実数列の極限を上極限で定義する

$m,m'\in A$がともに$A$の最大元であるとき$m=m'$となることを示せばよい．まず，$m$が$A$の上界であることと$m'\in A$から$m\ge m'$が成り立つ．また，$m'$が$A$の上界であることと$m\in A$から$m\le m'$が成り立つ．よって$\le$の反対称律から$m=m'$を得る．
最小元の一意性も同様に示せる．

$x\le y$の場合は，$y$が$\{x,y\}$の上界だから$\max(\{x,y\})=y$であり，$x$が$\{x,y\}$の下界だから$\min(\{x,y\})=x$である．
$y\le x$の場合も同様に，$\max(\{x,y\})=x$と$\min(\{x,y\})=y$がわかる．

• $x\in A\cup B$を任意に取る．$x\in A$の場合は$x\le\sup_X(A)$が，$x\in B$の場合は$x\le\sup_X(B)$がそれぞれ成り立つから，いずれの場合であっても$$ x\le \max(\{\sup\nolimits_X(A),\sup\nolimits_X(B)\})$$が成り立つ．つまり$\max(\{\sup\nolimits_X(A),\sup\nolimits_X(B)\})$は$A\cup B$の上界である．
• $A\cup B$の上界$y$を任意に取る．このとき$y$は$A$の上界でもあるから$\sup_X(A)\le y$が成り立ち，$y$は$B$の上界でもあるから$\sup_X(B)\le y$が成り立つ．よって$$\max(\{\sup\nolimits_X(A),\sup\nolimits_X(B)\})\le y$$が成り立つから，$\max(\{\sup\nolimits_X(A),\sup\nolimits_X(B)\})$は$A\cup B$の上界の最小元である．

$0<\#A\le 2$の場合は既に示した．
$\#A>2$の場合，$a\in A$を任意に取り$A':=A\setminus \{a\}$とおく．$0< \#B <\#A$を満たす$X$の任意の部分集合$B$について$\max(B)$と$\min(B)$の存在が示されていると仮定すると
\begin{align*} \max(A) &=\max(A'\cup\{a\}) \\ &=\max(\{\max(A'),\max(\{a\})\}) \\ &=\max(\{\max(A'),a\}), \\ \min(A) &=\min(A'\cup\{a\}) \\ &=\min(\{\min(A'),\min(\{a\})\}) \\ &=\min(\{\min(A'),a\}) \end{align*}が成り立つ．

• $A=\emptyset$の場合は
  \begin{align*} \sup\nolimits_\extR(\emptyset) &=\min(\extR) =-\infty, \\ \inf\nolimits_\extR(\emptyset) &=\max(\extR) =\infty \end{align*}が成り立つから，以降$A\ne\emptyset$の場合を考える．このとき$-\infty$は$A$の上界になり得ないことに注意（もし$-\infty$が$A$の上界だと，$A=\{-\infty\}$となって$A\subset\mathbb{R}$に矛盾するため）．
• $A$が上に有界でない場合，$A$の上界は$\infty$しかないから$\sup_\extR(A)=\infty$である．
• $A\ne\emptyset$かつ$A$が上に有界である場合，$\mathbb{R}$の順序完備性より$\sup_{\mathbb{R}}(A)$が存在する．また上の注意から，$A$に（$\extR$の中で）$\sup_{\mathbb{R}}(A)$より小さい上界は存在しない．したがって$\sup_{\mathbb{R}}(A)$は（$\extR$の中でも）$A$の上限である．

$A':=A\cap\mathbb{R}$，$A'':=A\cap\{\infty,-\infty\}$とおくと，$A'\subset\mathbb{R}$であり$A''$は有限集合だから，$A',A''$の上限・下限がともに存在して
\begin{align*} \sup\nolimits_\extR(A) &=\sup\nolimits_\extR(A'\cup A'') =\max(\{\sup\nolimits_\extR(A'),\sup\nolimits_\extR(A'')\}), \\ \inf\nolimits_\extR(A) &=\inf\nolimits_\extR(A'\cup A'') =\min(\{\inf\nolimits_\extR(A'),\inf\nolimits_\extR(A'')\}) \end{align*}が成り立つ．（※$\sup_\extR(\emptyset)=-\infty$と$\inf_\extR(\emptyset)=\infty$が成り立つから，$A''=\emptyset$でも問題ない）

簡単のため$-A:=\{-a\mid a\in A\}$と書く．任意の$a\in A$に対して$a\le \sup_{\extR}(A)$つまり$-\sup_{\extR}(A)\le -a$が成り立つから，$-\sup_{\extR}(A)$は$-A$の下界である．また$-A$の下界$x\in\extR$を任意に取ると，任意の$a\in A$に対して$x\le -a$つまり$a\le -x$が成り立つから，$-x$は$A$の上界であり$\sup_{\extR}(A)\le -x$つまり$x\le -\sup_{\extR}(A)$を得る．よって$-\sup_{\extR}(A)$は$-A$の下限である．
他方の等式も同様に示せる．

簡単のため$tA:=\{ta\mid a\in A\}$と書く．任意の$a\in A$に対して$a\le \sup_{\extR}(A)$つまり$ta\le t\cdot\sup_{\extR}(A)$が成り立つから，$t\cdot\sup_{\extR}(A)$は$tA$の上界である．また$tA$の上界$x\in\extR$を任意に取ると，任意の$a\in A$に対して$ta\le x$つまり$a\le t^{-1}x$が成り立つから，$t^{-1}x$は$A$の上界であり$\sup_{\extR}(A)\le t^{-1}x$つまり$t\cdot\sup_{\extR}(A)\le x$を得る．よって$t\cdot\sup_{\extR}(A)$は$tA$の上限である．
他方の等式も同様に示せる．

任意の非負整数$m$に対して
$$ a_{m+k}\le b_{m+k}\le \sup_{n\ge k}b_n$$
が成り立つから，最右辺$\sup_{n\ge k}b_n$は$\{a_{m+k}\mid m\in\mathbb{N}\}$の上界であり，ゆえに$\sup_{n\ge k}a_n\le \sup_{n\ge k}b_n$を得る．
他方の不等式も同様に示せる．

$\emptyset\ne \{a_{\phi(n)}\mid n\in\mathbb{N}\}\subset\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$から従う．

任意の非負整数$n$に対して，$a_n\le\sup_{n\ge 0}a_n$と$b_n\le\sup_{n\ge 0}b_n$より
$$ a_n+b_n\le \sup_{n\ge 0}a_n+\sup_{n\ge 0}b_n$$
が成り立つから，$\sup_{n\ge 0}(a_n+b_n)\le \sup_{n\ge 0}a_n+\sup_{n\ge 0}b_n$を得る．他方の不等式も同様に示せる．

任意の非負整数$m,n$に対して，$\seq{a_n}{n},\seq{b_n}{n}$の単調増加性より
$$ a_m+b_n\le a_{\max(\{m,n\})}+b_{\max(\{m,n\})}\le \sup_{n\ge 0}(a_n+b_n)$$
が成り立つから，まず$m$について上限を取れば，任意の非負整数$n$に対して
$$ \sup_{n\ge 0}a_n+b_n\le\sup_{n\ge 0}(a_n+b_n)$$
が成り立ち，次に$n$について上限を取れば
$$ \sup_{n\ge 0}a_n+\sup_{n\ge 0}b_n\le \sup_{n\ge 0}(a_n+b_n)$$
を得る．他方の等式も同様に示せる．

任意の非負整数$n$に対して
$$ \sup_{k\ge n}a_k\le \sup_{k\ge n}b_k, \qquad \inf_{k\ge n}a_k\le \inf_{k\ge n}b_k$$
が成り立つから，それぞれ下限，上限を取れば所望の不等式を得る．

上に有界な実数列の上極限が$\infty$でないことは既に示した．実数列$\seq{a_n}{n}$が上に有界でないとき，非負整数$n$と実数$M$を任意に取ると，$\max(\{M,a_0,\ldots,a_{n}\})< a_{k}$を満たす非負整数$k$が取れる．この取り方によって$k\ge n$と$M< a_k$が成り立つから，$M$の任意性より
$$ \sup_{k\ge n}a_k=\infty$$
が成り立ち，$n$の任意性より
$$ \limsup_{n\to\infty}a_n=\infty$$
を得る．下極限についても同様に示せる．

任意の$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$ \inf_{k\ge m}a_k\le a_{\max(\{m,n\})}\le \sup_{k\ge n}a_k$$
が成り立つから，まず$m$について上限を取れば，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して
$$ \liminf_{m\to\infty}a_m\le \sup_{k\ge n}a_k$$
を得る．次に$n$について下限を取れば
$$ \liminf_{m\to\infty}a_m\le \limsup_{n\to\infty}a_n$$
となり所望の不等式が示された．

3つ目の不等号については，任意の非負整数$n$に対して
$$ \sup_{k\ge n}a_{\phi(k)}\le \sup_{k\ge n}a_{k}$$
が成り立つから，下限を取れば
$$ \limsup_{n\to\infty}a_{\phi(n)}\le\limsup_{n\to\infty}a_n$$
を得る．1つ目の不等号も同様に示せる．

$\seq{\sup_{k\ge n}a_n}{n}$が単調減少であることに注意すれば
\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}a_{n+1} &=\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_{k+1}\bigg) \\ &=\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n+1}a_{k}\bigg) \\ &=\inf_{n\ge 1}\bigg(\sup_{k\ge n}a_{k}\bigg) \\ &{\color{red}{}={}}\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_{k}\bigg) \\ &=\limsup_{n\to\infty}a_n. \end{align*}
下極限についても同様に示せる．

\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}(-a_n) &=\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}(-a_k)\bigg) \\ &=\inf_{n\ge 0}\bigg(-\inf_{k\ge n}a_k\bigg) \\ &=-\sup_{n\ge 0}\bigg(\inf_{k\ge n}a_k\bigg) \\ &=-\liminf_{n\to\infty}a_n. \end{align*}
他方の等式も同様に示せる．

\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}(ta_n) &=\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}(ta_k)\bigg) \\ &=\inf_{n\ge 0}\bigg(t\cdot\sup_{k\ge n}a_k\bigg) \\ &=t\cdot\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_k\bigg) \\ &=t\cdot\limsup_{n\to\infty}a_n. \end{align*}
下極限についても同様に示せる．

$\seq{\sup_{k\ge n}a_k}{n},\seq{\sup_{k\ge n}b_k}{n}$が単調減少な実数列であることに注意すれば
\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n) &=\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}(a_n+b_n)\bigg) \\ &\le \inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_n+\sup_{k\ge n}b_n\bigg) \\ &= \inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_n\bigg)+\inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}b_n\bigg) \\ &= \limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n. \end{align*}
下極限についても同様に示せる．

2つ目の不等号については
\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}b_n &=\limsup_{n\to\infty}((a_n+b_n)-a_n) \\ &\le \limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)+\limsup_{n\to\infty}(-a_n) \\ &=\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)-\liminf_{n\to\infty}a_n \end{align*}
として，両端辺に実数$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n$を足せばよい．他方の不等号も同様に示せる．

一般に
$$ \liminf_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n\le \limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\le \limsup_{n\to\infty}a_n+\limsup_{n\to\infty}b_n$$
が成り立つが，仮定より上の不等号はすべて等号となる．下極限についても同様に示せる．

$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n-\alpha|\le 0$より実数列$\seq{|a_n-\alpha|}{n}$は上に有界だから，ある実数$M$が存在して，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$|a_n-\alpha|\le M$が成り立つ．このとき任意の$n\in\mathbb{N}$に対して
\begin{align*} |a_n| &\le |a_n-\alpha|+|\alpha| \le M+|\alpha| \end{align*}
が成り立つから，$\seq{a_n}{n}$は有界である．

$\seq{|a_{\phi(n)}-\alpha|}{n}$は$\seq{|a_n-\alpha|}{n}$の部分列だから
$$ \limsup_{n\to\infty}|a_{\phi(n)}-\alpha|\le\limsup_{n\to\infty}|a_n-\alpha|\le 0. $$

任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\le b_n$より
$$ \alpha-\beta\le (\alpha-a_n)+(b_n-\beta)\le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta|$$
が成り立つから，
\begin{align*} \alpha-\beta &\le \limsup_{n\to\infty}(|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|) \\ &\le \limsup_{n\to\infty}|a_n-\alpha|+\limsup_{n\to\infty}|b_n-\beta| \\ &\le 0. \end{align*}

任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\le a_n$が成り立つから，前命題より$\alpha\le\beta$かつ$\beta\le\alpha$，つまり$\alpha=\beta$を得る．

任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\le b_n\le c_n$より$|b_n-\alpha|\le |a_n-\alpha|+|c_n-\alpha|$が成り立つ（後述）から，
\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}|b_n-\alpha| &\le \limsup_{n\to\infty}(|a_n-\alpha|+|c_n-\alpha|) \\ &\le \limsup_{n\to\infty}|a_n-\alpha|+\limsup_{n\to\infty}|c_n-\alpha| \\ &\le 0. \end{align*}

$b\le \alpha$の場合は
\begin{align*} |b-\alpha| &=\alpha-b \\ &\le \alpha-a \\ &\le |a-\alpha| \\ &\le |a-\alpha|+|c-\alpha|. \end{align*}
$b\ge \alpha$の場合は
\begin{align*} |b-\alpha| &=b-\alpha \\ &\le c-\alpha \\ &\le |c-\alpha| \\ &\le |a-\alpha|+|c-\alpha|. \end{align*}

$\seq{a_n}{n}$が上に有界だから，$\alpha:=\displaystyle\sup_{n\ge 0}a_n$は実数である．さらに$\seq{a_n}{n}$の単調増加性より
\begin{align*} \limsup_{n\to\infty}|a_n-\alpha| &=\limsup_{n\to\infty}(\alpha-a_n) \\ &=\limsup_{n\to\infty}\alpha+\limsup_{n\to\infty}(-a_n) \\ &=\alpha-\liminf_{n\to\infty}a_n \\ &=\alpha-\sup_{n\ge 0}a_n \\ &=0. \end{align*}

$\seq{\sup_{k\ge n}a_k}{n}$は下に有界かつ単調減少な実数列だから
$$ \inf_{n\ge 0}\bigg(\sup_{k\ge n}a_k\bigg)=\limsup_{n\to\infty}a_n $$
に収束する．