自己等長写像が全射になる条件について
はじめに
距離空間$X$上の自己等長写像（endometry)
\begin{align} f\colon X\to X \end{align}
を考えます。等長写像（isometry）の定義から、$f$は単射です。
実際、$f(x)=f(y)$とすると
\begin{align} d(x,y)=d(f(x),f(y))=0 \end{align}
なので、$x=y$となり、$f$の単射性が従います。
$X$がコンパクトのとき、$f$は全射でもあることが、比較的容易に分かります。
証明（クリックで展開）
$f(X)\neq X$と仮定する。$x_0\in X\setminus f(X)$を任意に取る。
$f(X)$はコンパクトなので、$X$で閉である。よって
\begin{align}
\delta
=d(x_0,f(X))
=\inf_{y\in X}d(x_0,f(y))
\end{align}
とおくと、$\delta>0$となる。
ここで、点列
\begin{align}
x_n=f^n(x_0) \qquad (n=0,1,2,\dots)
\end{align}
を考える。
任意の$0\le m< n$について、$f$が等長写像であることから
\begin{align}
d(x_m,x_n)
=
d(f^m(x_0),f^n(x_0))
=
d(x_0,f^{n-m}(x_0))
\end{align}
が成り立つ。ここで、$n-m>0$より$f^{n-m}(x_0)\in f(X)$だから、$\delta$の定義より
\begin{align}
d(x_m,x_n)\ge\delta
\end{align}
となる。したがって、点列$(x_n)$の相異なる2点は互いに$\delta$以上離れている。
すると、$(x_n)$は収束部分列を持たないため、$X$のコンパクト性に矛盾する。
ゆえに、$f(X)=X$である。すなわち、$f$は全射である。■
この記事では、$X$のコンパクト性の条件を少し弱めても、$f$は全射になることを示します。
特に、$\mathbb{R}^n$の自己等長写像は必ず全射になります。
定理の主張
定理の主張を述べるために、二つの用語を定義します。
群$G$の位相空間$X$への作用がココンパクト（cocompact）であるとは、商空間$X/G$がコンパクトのときをいう。
距離空間$X$がプロパー（proper）であるとは、任意の有界閉部分集合がコンパクトのときをいう。
$\mathbb{R}^n$の等長変換群の作用は推移的なので、商空間は1点集合です。よって、この作用はココンパクトです。
また、Heine–Borelの定理により、$\mathbb{R}^n$はプロパーです。
したがって、次の定理は、$X=\mathbb{R}^n$に対して成り立ちます。
$X$をプロパーな距離空間とし、等長変換群$G=\mathrm{Isom}(X)$が$X$にココンパクトに作用しているとする。
このとき、任意の自己等長写像
\begin{align} f\colon X \to X \end{align}
は全射である。
この定理の名称は、参考文献2から採りました。
ココンパクト性は定理に必要な条件です。
実際、
\begin{align} X = [0,\infty) = \{x\in\mathbb{R} \, | \, x\ge0\} \end{align}
のとき、$X$上の自己等長写像$f(x)=x+1$は全射ではありません。
以下でこの定理を証明します。
補題の準備
開球と閉球をそれぞれ
\begin{align} B_r(x) &= \{y\in X \, | \, d(x,y)< r\}\\ \overline{B}_r(x) &= \{y\in X \, | \, d(x,y)\le r\} \end{align}
で表すことにします。
$X$は完備であり、$f(X)$も完備である。
特に、$f(X)$は$X$で閉である。
$X$の任意のコーシー列$(x_n)$を取る。
コーシー列は有界なので、$(x_n)$はある有界閉集合に含まれる。
$X$はプロパーなので、その有界閉集合はコンパクトである。
また、距離空間において、コンパクト性と点列コンパクト性は同値である。
したがって、$(x_n)$は収束部分列を持つ。
コーシー列の部分列が収束すれば、元のコーシー列が収束するから、$(x_n)$は収束する。
以上より、$X$の完備性が従う。
完備距離空間の等長写像による像は完備である。
また、距離空間において、部分集合が完備であることと、閉であることは同値である。
ゆえに、$f(X)$は完備であり、$X$で閉である。
任意の$x\in X$に対し、ある$r>0$が存在して、任意の$y\in X$に対し
\begin{align} d(x,Gy)< r \end{align}
が成り立つ。ここで、
\begin{align} d(x,Gy) = \inf_{g\in G}d(x,gy) \end{align}
である。
任意の$x\in X$に対して、開集合族
\begin{align} \{p(B_r(x)) \, | \, r>0\} \end{align}
は$X/G$の開被覆である。ここで、$p\colon X\to X/G$は自然な射影である。
$X/G$はコンパクトなので、ある$r>0$が存在して
\begin{align} p(B_r(x)) = X/G \end{align}
となる。
したがって、任意の$y\in X$に対して、ある$g\in G$が存在して
\begin{align} gy\in B_r(x) \end{align}
が成り立つ。
すなわち、$d(x,gy)< r$なので、$d(x,Gy)< r$である。
$X$を距離空間とする。
部分集合$S\subset X$が$\varepsilon$-分離集合（$\varepsilon$-separated set）であるとは、$S$の相異なる任意の$2$点$x,y$に対して
\begin{align} d(x,y)\ge\varepsilon \end{align}
が成り立つときをいう。
次の補題は、任意の距離空間$X$に対して成り立ちます。
$S\subset X$を全有界な部分集合とする。
このとき、任意の$\varepsilon\gt0$に対して、ある正の整数$N$が存在して、$S$に含まれる$\varepsilon$-分離集合の濃度は$N$以下である。
$S$は全有界なので、ある$a_1,\dots,a_N\in X$が存在して
\begin{equation} S \subset \bigcup_{i=1}^N B_{\varepsilon/3}(a_i) \end{equation}
となる。
$A\subset S$が$N+1$個以上の点を含むと仮定する。
このとき、鳩の巣原理より、相異なる$2$点$x,y\in A$が存在して、ある$i$に対して
\begin{align} x,y\in B_{\varepsilon/3}(a_i) \end{align}
となる。したがって
\begin{align} d(x,y) &\le d(x,a_i)+d(a_i,y) \\ &\le \varepsilon/3+\varepsilon/3 \\ &< \varepsilon \end{align}
ゆえに、$A\subset S$が$\varepsilon$-分離集合ならば、$|A|\le N$でなくてはならない。
任意の$\varepsilon>0$と任意の$r>0$に対して、ある正の整数$N$が存在して、半径$r$の閉球に含まれる$\varepsilon$-分離集合$E\subset X$の濃度は$N$以下である。
$x_0\in X$を一つ取って固定する。
補題3より、ある$r_0>0$が存在して、任意の$x\in X$に対して、ある$g\in G$が存在して
\begin{align} d(x_0,gx)< r_0 \end{align}
となる。
$\varepsilon$-分離集合$E\subset X$が
\begin{align} E\subset\overline{B}_r(x) \qquad (x\in X) \end{align}
を満たすとする。
この$x\in X$に対して、
\begin{align} d(x_0,gx)< r_0 \end{align}
となる$g\in G$を取る。
$g$の等長性から$gE$も$\varepsilon$-分離集合であり、
\begin{align} gE \subset g\overline{B}_r(x) = \overline{B}_r(gx) \subset \overline{B}_{r+r_0}(x_0) \end{align}
となる。
$X$はプロパーだから、$\overline{B}_{r+r_0}(x_0)$はコンパクトであり、特に全有界である。
よって
\begin{align} N = \sup \left\{ |F|\, \middle| \,\text{$F\subset\overline{B}_{r+r_0}(x_0)$ は $\varepsilon$-分離集合} \right\} \end{align}
とおくと、補題4より$N$は有限であり、$|gE|\le N$が成り立つ。
$g$の等長性から$|E|=|gE|$なので、$|E|\le N$が従う。
定理の証明
以下の証明の方針は、 Mathematics Stack ExchangeにおけるYCor氏の回答 を参考にしました。
$f(X)\neq X$と仮定する。$x\in X\setminus f(X)$を任意に取る。
補題2より、$f(X)$は$X$で閉なので
\begin{align} r=d(x,f(X)) =\inf_{y\in X}d(x,f(y)) \end{align}
とおくと、$r>0$である。
さらに、ある$y\in X$が存在して、$r=d(x,f(y))$となる。
証明（クリックで展開）
$f(X)$は$X$で閉であり、$X$はプロパーだから、$f(X)\cap\overline{B}_{r+1}(x)\neq\emptyset$はコンパクトである。
したがって、ある$y'\in f(X)\cap\overline{B}_{r+1}(x)$が存在して、$r=d(x,y')$となる。
そこで、任意の$y\in f^{-1}(y')$を取ればよい。■
補題3より、任意の$z\in X$に対して、
\begin{align} d(y,Gz)< r_0 \end{align}
を満たす$r_0>0$が取れる。
ここで、
\begin{align} N = \sup \left\{ |E|\, \middle| \,\text{$E\subset X$ は半径 $r+r_0$ の閉球に含まれる $r$-分離集合} \right\} \end{align}
とおくと、補題5より$N$は有限である。
したがって、ある$r$-分離集合
\begin{align} E\subset \overline{B}_{r+r_0}(z) \qquad (z\in X) \end{align}
が存在して、$|E|=N$となる。
$z$を適当な等長変換で動かすことで、$d(y,z)< r_0$としてよいことが分かる。
証明（クリックで展開）
ある$g\in G$が存在して、$d(y,gz)< r_0$である。
$g$は等長写像だから、$gE$も$r$-分離集合であり、
\begin{align}
gE\subset\overline{B}_{r+r_0}(gz), \qquad |gE|=N
\end{align}
が成り立つ。
したがって、$z$を$gz$に置き換えればよい。■
$f$は等長写像なので、$f(E)$も$r$-分離集合である。
さらに、$r$の定義より、$f(E)\cup\{x\}$も$r$-分離集合である。
また、
\begin{align} d(x,f(z)) &\le d(x,f(y))+d(f(y),f(z)) \\ &\le r+r_0 \end{align}
となるので、$f(E)\cup\{x\}$は$\overline{B}_{r+r_0}(f(z))$に含まれる。
しかし、$|f(E)\cup\{x\}|=N+1$なので、$N$の定義から矛盾である。
ゆえに、$f(X)=X$が成り立つ。すなわち、$f$は全射である。
