取ると,
\begin{align*} P_2 :=\Big \{\Big (\frac{k_1 -1}{q},\Big [\frac{k_1 -1}{q}, \frac{k_1}{q}\Big ] \Big ): k_1 = 1,\dots ,q \Big \} \end{align*}
は$[0,1]$上の$\delta _1$-細 Perron 分割 となる.したがって,
\begin{align*} 1>S(f,P_2)=\sum _{k=1}^q \Big (\frac{k}{q}-\frac{k-1}{q}\Big )=1. \end{align*}

$\epsilon >0$を任意にとる.$F$は$[a,b]$上連続であるので,任意の$x\in [a,b]$に対して,ある$\delta _1(x)>0$が存在して,
\begin{align*} |F(x)-F(y)|<\frac{\epsilon}{6},\ \ (y \in [a,b]\cap (x-\delta _1(x),x+\delta _1(x))). \end{align*}
$F$は$(a,b)$上微分可能より,任意の$x\in (a,b)$に対して,ある$\delta _2(x)$が存在して,
\begin{align*} |F'(x)(v-u)-(F(v)-F(u))|\leq \frac{\epsilon (v-u)}{3(b-a)},\ \ (x\in [u,v]\subset (a,b)\cap (x-\delta _2(x),x+\delta _2(x))). \end{align*}
ここで$[a,b]$上のゲージ $\delta $を,
\begin{equation*} \delta (x)= \begin{cases} \min \Big \{\delta _1(x),\delta _2(x), \frac{x-a}{2},\frac{b-x}{2}\Big \} & \text{if $a< x< b $,} \\ \frac{\epsilon}{6(|f(a)|+|f(b)|+1)} & \text{if $x\in \{a,b\}.$} \end{cases} \end{equation*}
$P$を$\delta $-細 Perron 分割とする.いま,
\begin{align*} [u,v]&\subset (t-\delta (t),t+\delta (t))\subset (t-\delta _2(t),t+\delta _2(t))\\ [u,v]&\subset (t-\delta (t),t+\delta (t))\subset (t-\frac{t-a}{2},t+\frac{b-t}{2})\subset (a,b) \end{align*}
に注意して,
\begin{align*} |S(f,P)-(F(b)-F(a))|&=\Big |\sum _{(t,[u,v])\in P}\Big \{f(t)(v-u)-(F(v)-F(u)) \Big \}\Big |\\ &=\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in {a,b}}} |f(t)(v-u)-(F(v)-F(u))|+\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in (a,b)}} |F'(t)(v-u)-(F(v)-F(u))|\\ &\leq \sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in {a,b}}} (|f(t)|(v-u)-|F(v)-F(u)|)+\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in (a,b)}} \frac{\epsilon (v-u)}{3(b-a)}\\ &=\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in {a,b}}} |f(t)|(v-u)+\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in {a,b}}}|F(v)-F(u)|+\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in (a,b)}} \frac{\epsilon (v-u)}{3(b-a)}\\ &< \frac{\epsilon (|f(a)|+|f(b)|)}{6(|f(a)|+|f(b)|+1)}+\frac{2\epsilon}{6}+\sum_{\substack{(t,[u,v])\in P \\ t\in (a,b)}} \frac{\epsilon (v-u)}{3(b-a)}\\ &<\epsilon. \end{align*}
$\epsilon >0 $は任意であったから,$f\in HK[a,b]で(HK) \int _a^b f =F(b)-F(a).$

絶対値の積分が$\epsilon \rightarrow 0$で$\infty $に発散することを示す.
\begin{align*} \int _\epsilon ^1 |F'(x)| dx&=\int _\epsilon ^1 \Big |2x\sin{\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x}\cos{\frac{1}{x^2}}\Big |dx\\ &\ge \int _\epsilon ^1 \Big |2x\sin{\frac{1}{x^2}}\Big |dx-\int _\epsilon ^1 \Big |\frac{2}{x}\cos{\frac{1}{x^2}}\Big |dx \end{align*}
ここで右辺第一項は
\begin{align*} \int _\epsilon ^1 \Big |2x\sin{\frac{1}{x^2}}\Big |dx \leq \int _\epsilon ^1 \Big |2x\Big |dx=\epsilon ^2 \end{align*}
より$\epsilon \rightarrow 0$のとき$0$に収束.右辺第二項は
\begin{align*} \int _\epsilon ^1 \Big |\frac{2}{x}\cos{\frac{1}{x^2}}\Big |dx &= \int _1 ^\frac{1}{\epsilon ^2}\Big | \frac{\cos{t}}{t}\Big |dt (t=\frac{1}{x^2},\ -\frac{1}{t}dt=\frac{2}{x}dx)\\ &>\sum _{n=1}^N \int _{2n\pi}^{2(n+1)\pi } \frac{|\cos t|}{t} dt\ \ (N\in \mathbb{N} は2(N+1)\pi \leq t \leq 2(N+2)\pi を満たす.)\\ &\ge \sum _{n=1}^N \int_{2n\pi}^{2n\pi +\frac{\pi}{4}} \frac{|\cos t|}{t} dt\\ &\ge \sum _{n=1}^N \int _{2n\pi}^{2(n+1)\pi } \frac{1}{\sqrt{2}t} dt \\ &\ge \sum _{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{2}(2(n+1)\pi +\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\sum _{n=1}^N \frac{1}{n+\frac{9}{8}}\\ \end{align*}
右辺は$\epsilon \rightarrow 0$のとき,$N \rightarrow \infty $で,$\infty $に発散する.

$F$は$0< x\leq 1$で連続関数であり,$x=0$では,
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin{\frac{1}{x^2}}=0=F(0) \end{align*}
より,$F\in C[0,1]$となる.さらに$0< x<1$で微分可能.よってTheorem 1.2.5 より,$F' \in HK[0,1]$で,
\begin{align*} (HK)\int _0^1 (x^2\sin \frac{1}{x^2})'=\sin 1. \end{align*}

関数
\begin{equation*} F(x)= \begin{cases} -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sin ^2 x} & \text{if $0< x\leq \frac{\pi}{2} $,} \\ \frac{1}{3} & \text{if $x=0.$} \end{cases} \end{equation*}
について,$F\in C[0,\frac{\pi}{2}],F'(x)=f(x) ,(0< x<\frac{\pi}{2})$を示す.後者は成り立ち,前者は$0< x\leq \frac{\pi}{2}$で連続で,$x=0$では
\begin{align*} F(x)&=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sin ^2 x}\\ &=\frac{x^2 - \sin ^2 x}{x^2\sin ^2 x}\\ &=\frac{x^2 - (x-\frac{x^3}{6}+O(x^5))^2}{x^2(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5))^2}\\ &=\frac{\frac{x^4}{3}+O(x^5)}{x^4+O(x^5)}\\ &\rightarrow \frac{1}{3}. \end{align*}
となり,なりたつ.Theorem 1.2.5. から$f \in HK[0,\frac{\pi}{2}], (HK)\int f = F(\frac{\pi}{2})-F(0)=\frac{2}{3} - \frac{4}{\pi ^2}.$

$\epsilon >0$を任意にとる.$f\in HK[a,b]$であるから,あるゲージ$\delta _1$が存在して,
\begin{align*} \Big |S(f,P_1)-(HK)\int _a^b f\Big |<\frac{\epsilon }{2} \end{align*}
が任意の$\delta _1 $-細Perron partition $P_1 $に対して成り立つ.
$g\in HK[a,b]$であるから,あるゲージ$\delta _2$が存在して,
\begin{align*} \Big |S(f,P_2)-(HK)\int _a^b g\Big |<\frac{\epsilon }{2} \end{align*}
が任意の$\delta _2 $-細Perron partition $P_2 $に対して成り立つ.
ここで,ゲージ$\delta $を
\begin{align*} \delta (x)=\min \{\delta _1(x),\delta _2(x)\}\ (x\in [a,b]). \end{align*}
と定義し,$P$を$\delta $-細なPerron partition とする.$\delta $の定義から,$P$は$\delta _1,\delta _2$-細となるので,
\begin{align*} S(f+g,P)=S(f,P)+S(g,P) \end{align*}
と,三角不等式から
\begin{align*} \Big |S(f+g,P)-\Big \{(HK)\int _a^b f +(HK)\int _a^b g\} \Big |\leq \Big |S(f,P)-(HK)\int _a^b f \Big |+\Big |S(g,P)-(HK)\int _a^b g \Big |<\epsilon. \end{align*}
$\epsilon >0$は任意であったから結論が従う.

$(\Rightarrow )\epsilon >0$を任意にとる.$f\in HK[a,b]$であるから,あるゲージ$\delta $が存在して,
\begin{align*} \Big |S(f,P_0)-(HK)\int _a^b f \Big |<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}
が任意の$\delta $-細Perron分割$P_0$に対して成り立つ.$P,Q$を共に$\delta $-細なPerron分割とすると
\begin{align*} |S(f,P)-S(f,Q)|\leq \Big |S(f,P)-(HK)\int _a^b f \Big |+\Big |S(f,Q)-(HK)\int _a^b f \Big |<\epsilon \end{align*}
$(\Leftarrow )$各$n\in \mathbb{N}$に対してゲージ$\delta _n$を次が成り立つようにとる:任意の$\delta _n$-細なPerron分割$Q_n,R_n$に対して,
\begin{align*} |S(f,Q_n)-S(f,R_n)|<\frac{1}{n} \end{align*}
となる.
次にゲージ$\Delta _n$を
\begin{align*} \Delta _n(x)=\min \{\delta _1 (x),\dots ,\delta _n(x)\},\ (x\in [a,b]) \end{align*}
と定義し,Cousinの補題から$P_n $を$\Delta $-細なPerron分割とする.
いま$(S(f,P_n))_{n=1}^\infty $が実Cauchy列であることを示す.
$\epsilon >0$を任意にとる.正の整数$N$を$\frac{1}{N}<\epsilon $を満たすようにとると,$n_1,n_2\ge N$を満たす,任意の正の整数$n_1,n_2$に対して,$P_{n_1},P_{n_2}$は$\delta _{\min \{n_1,n_2\}}$-細Perron分割で,
\begin{align*} |S(f,P_{n_1})-S(f,P_{n_2})|<\frac{1}{\min \{n_1,n_2\}}\leq \frac{1}{N}<\epsilon . \end{align*}
よって,$(S(f,P_n))_{n=1}^\infty $は実Cauchy列となる.$\mathbb{R}$は完備であるから,$(S(f,P_n))_{n=1}^\infty $はある実数$A$に収束する.
$f\in HK[a,b]$と$A=(HK)\int _a^b f$であることを示す.$P$を$\Delta _N$-細Perron分割とする.$(\Delta _n)_{n=1}^\infty $は広義単調減少であるから,任意の$n\leq N$に対して,$\Delta _n$-細Perron分割$P_n$は$\Delta _N$-細.したがって
\begin{align*} |S(f,P)-A|=\lim _{n\rightarrow \infty }|S(f,P)-S(f,P_n)|\leq \frac{1}{N}<\epsilon. \end{align*}

$\epsilon >0$を任意にとる.$f\in C[a,b]$より,任意の$x\in [a,b]$に対してある$\delta (x)$が存在して,
\begin{align*} |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)},\ \ (y\in [a,b]\cap x-\delta (x),x+\delta (x)) \end{align*}
が成り立つ.ゲージを$x\mapsto \delta (x)$とする.
\begin{align*} P&=\{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_p,[u_p,v_p])\},\\ Q&=\{(w_1,[x_1,y_1]),\dots ,(w_q,[x_q,y_q])\} \end{align*}
を$\delta $-細Perron分割とすると,$j\in \{1,\dots ,p\},k\in \{1,\dots ,q\}$があって,$[u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]\neq \emptyset $となるとき,点$z_{j,k}\in [u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]$をとる.$r\in \{1,\dots ,p\},s\in \{1,\dots ,q\}$があって,$[u_r,v_r]\cap [x_s,y_s]= \emptyset $となるとき$,z_{r,s}=a$とする.
集合関数$\mu _1$を$\mu _1(\emptyset )=0,\mu([\alpha ,\beta ])=\beta -\alpha (\alpha \leq \beta )$と定義する.
\begin{align*} |S(f,P)-S(f,Q)|&=\Big|\sum _{j=1}^p f(t_j)(v_j-u_j)-\sum _{k=1}^q f(w_k)(y_k-x_k)\Big|\\ &=\Big|\sum _{j=1}^p\sum _{k=1}^q f(t_j)\mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])-\sum _{j=1}^p\sum _{k=1}^q f(w_k)\mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])\Big|\\ &\leq \Big|\sum _{j=1}^p\sum _{k=1}^q (f(t_j)-f(z_{j,k}))\mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])\Big|+\Big|\sum _{j=1}^p\sum _{k=1}^q (f(w_k)-f(z_{j,k}))\mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])\Big|\\ &< \epsilon . \end{align*}
2,3行目の変形は以下に従う.
\begin{align*} \sum _{j=1}^p (v_j-u_j)&=\sum _{j=1}^p \mu _1([u_j,v_j])\\ &=\sum _{j=1}^p \mu _1([u_j,v_j]\cap [a,b])\\ &=\sum _{j=1}^p \mu _1([u_j,v_j]\cap \bigcup_{k=1}^q [x_k,y_k])\\ &=\sum _{j=1}^p \mu _1(\bigcup_{k=1}^q [u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])\\ &=\sum _{j=1}^p \sum _{k=1}^q \mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]) \ \ (各kに対して[x_k,y_k]が互いに素より,[u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]は互いに素) \end{align*}
3,4行目の変形は$[u_j,v_j]\cap [x_k,y_k] =\emptyset $となる場合は$\mu _1([u_j,v_j]\cap [x_k,y_k])=0.$
$[u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]\neq \emptyset $となる場合は$t_j \in [u_j,v_j],z_{j,k} \in [u_j,v_j]\cap [x_k,y_k]\subset [u_j,v_j]$であり$,P$が$\delta $-細 Perron分割であるから,
\begin{align*} z_{j,k}\in [u_j,v_j]\subset [a,b]\cap (t_j -\delta (t_j),t_j + \delta (t_j)) \end{align*}
Cauchyの判定法から,$f\in HK[a,b]$

$[c,d]\subsetneq [a,b]$を任意にとる.$\epsilon >0$を任意にとる.$f\in HK[a,b]$よりTheorem 1.3.4. から$[a,b]$上のゲージ$\delta $が存在して,
\begin{align*} |S(f,P)-S(f,Q)|<\epsilon \end{align*}
が任意の$\delta $-細Perron分割$P,Q$に対して成り立つ.
$[c,d]\subsetneq [a,b]$より,ある互いに交差しない$[a,b]$の部分集合の有限集合$\{[c,d],[u_1,v_1],\dots ,[u_N,v_N]\}$が存在して
\begin{align*} [a,b]=\bigcup \{[c,d],[u_1,v_1],\dots ,[u_p,v_p]\} \end{align*}
が成り立つようにできる.各$k\in \{1,2,\dots ,N\}$に対して$[u_k,v_k]$上$\delta $-細Perron分割$P_k$をとる.いま,$P_{[c,d]},Q_{[c,d]}$が$[c,d]$上の$\delta $-細Perron分割であるとき,明らかに
\begin{align*} P_{[c,d]}\cup \bigcup _{k=1}^N P_k,Q_{[c,d]}\cup \bigcup _{k=1}^N P_k \end{align*}
は$[a,b]$上の$\delta $-細 Perron分割となるので,
\begin{align*} |S(f,P_{[c,d]})-S(f,Q_{[c,d]})|&=\Big |S(f,P_{[c,d]}) +\sum _{k=1}^N S(f,P_k)-S(f,Q_{[c,d]}) -\sum _{k=1}^N S(f,P_k)\Big |\\ &=\Big |S(f,P_{[c,d]}\cup \bigcup _{k=1}^N P_k)-S(f,Q_{[c,d]}\cup \bigcup _{k=1}^N P_k)\Big |<\epsilon . \end{align*}

$\epsilon >0$を任意にとる.$f\in HK[a,c]$から,ある$[a,c]$上のゲージ$\delta _a $が存在して
\begin{align*} \Big | S(f,P_a)-(HK)\int _a^c f\Big |<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}
が$[a,c]$上の任意の$\delta _a $-細Perron分割$P_a$に対して成り立つ.同様に,$[c,b]$上のゲージ$\delta _b $が存在して
\begin{align*} \Big | S(f,P_b)-(HK)\int _c^b f\Big |<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}
が$[c,b]$上の任意の$\delta _b $-細Perron分割$P_b$に対して成り立つ.
いま$[a,b]$上のゲージ$\delta $を
\begin{equation*} \delta (x)= \begin{cases} \min \{\delta _a(x),c-x\} & \text{if $a< x< c$,} \\ \min \{\delta _a(x),\delta _b(x)\} & \text{if $x=c$,} \\ \min \{\delta _b(x),x-c\} & \text{if $c< x< b$.} \end{cases} \end{equation*}
とおき,$P=\{(t_1,[u_1,v_1]),\dots ,(t_p,[u_p,v_p])\}$を$[a,b]$上の$\delta $-細Perron分割とする.
いま,$\delta $の置き方から,$t_j=c$となる$j\in \{1,\dots ,p\}$が存在する.(存在しないとすると,任意の$j\in \{1,\dots ,p\}$に対して,$c< t_j$か$t_j< c$であり,それぞれ$\delta (t_j)\leq t_j - c,c -t_j$に注意して,
\begin{align*} [u_j,v_j]\subset (t_j-\delta (t_j),t_j+\delta (t_j))\subsetneq (c,2t_j+c),(2t_j-c,c). \end{align*}
左辺に$c$は属するが,右辺には属さないため,矛盾.)
(i)いま$t_j=u_j,v_j$のときは$[a,c],[c,b]$上の$\delta $-細Perron分割$P_1,P_2$がそれぞれ存在して,$P=P_1\cup P_2$となる.したがって,
\begin{align*} \Big |S(f,P)-\Big \{(HK)\int _a^c f+(HK)\int _c^b f\Big \} \Big |&\leq \Big |S(f,P_1)-(HK)\int _a^c f \Big |+\Big |S(f,P_2)-(HK)\int _c^b f \Big |<\epsilon. \end{align*}
$\epsilon >0$は任意であるから,題意が従う.
(ii)$u_j< t_j< v_j$のときは,$P'=P\cup \{(t_j,[u_j,c]),(t_j,[c,v_j])\} \backslash \{(t_j,[u_j,v_j])\}$は$[a,b]$上の$\delta $- 細Perron 分割となり,
\begin{align*} S(f,P)&=\sum_{(t,[u,v])\in P} f(t)(v-u)\\ &=\sum_{(t,[u,v])\in P\backslash (t_j,[u_j,v_j])} f(t)(v-u) + f(t_j)(v_j-u_j)\\ &=\sum_{(t,[u,v])\in P\backslash (t_j,[u_j,v_j])} f(t)(v-u) + f(t_j)(v_j-c)+f(t_j)(c-u_j)\\ &=S(f,P') \end{align*}
である.$[a,c],[c,b]$上の$\delta $-細Perron分割$P_1,P_2$がそれぞれ存在して,$P'=P_1\cup P_2$となることに注意して,
\begin{align*} \Big |S(f,P)-\Big \{(HK)\int _a^c f+(HK)\int _c^b f\Big \} \Big | &=\Big |S(f,P')-\Big \{(HK)\int _a^c f+(HK)\int _c^b f\Big \} \Big |\\ &\leq \Big |S(f,P_1)-(HK)\int _a^c f \Big |+\Big |S(f,P_2)-(HK)\int _c^b f \Big |\\ &<\epsilon. \end{align*}