束と加群 #2

束,加群,代数的束

長くなったので分割する。

代数的束について： https://mathlog.info/articles/gAynz9hDJJ5fLlEuedZC

直既約分解

内部直和を$\boxplus$、外部直和を$\oplus$と書いて集合として区別する。

$R$加群$M$に対し、$K(M)$は代数束である。

代数束とは、任意の元がコンパクト元の結びで表される完備束の事である。

$N \in K(M)$を取る。

各$x \in N$について、$Rx$はコンパクトである。

[$Rx$はコンパクト]
$\i$$Rx = \sum_{i \in I}N_i$と表す。($N_i \le Rx$)
$\i$$x = \sum_{i \in J}n_{i}$と表せる。($n_i \in N_i,\ J \underset{fin}{\subset} I$)
$\i$このとき、$x \in \sum_{i \in J} N_{i}$
$\i$よって、$Rx \subset \sum_{i \in J} N_{i}$
$\i$従って、$Rx = \sum_{i \in J} N_{i}$

$N = \sum_{x \in N}Rx$だから、$N$はコンパクト元の結びで表される。

$R$加群$M$の部分加群の族$(S_i)_{i \in I}$が互いに素とは、以下を満たすことを言う。

$\forall j \in I, S_j \cap \sum_{i \in I \setminus\set{j}}S_i = \set{0}$

(完備束における互いに素を言い換えただけ。)

$R$加群$M$の極小部分加群の族$(S_i)_{i \in I}$に対し、ある$J \subset I$が存在して、$\sum_{i \in I}S_i = $$\boxplus$$_{i \in J}S_i$

極小部分加群は$K(M)$における原子元であり、$K(M)$が代数的モジュラー束であることから命題は導かれる。

$f:L → M$を単射準同型とする。

このとき、$K(L) \simeqw{ord} ↓^{K(M)}\im(f)$

$X = K(L)$
$Y = ↓^{K(M)}\im(f)$
と置く。

$\Phi: X → Y; S ↦ f(S)$
$\Psi: Y → X; S ↦ f^{-1}(S)$
と置く。

これらが順序を保ち、互いに逆写像であることを示す。

[well-deifined]
任意の$S \in K(L)$について、$\Phi(S) = f(S) \le f(L) = \im(f)$だから、$\Phi$はwell-defined

[順序を保つ]
明らか。

[$\Psi \circ \Phi = \id_{X}$]
$S \in X$を取る。

$f$は単射だから、
$\Psi(\Phi(S)) = f^{-1}(f(S)) = S = \id_X(S)$

[$\Phi \circ \Psi = \id_{Y}$]
$S \in Y$を取る。

[$f(f^{-1}(S)) = S$]
[$\subset$]
一般に成り立つ。

[$\supset$]
$s \in S$を取る。
$s \in S \le \im(f)$だから、
$s = f(t)$となる$t \in L$が取れる。
$f(t) = s \in S$だから、$t \in f^{-1}(S)$
よって、$s \in f(f^{-1}(S))$

$g:M → N$を全射準同型とする。

このとき、$K(N) \simeqw{ord} ↑^{K(M)}\ker(g)$

$X = K(N)$
$Y = ↑^{K(M)}\ker(g)$
と置く。

$\Phi: X → Y; S ↦ g^{-1}(S)$
$\Psi: Y → X; S ↦ g(S)$
と置く。

[well-defined]

任意の$S \in X$に対し、$\set{0} \le S$だから、$\ker(g) \le g^{-1}(S) = \Phi(S)$
よって、$\Phi(s) \in Y$

[順序を保つ]
明らか。

[$\Psi \circ \Phi = \id_{X}$]
$S \in X$を取る。

[$g^{-1}(g(S)) = S$]
[$\subset$]
$s \in g^{-1}(g(S))$を取る。
このとき、$g(s) \in g(S)$だから、$g(s) = g(d)$となる$d \in S$が取れる。
このとき、$g(s-d) = 0$だから、$s-d \in \ker(g)$である。
$s-d = k$と置く。($k \in \ker(g)$)
$S \in X = ↑^{K(M)}\ker(g)$だから、
$s = d+k \in S$

[$\supset$]
一般に成り立つ。

[$\Phi \circ \Psi = \id_{Y}$]
$S \in Y$を取る。

$g$は全射だから、
$\Psi(\Phi(S)) = g(g^{-1}(S)) = S = \id_Y(S)$

$R$加群$M$に対し以下は同値。

$M$は半単純
$M$の任意の部分加群は半単純
$M$の任意の部分加群は$M$の直和因子
任意の短完全列$0 → L → M → N → 0$は分裂する

$M$の極小部分加群は$K(M)$の原子元である。

$M$が半単純 ⇔ $M$が$K(M)$において原子論的
$M$の任意の部分加群は半単純 ⇔ $K(M)$は原子論的
$M$の任意の部分加群は$M$の直和因子 ⇔ $K(M)$は可補

右辺の同値が代数的モジュラー束において成り立っている。

[3 ⇒ 4]
任意の短完全列$0 → L \xr{f} M \xr{g} N → 0$を取る。

$K(M)$が可補だから、$\im(f)$の補元$K$が取れる。

このとき、$M = \im(f) \boxplus K$であり、$f$は単射だから、任意の$m \in M$は$m = f(l)+k$と一意に表せる。
$m$に対し、この$l$を対応させる写像を$\rho: M → L$とする。

[$\rho$は準同型]
$\i$$m,n \in M$を取る。
$\i$$r \in R$を取る。

$\i$$m = f(l_m) + k_m$
$\i$$n = f(l_n) + k_n$と表す。

$\i$[和で閉じる]
$\ii$$m+n = f(l_m + k_n) + k_m + k_n$

$\ii$$\rho(m+n) = l_{m+n} = l_m + l_n = \rho(m) + \rho(n)$

$\i$[スカラー倍で閉じる]
$\ii$$rm = rf(l_m) + rk_m = f(rl_m) + rk_m$

$\ii$$\rho(rm) = l_{rm} = rl_m = r\rho(m)$

[$\rho \circ f = \id_{L}$]
$\i$$f(l) = f(l) + 0$だから、$\rho(f(l)) = l$

$f$の左逆写像があるから、この完全列は分裂している。

[4 ⇒ 3]
$K \le M$を取る。

このとき、$0 → K \xr{\iota} M \xr{\pi} M/K → 0$は完全列であり、仮定より分裂する。

$\pi \circ s = \id_{M/K}$となる$s:M/K → M$を取る。

[$M = K \boxplus \im(s)$]
$\i$[$M = K + \im(s)$]
$\ii$$m \in M$を取る。

$\ii$$\pi(m-s(\pi(m))) = \pi(m)-\pi(s(\pi(m))) = \pi(m)-\pi(m) = 0$
$\ii$だから、$m-s(\pi(m)) \in \ker(\pi) = K$
$\ii$ゆえに、$m = s(\pi(m)) + k$と表せる。($k \in K$)
$\ii$よって、$m \in \im(s) + K$

$\i$[$K \cap \im(s) = 0$]
$\ii$$m \in K \cap \im(s)$を取る。
$\ii$$\pi(m)=0$である。
$\ii$$m = s(c)$となる$c \in M/K$が取れる。
$\ii$よって、$\pi(m) = \pi(s(c))=\id_{M/K}(c)=c=0$
$\ii$よって、$m = 0$