大学数学基礎解説

実数列の極限を上極限で定義する

上極限,極限,実数列

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この記事では，実数列の収束を
$a_{n} \to α ⟺ \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0$
で定義し，極限の基本的な性質をいくつか証明します．

※いろいろ書いてたら準備が長くなってしまったので，適宜読み飛ばしてください．
（本題へ飛ぶ）

拡大実数

拡大実数全体の集合 $\overset{―}{R}$ を導入し，その部分集合が必ず上限・下限を持つことを示す．
（次の節へ飛ぶ）

全順序集合

集合 $X$ 上の全順序とは， $X$ 上の二項関係 $\leq$ であって，次の4条件を満たすもののことである．

任意の $x \in X$ に対して， $x \leq x$ が成り立つ．（反射律）
$x \leq y$ かつ $y \leq x$ を満たす任意の $x, y \in X$ に対して， $x = y$ が成り立つ．（反対称律）
$x \leq y$ かつ $y \leq z$ を満たす任意の $x, y, z \in X$ に対して， $x \leq z$ が成り立つ．（推移律）
任意の $x, y \in X$ に対して， $x \leq y$ または $y \leq x$ が成り立つ．

このとき，集合 $X$ とその上の全順序の組 $(X, \leq)$ を全順序集合という．また， $X$ 上の二項関係 $<$ を
$x < y ⟺ x \leq y かつ x \neq y (x, y \in X)$
で定める．

全順序 $\leq$ が文脈上明らかな場合には，全順序集合 $(X, \leq)$ を単に $X$ と書くことも多い．
また， $x \leq y$ であることを $y \geq x$ と書いたり， $x < y$ であることを $y > x$ と書いたりする．

上界・下界

$(X, \leq)$ を全順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の上界とは，元 $x \in X$ であって，任意の $a \in A$ に対して $a \leq x$ を満たすもののことをいう．
$A$ の下界とは，元 $x \in X$ であって，任意の $a \in A$ に対して $a \leq x$ を満たすもののことをいう．

上に有界・下に有界

$(X, \leq)$ を全順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ が上に有界であるとは， $A$ の上界が存在することをいう．
$A$ が下に有界であるとは， $A$ の下界が存在することをいう．
$A$ が有界であるとは， $A$ が上に有界かつ下に有界であることをいう．

最大元・最小元

$(X, \leq)$ を全順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の最大元とは， $A$ の上界となる元 $m \in A$ のことをいう．
$A$ の最小元とは， $A$ の下界となる元 $m \in A$ のことをいう．

最大元・最小元の一意性

$(X, \leq)$ を全順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．このとき， $A$ の最大元・最小元は，存在すればそれぞれ一意である．
よって， $A$ の最大元が存在すればそれを $max (A)$ と書き， $A$ の最小元が存在すればそれを $min (A)$ と書く．

$m, m^{'} \in A$ がともに $A$ の最大元であるとき $m = m^{'}$ となることを示せばよい．まず， $m$ が $A$ の上界であることと $m^{'} \in A$ から $m \geq m^{'}$ が成り立つ．また， $m^{'}$ が $A$ の上界であることと $m \in A$ から $m \leq m^{'}$ が成り立つ．よって $\leq$ の反対称律から $m = m^{'}$ を得る．
最小元の一意性も同様に示せる．

上限・下限

$(X, \leq)$ を全順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の上限とは， $A$ の上界全体の集合の最小元のことをいう．
$A$ の下限とは， $A$ の下界全体の集合の最大元のことをいう．

$A$ の上限・下限は存在すれば一意だから， $A$ の上限が存在すればそれを $sup_{X} (A)$ と書き， $A$ の下限が存在すればそれを $inf_{X} (A)$ と書く．

上界・下界・最大元・最小元・上限・下限は存在しないこともある．
また， $A$ の上限や下限が存在したとしても，それらが $A$ に属するとは限らない．

2点集合の上限・下限

全順序集合 $(X, \leq)$ と2元 $x, y \in X$ について，集合 ${x, y}$ の最大元 $max ({x, y})$ と最小元 $min ({x, y})$ が存在する．
特に， $max ({x}) = min ({x}) = x$ が成り立つ．

$x \leq y$ の場合は， $y$ が ${x, y}$ の上界だから $max ({x, y}) = y$ であり， $x$ が ${x, y}$ の下界だから $min ({x, y}) = x$ である．
$y \leq x$ の場合も同様に， $max ({x, y}) = x$ と $min ({x, y}) = y$ がわかる．

和集合の上限・下限

全順序集合 $(X, \leq)$ と $X$ の部分集合 $A, B$ について， $A, B$ の上限 $sup_{X} (A), sup_{X} (B)$ がともに存在していれば $\begin{aligned} {sup}_{X} (A \cup B) & = max ({{sup}_{X} (A), {sup}_{X} (B)}) \end{aligned}$ が成り立つ．また， $A, B$ の下限 $inf_{X} (A), inf_{X} (B)$ がともに存在していれば $\begin{aligned} {inf}_{X} (A \cup B) & = min ({{inf}_{X} (A), {inf}_{X} (B)}) \end{aligned}$ が成り立つ．

$x \in A \cup B$ を任意に取る． $x \in A$ の場合は $x \leq sup_{X} (A)$ が， $x \in B$ の場合は $x \leq sup_{X} (B)$ がそれぞれ成り立つから，いずれの場合であっても $x \leq max ({{sup}_{X} (A), {sup}_{X} (B)})$ が成り立つ．つまり $max ({{sup}_{X} (A), {sup}_{X} (B)})$ は $A \cup B$ の上界である．
$A \cup B$ の上界 $y$ を任意に取る．このとき $y$ は $A$ の上界でもあるから $sup_{X} (A) \leq y$ が成り立ち， $y$ は $B$ の上界でもあるから $sup_{X} (B) \leq y$ が成り立つ．よって $max ({{sup}_{X} (A), {sup}_{X} (B)}) \leq y$ が成り立つから， $max ({{sup}_{X} (A), {sup}_{X} (B)})$ は $A \cup B$ の上界の最小元である．

有限集合の上限・下限

全順序集合 $(X, \leq)$ と $X$ の部分集合 $A$ に対して， $A$ が空でない有限集合であれば，最大元 $max (A)$ と最小元 $min (A)$ が存在する．

A

の元の個数に関する帰納法

$0 < # A \leq 2$ の場合は既に示した．
$# A > 2$ の場合， $a \in A$ を任意に取り $A^{'} := A ∖ {a}$ とおく． $0 < # B < # A$ を満たす $X$ の任意の部分集合 $B$ について $max (B)$ と $min (B)$ の存在が示されていると仮定すると
$\begin{aligned} max (A) & = max (A^{'} \cup {a}) \\ = max ({max (A^{'}), max ({a})}) \\ = max ({max (A^{'}), a}), \\ min (A) & = min (A^{'} \cup {a}) \\ = min ({min (A^{'}), min ({a})}) \\ = min ({min (A^{'}), a}) \end{aligned}$ が成り立つ．

実数の順序完備性

実数全体の集合 $R$ は，よく知られた四則演算と全順序を持ち，さらに次の性質を満たしている．

R

の順序完備性

$R$ の任意の部分集合 $A$ について， $A \neq \emptyset$ かつ $A$ が上に有界であれば，その上限 $sup_{R} (A)$ が存在する．

拡大実数

実数全体 $R$ をはじめとする順序集合では，一般に部分集合の上限・下限が存在するとは限らない．
ここでは議論を簡単にするため， $R$ に2つの元を付け加えて，すべての部分集合に上限・下限が存在するようにする．

拡大実数

$\overset{―}{\infty}, \underset{―}{\infty}$ を実数でない元とし， $\overset{―}{R} := R \cup {\overset{―}{\infty}, \underset{―}{\infty}}$ の元を拡大実数という．
拡大実数の順序や演算は，次のように定める．

$R$ の全順序を $\leq_{R}$ とするとき， $\overset{―}{R}$ 上の二項関係 $\leq_{\overset{―}{R}}$ を $\begin{array}{r} a \leq_{\overset{―}{R}} b ⟺ a = \underset{―}{\infty} または b = \overset{―}{\infty} または「 a, b \in R かつ a \leq_{R} b 」 \end{array}$ で定義すると， $\leq_{\overset{―}{R}}$ は $\overset{―}{R}$ 上の全順序となる（証明略）．
説明の都合上 $\leq_{R}$ と $\leq_{\overset{―}{R}}$ を区別したが，以降は区別せず $\leq$ と書く．
$R$ の和を $+_{R}$ ，積を $\times_{R}$ とするとき， $\overset{―}{R}$ の和 $+_{\overset{―}{R}}$ と積 $\times_{\overset{―}{R}}$ を
$a +_{\overset{―}{R}} b$ $b = \underset{―}{\infty}$ $\underset{―}{\infty} < b < \overset{―}{\infty}$ $b = \overset{―}{\infty}$
$a = \underset{―}{\infty}$ $\underset{―}{\infty}$ 未定義
$\underset{―}{\infty} < a < \overset{―}{\infty}$ $a +_{R} b$
$a = \overset{―}{\infty}$ 未定義 $\overset{―}{\infty}$
と
$a \times_{\overset{―}{R}} b$ $b = \underset{―}{\infty}$ $\underset{―}{\infty} < b < 0$ $b = 0$ $0 < b < \overset{―}{\infty}$ $b = \overset{―}{\infty}$
$a = \underset{―}{\infty}$ $\overset{―}{\infty}$ 未定義 $\underset{―}{\infty}$
$\underset{―}{\infty} < a < 0$ $a \times_{R} b$
$a = 0$ 未定義未定義
$0 < a < \overset{―}{\infty}$
$a = \overset{―}{\infty}$ $\underset{―}{\infty}$ 未定義 $\overset{―}{\infty}$
で定義する．
説明の都合上 $+_{R}$ と $+_{\overset{―}{R}}$ ， $\times_{R}$ と $\times_{\overset{―}{R}}$ を区別したが，以降は区別せず $+$ や $\times$ と書く．
また実数のときと同様に，積の記号 $\times$ や括弧を適宜省略したり， $\times$ を $\cdot$ と書いたりする．
$a \in \overset{―}{R}$ に対して， $- a := (- 1) \times a$ とする．
また，以降 $\infty := \overset{―}{\infty}$ と表記する．このとき，もちろん $- \infty = \underset{―}{\infty}$ ， $- (- \infty) = \infty$ である．

$a +_{\overset{―}{R}} b$	$b = \underset{―}{\infty}$	$\underset{―}{\infty} < b < \overset{―}{\infty}$	$b = \overset{―}{\infty}$
$a = \underset{―}{\infty}$	$\underset{―}{\infty}$		未定義
$\underset{―}{\infty} < a < \overset{―}{\infty}$		$a +_{R} b$
$a = \overset{―}{\infty}$	未定義		$\overset{―}{\infty}$

$a \times_{\overset{―}{R}} b$	$b = \underset{―}{\infty}$	$\underset{―}{\infty} < b < 0$	$b = 0$	$b = \overset{―}{\infty}$
$a = \underset{―}{\infty}$	$\overset{―}{\infty}$		未定義	$\underset{―}{\infty}$
$\underset{―}{\infty} < a < 0$		$a \times_{R} b$
$a = 0$	未定義	未定義
$0 < a < \overset{―}{\infty}$
$a = \overset{―}{\infty}$	$\underset{―}{\infty}$		未定義	$\overset{―}{\infty}$

不定形

$\overset{―}{R}$ では，次の形の和や積は定義しない．（※ $0$ と $\pm \infty$ の積は定義する流儀もある）

$\infty + (- \infty)$ や $(- \infty) + \infty$
$0 \times \infty$ や $\infty \times 0$
$0 \times (- \infty)$ や $(- \infty) \times 0$

拡大実数 $a, b \in \overset{―}{R}$ と実数 $c \in R$ に対して，次のことが成り立つ．

$a \leq b$ ならば， $a + c \leq b + c$ である．
$a \leq b$ かつ $0 < c$ ならば， $a c \leq b c$ である．
$a \leq b$ ならば， $- b \leq - a$ である．

$\infty$ は $\overset{―}{R}$ の最大元であり， $- \infty$ は $\overset{―}{R}$ の最小元である．

$\overset{―}{R}$ の任意の部分集合は $\infty$ を上界， $- \infty$ を下界に持ち，したがって $\overset{―}{R}$ の中で有界になる．
これでは有界性という概念を考える意味が無いため，ここからは（順序集合の一般論と異なる用法だが，便宜上）， $\overset{―}{R}$ の部分集合について有界と言ったときには上界・下界として実数が取れることを意味することにする．

\overset{―}{R}

の部分集合の有界性

$A$ を $\overset{―}{R}$ の部分集合とする．

$A$ が上に有界であるとは， $A$ の上界となる実数が存在することをいう．
$A$ が下に有界であるとは， $A$ の下界となる実数が存在することをいう．
$A$ が有界であるとは，(1), (2) の意味で $A$ が上に有界かつ下に有界であることをいう．

実数を拡大実数へと拡げることで，上限・下限が常に存在するようになるというメリットがある．

R

の部分集合の，

\overset{―}{R}

の中での上限・下限

$R$ の部分集合 $A$ について，次のことが成り立つ．
$\begin{aligned} {sup}_{\overset{―}{R}} (A) & = {\begin{cases} {sup}_{R} (A) & (A \neq \emptyset かつ A が上に有界), \\ \infty & (A が上に有界でない), \\ - \infty & (A = \emptyset), \end{cases} \\ {inf}_{\overset{―}{R}} (A) & = {\begin{cases} {inf}_{R} (A) & (A \neq \emptyset かつ A が下に有界), \\ - \infty & (A が下に有界でない), \\ \infty & (A = \emptyset) . \end{cases} \end{aligned}$

$A = \emptyset$ の場合は
$\begin{aligned} {sup}_{\overset{―}{R}} (\emptyset) & = min (\overset{―}{R}) = - \infty, \\ {inf}_{\overset{―}{R}} (\emptyset) & = max (\overset{―}{R}) = \infty \end{aligned}$ が成り立つから，以降 $A \neq \emptyset$ の場合を考える．このとき $- \infty$ は $A$ の上界になり得ないことに注意（もし $- \infty$ が $A$ の上界だと， $A = {- \infty}$ となって $A \subset R$ に矛盾するため）．
$A$ が上に有界でない場合， $A$ の上界は $\infty$ しかないから $sup_{\overset{―}{R}} (A) = \infty$ である．
$A \neq \emptyset$ かつ $A$ が上に有界である場合， $R$ の順序完備性より $sup_{R} (A)$ が存在する．また上の注意から， $A$ に（ $\overset{―}{R}$ の中で） $sup_{R} (A)$ より小さい上界は存在しない．したがって $sup_{R} (A)$ は（ $\overset{―}{R}$ の中でも） $A$ の上限である．

\overset{―}{R}

の順序完備性

$\overset{―}{R}$ の任意の部分集合 $A$ に対して，上限 $sup_{\overset{―}{R}} (A)$ と下限 $inf_{\overset{―}{R}} (A)$ が存在する．

$A^{'} := A \cap R$ ， $A^{″} := A \cap {\infty, - \infty}$ とおくと， $A^{'} \subset R$ であり $A^{″}$ は有限集合だから， $A^{'}, A^{″}$ の上限・下限がともに存在して
$\begin{aligned} {sup}_{\overset{―}{R}} (A) & = {sup}_{\overset{―}{R}} (A^{'} \cup A^{″}) = max ({{sup}_{\overset{―}{R}} (A^{'}), {sup}_{\overset{―}{R}} (A^{″})}), \\ {inf}_{\overset{―}{R}} (A) & = {inf}_{\overset{―}{R}} (A^{'} \cup A^{″}) = min ({{inf}_{\overset{―}{R}} (A^{'}), {inf}_{\overset{―}{R}} (A^{″})}) \end{aligned}$ が成り立つ．（※ $sup_{\overset{―}{R}} (\emptyset) = - \infty$ と $inf_{\overset{―}{R}} (\emptyset) = \infty$ が成り立つから， $A^{″} = \emptyset$ でも問題ない）

{- a ∣ a \in A}

の上限・下限

$\overset{―}{R}$ の部分集合 $A$ について
$\begin{aligned} {inf}_{\overset{―}{R}} ({- a ∣ a \in A}) & = - {sup}_{\overset{―}{R}} (A), \\ {sup}_{\overset{―}{R}} ({- a ∣ a \in A}) & = - {inf}_{\overset{―}{R}} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．

簡単のため $- A := {- a ∣ a \in A}$ と書く．任意の $a \in A$ に対して $a \leq sup_{\overset{―}{R}} (A)$ つまり $- sup_{\overset{―}{R}} (A) \leq - a$ が成り立つから， $- sup_{\overset{―}{R}} (A)$ は $- A$ の下界である．また $- A$ の下界 $x \in \overset{―}{R}$ を任意に取ると，任意の $a \in A$ に対して $x \leq - a$ つまり $a \leq - x$ が成り立つから， $- x$ は $A$ の上界であり $sup_{\overset{―}{R}} (A) \leq - x$ つまり $x \leq - sup_{\overset{―}{R}} (A)$ を得る．よって $- sup_{\overset{―}{R}} (A)$ は $- A$ の下限である．
他方の等式も同様に示せる．

{t a ∣ a \in A}

の上限・下限（

t > 0

）

$\overset{―}{R}$ の部分集合 $A$ と正の実数 $t$ について
$\begin{aligned} {sup}_{\overset{―}{R}} ({t a ∣ a \in A}) & = t \cdot {sup}_{\overset{―}{R}} (A), \\ {inf}_{\overset{―}{R}} ({t a ∣ a \in A}) & = t \cdot {inf}_{\overset{―}{R}} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．

簡単のため $t A := {t a ∣ a \in A}$ と書く．任意の $a \in A$ に対して $a \leq sup_{\overset{―}{R}} (A)$ つまり $t a \leq t \cdot sup_{\overset{―}{R}} (A)$ が成り立つから， $t \cdot sup_{\overset{―}{R}} (A)$ は $t A$ の上界である．また $t A$ の上界 $x \in \overset{―}{R}$ を任意に取ると，任意の $a \in A$ に対して $t a \leq x$ つまり $a \leq t^{- 1} x$ が成り立つから， $t^{- 1} x$ は $A$ の上界であり $sup_{\overset{―}{R}} (A) \leq t^{- 1} x$ つまり $t \cdot sup_{\overset{―}{R}} (A) \leq x$ を得る．よって $t \cdot sup_{\overset{―}{R}} (A)$ は $t A$ の上限である．
他方の等式も同様に示せる．

拡大実数列

$N$ から $\overset{―}{R}$ への写像を拡大実数列という．拡大実数列 $a : N \to \overset{―}{R}$ と $n \in N$ に対して $a_{n} := a (n)$ と書き，列 $a$ 自体を $(a_{n})_{n \in N}$ と書く．
また，値域が $R$ に含まれている拡大実数列を実数列という．

$(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ を拡大実数列とする．

$(a_{n})_{n \in N}$ が単調増加であるとは，任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq a_{n + 1}$ が成り立つことをいう．
$(a_{n})_{n \in N}$ が単調減少であるとは，任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \geq a_{n + 1}$ が成り立つことをいう．
$(a_{n})_{n \in N}$ が上に有界であるとは， $\overset{―}{R}$ の部分集合 ${a_{n} ∣ n \in N}$ が上に有界であることをいう．
$(a_{n})_{n \in N}$ が下に有界であるとは， $\overset{―}{R}$ の部分集合 ${a_{n} ∣ n \in N}$ が下に有界であることをいう．
$(a_{n})_{n \in N}$ が有界であるとは， $\overset{―}{R}$ の部分集合 ${a_{n} ∣ n \in N}$ が有界であることをいう．
$(b_{n})_{n \in N}$ が $(a_{n})_{n \in N}$ の部分列であるとは，次の2条件を満たす写像 $ϕ : N \to N$ が存在することをいう．
- 任意の $n \in N$ に対して $ϕ (n) < ϕ (n + 1)$ が成り立つ．
- 任意の $n \in N$ に対して $b_{n} = a_{ϕ (n)}$ が成り立つ．

拡大実数列の上限・下限

拡大実数列の上限・下限を定義し，その基本性質を調べる．
（次の節へ飛ぶ）

拡大実数列の上限・下限

拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ と非負整数 $k$ に対して，
$\begin{aligned} sup_{n \geq k} a_{n} & := {sup}_{\overset{―}{R}} ({a_{n + k} ∣ n \in N}), \\ inf_{n \geq k} a_{n} & := {inf}_{\overset{―}{R}} ({a_{n + k} ∣ n \in N}) \end{aligned}$
と書く．

拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ の上限・下限は（拡大実数として）必ず存在するが，（たとえ $(a_{n})_{n \in N}$ が実数列であっても）上限・下限が実数とは限らない（ $\pm \infty$ になることがある）．
ただし，常に $a_{n} = - \infty$ である場合を除いて上限は $- \infty$ にならず，常に $a_{n} = \infty$ である場合を除いて下限は $\infty$ にならない．

大小関係の保存

拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ と非負整数 $k$ が，任意の非負整数 $n$ に対して $a_{n + k} \leq b_{n + k}$ を満たすならば
$sup_{n \geq k} a_{n} \leq sup_{n \geq k} b_{n}, inf_{n \geq k} a_{n} \leq inf_{n \geq k} b_{n}$
が成り立つ．

任意の非負整数 $m$ に対して
$a_{m + k} \leq b_{m + k} \leq sup_{n \geq k} b_{n}$
が成り立つから，最右辺 $sup_{n \geq k} b_{n}$ は ${a_{m + k} ∣ m \in N}$ の上界であり，ゆえに $sup_{n \geq k} a_{n} \leq sup_{n \geq k} b_{n}$ を得る．
他方の不等式も同様に示せる．

部分列の上限・下限

拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ とその部分列 $(a_{ϕ (n)})_{n \in N}$ に対して
$inf_{n \geq 0} a_{n} \leq inf_{n \geq 0} a_{ϕ (n)} \leq sup_{n \geq 0} a_{ϕ (n)} \leq sup_{n \geq 0} a_{n}$
が成り立つ．

$\emptyset \neq {a_{ϕ (n)} ∣ n \in N} \subset {a_{n} ∣ n \in N}$ から従う．

(a_{n} + b_{n})_{n \in N}

の上限・下限（その１）

$- \infty$ を値に取らない拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) & \leq sup_{n \geq 0} a_{n} + sup_{n \geq 0} b_{n} . \end{aligned}$
$\infty$ を値に取らない拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} inf_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) & \geq inf_{n \geq 0} a_{n} + inf_{n \geq 0} b_{n} . \end{aligned}$

任意の非負整数 $n$ に対して， $a_{n} \leq sup_{n \geq 0} a_{n}$ と $b_{n} \leq sup_{n \geq 0} b_{n}$ より
$a_{n} + b_{n} \leq sup_{n \geq 0} a_{n} + sup_{n \geq 0} b_{n}$
が成り立つから， $sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) \leq sup_{n \geq 0} a_{n} + sup_{n \geq 0} b_{n}$ を得る．他方の不等式も同様に示せる．

(a_{n} + b_{n})_{n \in N}

の上限・下限（その２）

$- \infty$ を値に取らない単調増加な拡大実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) & = sup_{n \geq 0} a_{n} + sup_{n \geq 0} b_{n} . \end{aligned}$
$\infty$ を値に取らない単調減少な実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} inf_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) & = inf_{n \geq 0} a_{n} + inf_{n \geq 0} b_{n} . \end{aligned}$

任意の非負整数 $m, n$ に対して， $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ の単調増加性より
$a_{m} + b_{n} \leq a_{max ({m, n})} + b_{max ({m, n})} \leq sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n})$
が成り立つから，まず $m$ について上限を取れば，任意の非負整数 $n$ に対して
$sup_{n \geq 0} a_{n} + b_{n} \leq sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n})$
が成り立ち，次に $n$ について上限を取れば
$sup_{n \geq 0} a_{n} + sup_{n \geq 0} b_{n} \leq sup_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n})$
を得る．他方の等式も同様に示せる．

実数列の上極限・下極限

実数列の上極限・下極限を定義し，その基本性質を調べる．
（次の節へ飛ぶ）

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して，拡大実数列 $(sup_{k \geq n} a_{k})_{n \in N}, (inf_{k \geq n} a_{k})_{n \in N}$ の下限，上限を考えることで，上極限や下極限が定義される．

実数列の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} := inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k})$
を $(a_{n})_{n \in N}$ の上極限といい，
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} := sup_{n \geq 0} (inf_{k \geq n} a_{k})$
を $(a_{n})_{n \in N}$ の下極限という．

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ の上極限・下極限は（拡大実数として）常に存在するが，実数になるとは限らない（ $\pm \infty$ になることがある）．
ただし $(a_{n})_{n \in N}$ が有界であれば，上極限・下極限は必ず実数になる．

大小関係の保存

実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ が，任意の非負整数 $n$ に対して $a_{n} \leq b_{n}$ を満たすならば
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}, \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} b_{n}$
が成り立つ．特に，有界な実数列の上極限・下極限はともに実数である．

任意の非負整数 $n$ に対して
$sup_{k \geq n} a_{k} \leq sup_{k \geq n} b_{k}, inf_{k \geq n} a_{k} \leq inf_{k \geq n} b_{k}$
が成り立つから，それぞれ下限，上限を取れば所望の不等式を得る．

上に有界

\Leftrightarrow

上極限

< \infty

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が上に有界であることと， $(a_{n})_{n \in N}$ の上極限が $\infty$ でないことは同値である．
実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が下に有界であることと， $(a_{n})_{n \in N}$ の下極限が $- \infty$ でないことは同値である．

上に有界な実数列の上極限が $\infty$ でないことは既に示した．実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が上に有界でないとき，非負整数 $n$ と実数 $M$ を任意に取ると， $max ({M, a_{0}, \dots, a_{n}}) < a_{k}$ を満たす非負整数 $k$ が取れる．この取り方によって $k \geq n$ と $M < a_{k}$ が成り立つから， $M$ の任意性より
$sup_{k \geq n} a_{k} = \infty$
が成り立ち， $n$ の任意性より
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = \infty$
を得る．下極限についても同様に示せる．

下極限

\leq

上極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} .$

任意の $m, n \in N$ に対して
$inf_{k \geq m} a_{k} \leq a_{max ({m, n})} \leq sup_{k \geq n} a_{k}$
が成り立つから，まず $m$ について上限を取れば，任意の $n \in N$ に対して
$\underset{m \to \infty}{lim inf} a_{m} \leq sup_{k \geq n} a_{k}$
を得る．次に $n$ について下限を取れば
$\underset{m \to \infty}{lim inf} a_{m} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
となり所望の不等式が示された．

部分列の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ とその部分列 $(a_{ϕ (n)})_{n \in N}$ に対して
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{ϕ (n)} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{ϕ (n)} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
が成り立つ．

3つ目の不等号については，任意の非負整数 $n$ に対して
$sup_{k \geq n} a_{ϕ (k)} \leq sup_{k \geq n} a_{k}$
が成り立つから，下限を取れば
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{ϕ (n)} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
を得る．1つ目の不等号も同様に示せる．

(a_{n + 1})_{n \in N}

の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n + 1} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n + 1} & = \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} . \end{aligned}$

$(sup_{k \geq n} a_{n})_{n \in N}$ が単調減少であることに注意すれば
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n + 1} & = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k + 1}) \\ = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n + 1} a_{k}) \\ = inf_{n \geq 1} (sup_{k \geq n} a_{k}) \\ = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}) \\ = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} . \end{aligned}$
下極限についても同様に示せる．

(- a_{n})_{n \in N}

の上極限・下極限

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (- a_{n}) & = - \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} (- a_{n}) & = - \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} . \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (- a_{n}) & = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} (- a_{k})) \\ = inf_{n \geq 0} (- inf_{k \geq n} a_{k}) \\ = - sup_{n \geq 0} (inf_{k \geq n} a_{k}) \\ = - \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} . \end{aligned}$
他方の等式も同様に示せる．

(t a_{n})_{n \in N}

の上極限・下極限（

t > 0

）

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ と正実数 $t > 0$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (t a_{n}) & = t \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} (t a_{n}) & = t \cdot \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} . \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (t a_{n}) & = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} (t a_{k})) \\ = inf_{n \geq 0} (t \cdot sup_{k \geq n} a_{k}) \\ = t \cdot inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}) \\ = t \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} . \end{aligned}$
下極限についても同様に示せる．

(a_{n} + b_{n})_{n \in N}

の上極限・下極限（その１）

有界な実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} (a_{n} + b_{n}) & \geq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim inf} b_{n} . \end{aligned}$

$(sup_{k \geq n} a_{k})_{n \in N}, (sup_{k \geq n} b_{k})_{n \in N}$ が単調減少な実数列であることに注意すれば
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) & = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} (a_{n} + b_{n})) \\ \leq inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{n} + sup_{k \geq n} b_{n}) \\ = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{n}) + inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} b_{n}) \\ = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n} . \end{aligned}$
下極限についても同様に示せる．

(a_{n} + b_{n})_{n \in N}

の上極限・下極限（その２）

有界な実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ に対して，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim inf} (a_{n} + b_{n}) & \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) . \end{aligned}$

2つ目の不等号については
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n} & = \underset{n \to \infty}{lim sup} ((a_{n} + b_{n}) - a_{n}) \\ \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) + \underset{n \to \infty}{lim sup} (- a_{n}) \\ = \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) - \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \end{aligned}$
として，両端辺に実数 $\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}$ を足せばよい．他方の不等号も同様に示せる．

(a_{n} + b_{n})_{n \in N}

の上極限・下極限（その３）

有界な実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ が
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
を満たすとき，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) & = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} (a_{n} + b_{n}) & = \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim inf} b_{n} . \end{aligned}$

一般に
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}$
が成り立つが，仮定より上の不等号はすべて等号となる．下極限についても同様に示せる．

実数列の極限

上極限を用いて実数列の極限を定義し，その基本性質を調べる．

実数列の収束

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が実数 $α$ に収束するとは，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0$
が成り立つことをいう．

逆向きの不等式 $\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \geq 0$ は常に成立する．

収束

\Rightarrow

有界

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が実数 $α$ に収束するとき， $(a_{n})_{n \in N}$ は有界である．

$\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0$ より実数列 $(| a_{n} - α |)_{n \in N}$ は上に有界だから，ある実数 $M$ が存在して，任意の $n \in N$ に対して $| a_{n} - α | \leq M$ が成り立つ．このとき任意の $n \in N$ に対して
$\begin{aligned} | a_{n} | & \leq | a_{n} - α | + | α | \leq M + | α | \end{aligned}$
が成り立つから， $(a_{n})_{n \in N}$ は有界である．

収束

\Rightarrow

部分列も収束

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が実数 $α$ に収束するとき， $(a_{n})_{n \in N}$ の任意の部分列 $(a_{ϕ (n)})_{n \in N}$ も $α$ に収束する．

$(| a_{ϕ (n)} - α |)_{n \in N}$ は $(| a_{n} - α |)_{n \in N}$ の部分列だから
$\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{ϕ (n)} - α | \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0.$

大小関係の保存

実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ が任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq b_{n}$ を満たし，かつ $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ がそれぞれ実数 $α, β$ に収束するとき， $α \leq β$ である．

任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq b_{n}$ より
$α - β \leq (α - a_{n}) + (b_{n} - β) \leq | a_{n} - α | + | b_{n} - β |$
が成り立つから，
$\begin{aligned} α - β & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (| a_{n} - α | + | b_{n} - β |) \\ \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | + \underset{n \to \infty}{lim sup} | b_{n} - β | \\ \leq 0. \end{aligned}$

極限の一意性

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ が2つの実数 $α, β$ に収束するとき， $α = β$ である．

任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq a_{n}$ が成り立つから，前命題より $α \leq β$ かつ $β \leq α$ ，つまり $α = β$ を得る．

はさみうちの原理

実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}, (c_{n})_{n \in N}$ が任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ を満たし，かつ $(a_{n})_{n \in N}, (c_{n})_{n \in N}$ がともに実数 $α$ に収束するとき， $(b_{n})_{n \in N}$ も $α$ に収束する．

任意の $n \in N$ に対して $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ より $| b_{n} - α | \leq | a_{n} - α | + | c_{n} - α |$ が成り立つ（後述）から，
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | b_{n} - α | & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (| a_{n} - α | + | c_{n} - α |) \\ \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | + \underset{n \to \infty}{lim sup} | c_{n} - α | \\ \leq 0. \end{aligned}$

$a \leq b \leq c$ を満たす実数 $a, b, c, α$ について， $| b - α | \leq | a - α | + | c - α |$ が成り立つことを示せ．

$b \leq α$ の場合は
$\begin{aligned} | b - α | & = α - b \\ \leq α - a \\ \leq | a - α | \\ \leq | a - α | + | c - α | . \end{aligned}$
$b \geq α$ の場合は
$\begin{aligned} | b - α | & = b - α \\ \leq c - α \\ \leq | c - α | \\ \leq | a - α | + | c - α | . \end{aligned}$

極限と四則演算

実数列 $(a_{n})_{n \in N}, (b_{n})_{n \in N}$ がそれぞれ実数 $α, β$ に収束するとき，次のことが成り立つ．

$(| a_{n} |)_{n \in N}$ は $| α |$ に収束する．
$(a_{n} + b_{n})_{n \in N}$ は $α + β$ に収束する．
$(a_{n} b_{n})_{n \in N}$ は $α β$ に収束する．
$β \neq 0$ であり，かつ任意の $n \in N$ に対して $b_{n} \neq 0$ であれば， $(\frac{a_{n}}{b_{n}})_{n \in N}$ は $\frac{α}{β}$ に収束する．

任意の $n \in N$ に対して $| | a_{n} | - | α | | \leq | a_{n} - α |$ が成り立つから
$\underset{n \to \infty}{lim sup} | | a_{n} | - | α | | \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0.$
任意の $n \in N$ に対して
$| (a_{n} + b_{n}) - (α + β) | = | (a_{n} - α) + (b_{n} - β) | \leq | a_{n} - α | + | b_{n} - β |$
が成り立つから
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | (a_{n} + b_{n}) - (α + β) | & = \underset{n \to \infty}{lim sup} (| a_{n} - α | + | b_{n} - β |) \\ = \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | + \underset{n \to \infty}{lim sup} | b_{n} - β | \\ \leq 0. \end{aligned}$
$(a_{n})_{n \in N}$ は有界だから，ある正実数 $M$ が存在して，任意の $n \in N$ に対して $| a_{n} | \leq M$ が成り立つ．このとき任意の $n \in N$ に対して
$\begin{aligned} | a_{n} b_{n} - α β | & = | a_{n} (b_{n} - β) + (a_{n} - α) β | \\ \leq | a_{n} | \cdot | b_{n} - β | + | a_{n} - α | \cdot | β | \\ \leq M | b_{n} - β | + | a_{n} - α | \cdot (| β | + 1) \end{aligned}$
が成り立つから
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} b_{n} - α β | & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (M | b_{n} - β | + | a_{n} - α | \cdot (| β | + 1)) \\ \leq M \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} | b_{n} - β | + (| β | + 1) \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \\ \leq 0. \end{aligned}$
$a_{n} = α = 1$ の場合だけ考えれば十分．まず
$inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} | b_{k} - β |) < \frac{| β |}{2}$
だから，ある $N \in N$ が存在して $sup_{k \geq N} | b_{k} - β | \leq | β | / 2$ が成り立つ．すると $N$ 以上の任意の $n \in N$ に対して
$| b_{n} | \geq | β | - | b_{n} - β | \geq \frac{| β |}{2}$
より
$\begin{array}{r} | \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{β} | = \frac{| β - b_{n} |}{| b_{n} | \cdot | β |} \leq \frac{2 | b_{n} - β |}{| β |^{2}} \end{array}$
が成り立つから
$\underset{n \to \infty}{lim sup} | \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{β} | = \underset{n \to \infty}{lim sup} | \frac{1}{b_{n + N}} - \frac{1}{β} | \leq \frac{2}{| β |^{2}} \underset{n \to \infty}{lim sup} | b_{n + N} - β | \leq 0.$

有界単調列は収束する

上に有界かつ単調増加な実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ は， $sup_{n \geq 0} a_{n}$ に収束する．

$(a_{n})_{n \in N}$ が上に有界だから， $α := sup_{n \geq 0} a_{n}$ は実数である．さらに $(a_{n})_{n \in N}$ の単調増加性より
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | & = \underset{n \to \infty}{lim sup} (α - a_{n}) \\ = \underset{n \to \infty}{lim sup} α + \underset{n \to \infty}{lim sup} (- a_{n}) \\ = α - \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \\ = α - sup_{n \geq 0} a_{n} \\ = 0. \end{aligned}$

lim sup = lim (sup)

有界な実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ に対して， $(sup_{k \geq n} a_{k})_{n \in N}$ は $\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$ に収束する．

$(sup_{k \geq n} a_{k})_{n \in N}$ は下に有界かつ単調減少な実数列だから
$inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}) = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
に収束する．

極限の定義の同値性

実数列 $(a_{n})_{n \in N}$ と実数 $α$ について，次の3条件は同値である．

$(a_{n})_{n \in N}$ が $α$ に収束する．（つまり， $\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0$ が成り立つ．）
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = α$ が成り立つ．
任意の正実数 $ε$ に対してある $N \in N$ が存在して， $N$ 以上の任意の $n \in N$ に対して $| a_{n} - α | \leq ε$ が成り立つ．（ $ε$ - $N$ 論法）

(1)

\Rightarrow

(2)

\Rightarrow

(3)

\Rightarrow

(1) の順で示す．

(1) $\Rightarrow$ (2)：
任意の $n \in N$ に対して
$α - | a_{n} - α | \leq a_{n} \leq α + | a_{n} - α |$
が成り立つから
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim inf} (α - | a_{n} - α |) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (α + | a_{n} - α |), \\ α - \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} \leq α + \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α |, \\ α \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} \leq α . \end{aligned}$
(2) $\Rightarrow$ (3)：
正実数 $ε$ を任意に取る．まず
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} a_{k}) < α + ε$
より，ある $N_{1} \in N$ が存在して $sup_{k \geq N_{1}} a_{k} \leq α + ε$ が成り立つ．また
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = sup_{n \geq 0} (inf_{k \geq n} a_{k}) > α - ε$
より，ある $N_{2} \in N$ が存在して $inf_{k \geq N_{2}} a_{k} \geq α - ε$ が成り立つ．すると， $max ({N_{1}, N_{2}})$ 以上の任意の $n \in N$ に対して $α - ε \leq a_{n} \leq α + ε$ つまり $| a_{n} - α | \leq ε$ が成り立つ．
(3) $\Rightarrow$ (1)：
正実数 $ε$ を任意に取ると，(3) よりある $N \in N$ が存在して， $N$ 以上の任意の $n \in N$ に対して $| a_{n} - α | \leq ε$ が成り立つ．このとき各 $n \in N$ に対して
$\begin{aligned} sup_{k \geq n} | a_{k} - α | & \leq max ({sup_{N > k \geq n} | a_{k} - α |, sup_{k \geq N} | a_{k} - α |}) \\ \leq max ({sup_{N > k \geq n} | a_{k} - α |, ε}) \end{aligned}$
が成り立ち，最右辺は（ $n$ の関数として） $n \geq N$ のときに最小値 $ε$ を取るから
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | & = inf_{n \geq 0} (sup_{k \geq n} | a_{k} - α |) \\ \leq inf_{n \geq 0} (max ({sup_{N > k \geq n} | a_{k} - α |, ε})) \\ = ε \end{aligned}$
となる．いま $ε$ は任意だったから， $\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} - α | \leq 0$ が示された．