自己等長写像が全射になる条件について
はじめに
距離空間$X$上の自己等長写像 (endometry)
\begin{align}
f\colon X \to X
\end{align}
を考えます. 等長写像 (isometry) の定義より$f$は単射であることが容易に分かります.
証明 (クリックで展開)
$f(x)=f(y)$とすると
\begin{align}
d(x,y)=d(f(x),f(y))=0
\end{align}
より, $x=y$である. ■
また, $X$がコンパクトのとき$f$は全射であることがすぐに分かります.
証明 (クリックで展開)
背理法を用いるため, $f(X)\neq X$と仮定する. $x_0\in X\setminus f(X)$を任意に取る.
$f(X)$はコンパクトなので, $X$で閉である. よって
\begin{align}
\delta=d(x_0,f(X))=\inf_{y\in X}d(x_0,f(y))
\end{align}
とおくと, $\delta>0$となる.
ここで, 点列
\begin{align}
x_n=f^n(x_0)\qquad(n=0,1,2,\dots)
\end{align}
を考える.
任意の$0\le m< n$について, $f$が等長写像であることから
\begin{align}
d(x_m,x_n)=d(f^m(x_0),f^n(x_0))=d(x_0,f^{n-m}(x_0))
\end{align}
が成り立つ. ここで, $n-m>0$なので$f^{n-m}(x_0)\in f(X)$であり, $\delta$の定義より
\begin{align}
d(x_m,x_n)\ge\delta
\end{align}
となる. したがって, 点列$(x_n)$の相異なる二項は互いに$\delta$以上離れている.
よって$(x_n)$は収束部分列を持たないが, これは$X$がコンパクトであることに矛盾する.
ゆえに仮定は誤りであり$f(X)=X$が成り立つ. すなわち$f$は全射である. ■
この記事では, $X$のコンパクト性の条件を少し弱めても同じ結論が成り立つことを示します. 特に$\mathbb{R}^n$の自己等長写像は必ず全射になります.
定義
群$G$の位相空間$X$への作用がココンパクト (cocompact) であるとは，商空間$X/G$がコンパクトのときをいう.
距離空間$X$がプロパー (proper) であるとは，任意の有界閉部分集合がコンパクトのときをいう.
$\mathbb{R}^n$はHeine–Borelの定理よりプロパーです. また, $\mathbb{R}^n$の等長変換群の作用は推移的なので, 特にココンパクトです. したがって, 下記の定理を $\mathbb{R}^n$に適用することができます.
定理の内容
次の定理の名称は参考文献2から採りました.
$X$をプロパーな距離空間とし, 等長変換群$G=\mathrm{Isom}(X)$が$X$にココンパクトに作用しているとする. このとき, 任意の自己等長写像
\begin{align}
f\colon X \to X
\end{align}
は全射である.
ココンパクト性は定理に必要な条件です. 実際$X$が
\begin{align}
[0,\infty)=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ge0\}
\end{align}
のとき, $X$上の自己等長写像$f(x)=x+1$は全射ではありません.
定理の証明のための準備
以下では, 開球と閉球をそれぞれ
\begin{align}
B_r(x)=\Bigl\{y\in X\,\Bigl|\,d(x,y)< r\Bigr\},\quad\overline{B}_r(x)=\Bigl\{y\in X\,\Bigl|\,d(x,y)\le r\Bigr\}
\end{align}
で表します.
$X$は完備であり, $f(X)$も完備である. 特に$f(X)$は$X$で閉である.
$X$の任意のコーシー列$(x_n)$を取る. コーシー列は有界なので, ある有界閉集合に含まれる.
$X$はプロパーだから, その有界閉集合はコンパクトである. よって$(x_n)$は収束部分列を持つ. コーシー列の部分列が収束すれば, 元のコーシー列が収束する. したがって$X$は完備である.
完備距離空間の等長像は完備であり, 完備部分空間は閉であるから，$f(X)$は閉である.
任意の$x\in X$に対し, ある$r_0>0$が存在して, 任意の$y\in X$に対し
\begin{align}
d(x,Gy)< r_0
\end{align}
が成り立つ. ここで
\begin{align}
d(x,Gy)=\inf_{g\in G}d(x,gy)
\end{align}
である.
任意の$x\in X$に対して, 開集合族
\begin{align}
\Bigl\{p(B_r(x))\,\Bigl|\,r>0\Bigr\}
\end{align}
は$X/G$の開被覆になる. ここで$p\colon X\to X/G$は自然な射影である.
$X/G$はコンパクトなので, ある$r_0>0$が存在して
\begin{align}
p(B_{r_0}(x))=X/G
\end{align}
となる. したがって, 任意の$y\in X$に対して, ある$g\in G$が存在して
\begin{align}
gy\in B_{r_0}(x)
\end{align}
となる. すなわち$d(x,gy)< r_0$となるので, $d(x,Gy)< r_0$が成り立つ.
$X$を距離空間とする. 部分集合$S\subset X$が$\varepsilon$-分離集合 ($\varepsilon$-separated set) であるとは，$S$の相異なる任意の$2$点$x,y$について\begin{align}
d(x,y)\ge\varepsilon
\end{align}
が成り立つときをいう.
次の補題は任意の距離空間$X$に対して成り立ちます.
$S\subset X$を全有界な部分集合とする. このとき, 任意の$\varepsilon\gt0$に対して，ある正の整数$N$が存在して, $S$に含まれる$\varepsilon$-分離集合の濃度は$N$以下である.
$S$は全有界なので, ある$a_1,\dots,a_N\in X$が存在して
\begin{equation}
S\subset\bigcup_{i=1}^N B_{\varepsilon/3}(a_i)
\end{equation}
となる.
$A\subset S$が$N+1$個以上の点を含むと仮定する.
このとき, 鳩の巣原理より, 相異なる$2$点$x,y\in A$が存在して, ある$i$に対して
\begin{align}
x,y\in B_{\varepsilon/3}(a_i)
\end{align}
となる. したがって
\begin{align}
d(x,y)\le d(x,a_i)+d(a_i,y)\le\varepsilon/3+\varepsilon/3<\varepsilon.
\end{align}
ゆえに, $A\subset S$が$\varepsilon$-分離集合ならば, $|A|\le N$でなくてはならない.
任意の$\varepsilon>0$と任意の$r>0$に対して, ある正の整数$N$が存在して, 半径$r$の閉球に含まれる$\varepsilon$-分離集合$E\subset X$の濃度は$N$以下である.
$x_0\in X$を一つ取って固定する.
$\varepsilon$-分離集合$E\subset X$が
\begin{align}
E\subset\overline{B}_r(x)\qquad(x\in X)
\end{align}
を満たすとする.
補題3より, ある$r_0>0$ ($x$によらない) と$g\in G$が存在して
\begin{align}
d(x_0,gx)< r_0
\end{align}
となる.
$g$の等長性より, $gE$は$\varepsilon$-分離集合であり
\begin{align}
gE\subset g\overline{B}_r(x)=\overline{B}_r(gx)\subset\overline{B}_{r+r_0}(x_0)
\end{align}
となる.
$X$はプロパーなので, $\overline{B}_{r+r_0}(x_0)$はコンパクトであり, 特に全有界である. よって
\begin{align}
N=\sup\Bigl\{|F|\,\Bigl|\,\text{$F\subset\overline{B}_{r+r_0}(x_0)$ は $\varepsilon$-分離集合}\Bigr\}
\end{align}
とおくと, 補題4より$N$は有限であり, $|gE|\le N$が成り立つ.
$|E|=|gE|$なので, $|E|\le N$が成り立つ.
定理の証明
以下の証明の方針は Math StackExchangeでのYCor氏の回答 を参考にしました.
背理法を用いるため, $f(X)\neq X$と仮定する. $x\in X\setminus f(X)$を任意に取る.
補題2より$f(X)$は$X$で閉なので
\begin{align}
r=d(x,f(X))=\inf_{y\in X}d(x,f(y))
\end{align}
とおくと$r>0$である.
さらに, ある$y\in X$が存在して$r=d(x,f(y))$となる.
証明 (クリックで展開)
$f(X)$は$X$で閉であり, $X$はプロパーだから, $f(X)\cap\overline{B}_{r+1}(x)$はコンパクトである.
したがって, ある$y'\in f(X)\cap\overline{B}_{r+1}(x)$が存在して$r=d(x,y')$となる.
そこで, 任意の$y\in f^{-1}(y')$を取ればよい. ■
この$y$に対応する補題3の$r_0$を取り
\begin{align}
N=\sup\Bigl\{|E|\,\Bigl|\,\text{$E\subset X$ は半径 $r+r_0$ の閉球に含まれる $r$-分離集合}\Bigr\}
\end{align}
とおく. 補題5より$N$は有限である.
したがって, ある$r$-分離集合
\begin{align}
E\subset \overline{B}_{r+r_0}(z)\qquad(z\in X)
\end{align}
が存在して$|E|=N$となる.
$z$を等長変換で動かすことで, $d(y,z)< r_0$としてよい.
証明 (クリックで展開)
補題3より, ある$g\in G$が存在して$d(y,gz)< r_0$.
$g$は等長写像なので, $gE$は$r$-分離集合であり
\begin{align}
gE\subset\overline{B}_{r+r_0}(gz),\qquad|gE|=N
\end{align}
が成り立つ. したがって, $z$を$gz$に置き換えればよい. ■
$f$は等長写像なので, $f(E)$は$r$-分離集合である.
$r$の定義より$f(E)\cup\{x\}$も$r$-分離集合になる.
また
\begin{align}
d(x,f(z))\le d(x,f(y))+d(f(y),f(z))\le r+r_0
\end{align}
となるので, $f(E)\cup\{x\}$は$\overline{B}_{r+r_0}(f(z))$に含まれる.
$|f(E)\cup\{x\}|=N+1$なので, $N$の定義から矛盾である.
ゆえに仮定は誤りであり$f(X)=X$が成り立つ. すなわち$f$は全射である.
