最小上界は存在すれば一意である

圏論

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はじめに

タイトルに書いてあることを示します．
自分で勉強したことを整理するために書いてある面が大きいので，いろいろ省略されています．
気になる部分があればコメント欄などに書いてください．

最小上界

$(P,\, \le)$を半順序集合とし，$A \subseteq P$とする．
$s \in P$が次の2つの条件を満たすとき，sを$A$の最小上界と呼ぶ．P

任意の$a \in A$に対し，$a \le s$
「任意の$a \in A$に対し，$a \le x$」を満たす任意の$x \in P$に対し，$s \le x$

ここで，$P$が$\mathbb{R}$の部分集合であるとは限らないことに注意してください．
$P$に代数的な構造が入っているかどうかは一切わからないため，「任意の$\varepsilon$に対し，ある$x \in A$が存在して$s - \varepsilon \le x \le s$」のような定義はできません．

普遍射

残念ながら，圏論の話が始まります（タグに圏論ってありますしね）

普遍射

$C,\, D$を圏，$S : D \to C$を関手とする．また，$c$を$C$の対象，$r$を$D$の対象，$u : c \to S(r)$を$C$の射とする．
$(r,\, u)$が次の条件を満たすとき，$c$から$S$への普遍射と呼ぶ．

任意の$D$の対象$d$および$C$の射$f : c \to S(d)$について，$D$の射$f' : r \to d$であって，$S(f') \circ u = f$を満たすものがただ一つ存在する．

※可換図式を書くのが面倒そうだったので，いつかやる気が出たら追加します．

普遍射はコンマ圏$(c \downarrow S)$における始対象であるので，次のことが成立します．

普遍射は存在すれば同型を除いて一意である．

大事です．

余積(特殊ケース)

対角関手(特殊ケース)

圏$C$に対し，対角関手$\Delta : C \to C \times C$を，

対象関数 $\Delta(c) := (c,\, c)$
射関数 $\Delta(f) := (f,\, f)$

で定める．

余積(特殊ケース)

$C$を圏とし，$\Delta : C \to C \times C$を対角関手とする．また，$(a,\, b)$を$C \times C$の対象とする．
このとき，$(a,\, b)$から$\Delta$への普遍射$(c,\, (i,\, j))$を余積図式と呼ぶ．
また，$c$を余積対象と呼び，$a \amalg b$と書く．

余積は普遍射なので，次のことが成り立ちます．

$a \amalg b$は存在すれば同型を除いて一意である．

大事です．

余積

対角関手

$C$を圏，$X$を離散圏(集合のこと)とする．このもとで，対角関手$\Delta : C \to C^X$を，

対象関数 $\Delta(c) := (c)_{x \in X}$
射関数 $f : a \to b$に対し，$\Delta(f) : (a)_{x \in X} \to (b)_{x \in X}$

で定める．

ここで，$X$には恒等射以外の射は一切存在しないので，$C^X$の対象(すなわち関手$X \to C$)は$X$の対象の行き先だけで完全に決定されます．そこで$C^X$の対象を写像っぽく$(a_x)_{x \in X}$と表しています．
また，$C$の射$f$に対し，$\Delta(f)$は$(a)_{x \in X}$から$(b)_{x \in X}$への自然変換である必要があります．そのコンポーネントは，$x \in X$に対し，$f_x : a \to b$となります．単純ですね．

$X = \{0,\, 1\}$とすれば特殊ケースの対角関手が得られます．

余積

$C$を圏，$X$を離散圏とし，$(a_x)_{x \in X}$を$C$の対象とする．
このとき，$(a_x)_{x \in X}$から$\Delta$への普遍射$(c,\, (i_x)_{x \in X})$を余積図式とよび，$c = \displaystyle \coprod_{x \in X} a_x$と書く．

もちろん，以下が成り立ちます．

$\displaystyle \coprod_{x \in X} a_x$は存在すれば同型を除いて一意である．

最小上界は存在すれば一意である

この節は添字が気持ち悪いので，読む際は気を付けてください．

半順序集合$(P,\, \le)$は圏と見なせるのでした．したがって，余積の話が適用できます．
$P$を半順序集合(を圏と見なしたもの)，$X$は適当な集合とします(たとえば$\mathbb{N}$や$\mathbb{R}$と思えばよいです)．
このもとで，$(a_x)_{x \in X}$を$P^X$の適当な対象(すなわち，$X$を添字集合とする$P$上の点列)とします．また，$(a_x)_{x \in X}$から対角関手$\Delta$への普遍射が存在すると仮定します．
すると，次のことが成立します．

射$\displaystyle (a_x)_{x \in X} \to \left( \coprod_{x \in X}a_x \right)_{y \in X}$が存在する．
$P$の任意の対象tおよび射$(a_x)_{x \in X} \to (t)_{y \in X}$に対し，射$\displaystyle \left( \coprod_{x \in X} a_x \right)_{y \in X} \to (t)_{y \in X}$が存在する．

ここで，半順序集合を圏と見なした場合，対象の間の射は高々1つでした．そのため普遍射の条件である「射がただ一つ存在する」を単に「射が存在する」と書いていることに注意してください．

これらのことは，次のように解釈できます．

任意の$y \in X$に対し，$\displaystyle a_y \le \coprod_{x \in X} a_x$である．
「任意の$y \in X$に対し$a_y \le t$」を満たす任意の$t \in P$について，$\displaystyle \coprod_{x \in X} a_x \le t$である．

したがって，この余積対象$\displaystyle \coprod_{x \in X} a_x$は$A := \{ a_x \mid x \in X \}$の最小上界となっています．
余積対象は「同型を除いて」一意でしたが，半順序集合を圏と見なした場合，反対象律により，「同型」は「完全に一致」を意味します．これで最小上界の一意性が示されました．

おまけ1：最小公倍数の一意性

$(P,\, \le) = (\mathbb{N},\, |)$とし(ここで，$n | m$は$n$が$m$を割り切るという半順序)，$X$を適当な有限順序数とします．
このとき$A \subseteq \mathbb{N}$に対し，$A$の最小上界とは$A$に属するすべての数の最小公倍数のことですから，最小公倍数に対しても余積の話が適用できます．
これにより，任意の有限個の自然数の最小公倍数が一意に定まることが示されました．