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大学数学基礎解説
文献あり

最小上界は存在すれば一意である

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はじめに

タイトルに書いてあることを示します.
自分で勉強したことを整理するために書いてある面が大きいので,いろいろ省略されています.
気になる部分があればコメント欄などに書いてください.

最小上界

(P,)を半順序集合とし,APとする.
sPが次の2つの条件を満たすとき,sをA最小上界と呼ぶ.P

  1. 任意のaAに対し,as
  2. 「任意のaAに対し,ax」を満たす任意のxPに対し,sx

ここで,PRの部分集合であるとは限らないことに注意してください.
Pに代数的な構造が入っているかどうかは一切わからないため,「任意のεに対し,あるxAが存在してsεxs」のような定義はできません.

普遍射

残念ながら,圏論の話が始まります(タグに圏論ってありますしね)

普遍射

C,Dを圏,S:DCを関手とする.また,cCの対象,rDの対象,u:cS(r)Cの射とする.
(r,u)が次の条件を満たすとき,cからSへの普遍射と呼ぶ.

  • 任意のDの対象dおよびCの射f:cS(d)について,Dの射f:rdであって,S(f)u=fを満たすものがただ一つ存在する.

※可換図式を書くのが面倒そうだったので,いつかやる気が出たら追加します.

普遍射はコンマ圏(cS)における始対象であるので,次のことが成立します.

普遍射は存在すれば同型を除いて一意である.

大事です.

余積(特殊ケース)

対角関手(特殊ケース)

Cに対し,対角関手Δ:CC×Cを,

  • 対象関数 Δ(c):=(c,c)
  • 射関数 Δ(f):=(f,f)

で定める.

余積(特殊ケース)

Cを圏とし,Δ:CC×Cを対角関手とする.また,(a,b)C×Cの対象とする.
このとき,(a,b)からΔへの普遍射(c,(i,j))余積図式と呼ぶ.
また,c余積対象と呼び,a⨿bと書く.

余積は普遍射なので,次のことが成り立ちます.

a⨿bは存在すれば同型を除いて一意である.

大事です.

余積

対角関手

Cを圏,Xを離散圏(集合のこと)とする.このもとで,対角関手Δ:CCXを,

  • 対象関数 Δ(c):=(c)xX
  • 射関数 f:abに対し,Δ(f):(a)xX(b)xX

で定める.

ここで,Xには恒等射以外の射は一切存在しないので,CXの対象(すなわち関手XC)はXの対象の行き先だけで完全に決定されます.そこでCXの対象を写像っぽく(ax)xXと表しています.
また,Cの射fに対し,Δ(f)(a)xXから(b)xXへの自然変換である必要があります.そのコンポーネントは,xXに対し,fx:abとなります.単純ですね.

X={0,1}とすれば特殊ケースの対角関手が得られます.

余積

Cを圏,Xを離散圏とし,(ax)xXCの対象とする.
このとき,(ax)xXからΔへの普遍射(c,(ix)xX)余積図式とよび,c=xXaxと書く.

もちろん,以下が成り立ちます.

xXaxは存在すれば同型を除いて一意である.

最小上界は存在すれば一意である

この節は添字が気持ち悪いので,読む際は気を付けてください.

半順序集合(P,)は圏と見なせるのでした.したがって,余積の話が適用できます.
Pを半順序集合(を圏と見なしたもの),Xは適当な集合とします(たとえばNRと思えばよいです).
このもとで,(ax)xXPXの適当な対象(すなわち,Xを添字集合とするP上の点列)とします.また,(ax)xXから対角関手Δへの普遍射が存在すると仮定します.
すると,次のことが成立します.

  1. (ax)xX(xXax)yXが存在する.
  2. Pの任意の対象tおよび射(ax)xX(t)yXに対し,射(xXax)yX(t)yXが存在する.

ここで,半順序集合を圏と見なした場合,対象の間の射は高々1つでした.そのため普遍射の条件である「射がただ一つ存在する」を単に「射が存在する」と書いていることに注意してください.

これらのことは,次のように解釈できます.

  1. 任意のyXに対し,ayxXaxである.
  2. 「任意のyXに対しayt」を満たす任意のtPについて,xXaxtである.

したがって,この余積対象xXaxA:={axxX}の最小上界となっています.
余積対象は「同型を除いて」一意でしたが,半順序集合を圏と見なした場合,反対象律により,「同型」は「完全に一致」を意味します.これで最小上界の一意性が示されました.

おまけ1:最小公倍数の一意性

(P,)=(N,|)とし(ここで,n|mnmを割り切るという半順序),Xを適当な有限順序数とします.
このときANに対し,Aの最小上界とはAに属するすべての数の最小公倍数のことですから,最小公倍数に対しても余積の話が適用できます.
これにより,任意の有限個の自然数の最小公倍数が一意に定まることが示されました.

おまけ2:最大下界の一意性

双対性原理により,最大下界の一意性も自動的に従います.

おわりに

最小上界が存在する条件や,より一般に余積が存在する条件も知りたいですね.
間違いや分かりにくい点などはコメント欄で指摘してください.

更新履歴

  • 2023/12/07 : 普遍射の定義において、誤った関手の定義S:CDを修正しました。コメント欄でご指摘してくださったハッピーターンさん、ありがとうございます!

参考文献

[1]
S. マックレーン 著(三好博之・高木理訳), 圏論の基礎, 丸善出版, 1992
投稿日:2023126
更新日:2023127
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  7. おまけ1:最小公倍数の一意性
  8. おまけ2:最大下界の一意性
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