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Endometry Lemma

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距離空間 $X$ 上の自己等長写像 $f : X \to X$ について考える． $X$ がコンパクトのとき $f$ は全単射になることが簡単にわかる．
実は $X$ のコンパクト性を少し弱めても同様の事実が成り立つこと（定理1，Endometry Lemma）を紹介する．特に $X$ が Euclid 空間 $R^{n}$ のときに $f$ は全単射になることがわかる．

(1)群 $G$ の位相空間 $X$ 上の作用がココンパクトであるとは，商空間 $X / G$ がコンパクトであるときをいう．
(2)距離空間 $X$ がプロパーであるとは， $X$ の任意の有界閉部分空間がコンパクトであるときをいう．

Euclid 空間 $R^{n}$ はプロパー距離空間である． $R^{n}$ 上の等長変換群の作用は推移的なのでココンパクトである．

Endometry Lemma

プロパー距離空間 $X$ はココンパクトな等長変換群 $G = Isom (X)$ を持つとする． $f : X \to X$ を等長写像とする．このとき $f$ は全単射である．

$f : R^{n} \to R^{n}$ を等長写像とするとき， $f$ は全単射である．

以下で定理1（Endomety Lemma）を証明する．
$X$ , $G$ , $f$ を定理1のものとする． $r > 0$ , $x \in X$ に対し，開球 $B_{r} (x)$ と閉球 ${\overset{―}{B}}_{r} (x)$ をそれぞれ
$B_{r} (x) = {y \in X ∣ d (x, y) < r}, {\overset{―}{B}}_{r} (x) = {y \in X ∣ d (x, y) \leq r},$
で定義する．

$f (X)$ は $X$ で閉である．

$X$ のプロパー性より $X$ は完備である．実際 $X$ 上の任意のコーシー列 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ を取ると， $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ はある有界閉集合に含まれる．よって $X$ のプロパー性より $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ は収束部分列を持つが，コーシー性より $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ 自体が収束する．よって， $X$ は完備であり，その等長像 $f (X)$ も完備である．一般に，距離空間の完備部分空間は閉なので， $f (X)$ は閉である．

(1) $x_{0} \in X$ を任意にとる．このときある $R > 0$ が存在して $p (B_{R} (x_{0})) = X / G$ ．ここで $p : X \to X / G$ は射影である．
(2)任意の $x, y \in X$ に対し， $d (x, G y) \leq 2 R$ ．

(1) $X$ の開部分集合 $U$ に対し， $p^{- 1} (p (U)) = G U$ は $X$ の開部分集合である．これと商空間の位相の定義より $p (U)$ は開であり， $p$ は開写像である．ゆえに ${p (B_{r} (x_{0})) ∣ r > 0}$ は $X / G$ の開被覆をなす． $X / G$ のコンパクト性より，主張の $R > 0$ の存在がわかる．
(2)(1)より，ある $x^{'}, y^{'} \in B_{R} (x_{0})$ , $g, h \in G$ が存在して $g x^{'} = x$ , $h y^{'} = y$ ．よって
$\begin{aligned} d (x, g h^{- 1} y) & \leq d (x, g x_{0}) + d (g x_{0}, g h^{- 1} y) \\ = d (g x^{'}, g x_{0}) + d (g x_{0}, g y^{'}) \\ = d (x^{'}, x_{0}) + d (x_{0}, y^{'}) \\ \leq R + R = 2 R . \end{aligned}$

任意の $r, r^{'} > 0$ に対し，ある自然数 $N$ が存在して以下が成り立つ：
任意の $x \in X$ に対し， ${\overset{―}{B}}_{r} (x)$ の部分集合でどの相異なる二点も距離 $r^{'}$ 以上のものの濃度は $N$ 以下である．

$N_{r, r^{'}} (x) = sup {| S | ∣ S \subset {\overset{―}{B}}_{r} (x) はどの相異なる二点も距離 \geq r^{'}}$
とおく．示すべき主張は $sup_{x \in X} N_{r, r^{'}} (x) < \infty$
である．補題3(1)より，任意の $x \in X$ に対し，ある $g \in G$ が存在して $g x \in {\overset{―}{B}}_{R} (x_{0})$ ．このとき ${\overset{―}{B}}_{r} (g x) \subset {\overset{―}{B}}_{R + r} (x_{0})$ より，
$N_{r, r^{'}} (x) = N_{r, r^{'}} (g x) \leq N_{R + r, r^{'}} (x_{0}) .$
よって，任意の $r, r^{'} > 0$ に対して $N_{r, r^{'}} (x_{0}) < \infty$ を示せばよい．
${\overset{―}{B}}_{r} (x_{0})$ のコンパクト性より，ある $x_{1}, \dots, x_{N} \in {\overset{―}{B}}_{r} (x_{0})$ が存在して ${\overset{―}{B}}_{r} (x_{0}) \subset ⋃_{i = 1}^{N} {\overset{―}{B}}_{r^{'} / 3} (x_{i})$ となる．このとき $N_{r, r^{'}} (x_{0}) \leq N$ が成り立つ．実際，部分集合 $S \subset {\overset{―}{B}}_{r} (x_{0})$ が $| S | > N$ を満たすとする．すると，鳩の巣原理より，相異なる二点 $x, y \in S$ と $1 \leq i \leq N$ が存在して $x, y \in {\overset{―}{B}}_{r^{'} / 3} (x_{i})$ ．すなわち $d (x, y) \leq 2 r^{'} / 3 < r^{'}$ ．

ここまでの準備のもとに定理1を証明する．

まず $f$ が単射であることを示す． $f (x) = f (y)$ とすると， $f$ の等長性より $0 = d (f (x), f (y)) = d (x, y)$ ．よって $x = y$ がしたがう．
次に $f$ が全射であることを示す． $f$ が全射でないと仮定する． $y \in X ∖ f (X)$ をとる． $f (X)$ が $X$ で閉であること（補題2）より $R^{'} : = d (y, f (X)) > 0$ である． $x^{'} \in X$ を $d (y, f (x^{'})) = R^{'}$ となるようにとる．補題3より $N : = sup_{x \in X} N_{2 R + R^{'}, R^{'}} (x) < \infty$ なので，ある $z \in X$ が存在して $N = N_{2 R + R^{'}, R^{'}} (z)$ ．補題3(2)より，ある $g \in G$ が存在して， $z^{'} = g z$ とおくと $d (x, z^{'}) \leq 2 R$ ． $N_{2 R + R^{'}, R^{'}} (z^{'}) = N_{2 R + R^{'}, R^{'}} (z) = N$ なので，相異なる $N$ 点 $x_{1}, \dots, x_{N} \in {\overset{―}{B}}_{2 R + R^{'}} (z^{'})$ が存在してどの二点も距離 $\geq R^{'}$ である．これらの点を $f$ で写すと
$f (x_{1}), \dots, f (x_{N})$ はどの二点も距離 $\geq R^{'}$ であり，かつ ${\overset{―}{B}}_{2 R + R^{'}} (f (z^{'}))$ に含まれている．また任意の $i$ に対し $d (y, f (x_{i})) \geq R^{'}$ かつ $d (y, f (z^{'})) \leq d (y, f (x^{'})) + d (f (x^{'}), f (z^{'})) \leq R^{'} + 2 R$ である．したがって $N_{2 R + R^{'}, R^{'}} (f (z^{'})) \geq N + 1$ となるが，これは $N$ の定義に反している．