ベーシック普遍性
米田の補題を乱用して普遍性の一般論を説明する。本記事では、圏を$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\mathrm{Mor},\mathrm{dom},\mathrm{cod},\circ_\mathcal{C},\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{id}}{}_\bullet)$と定義する。関手は$(R,\mathsf{\large Я}):\mathbfcal{C}\rightarrow\mathbfcal{D}$というように対象の対応写像と射の対応写像のペアとして表記するが、例外として$\text{Hom}$関手$(\text{Hom}_\mathcal{C}(a,\cdot),(\cdot)\circ_\mathcal{C}-)$は射の対応写像$(\cdot)\circ_\mathcal{C}-$を省略して書く（だるいので）。
まずは米田の補題を思い出そう！
$(R,\mathsf{\large Я}):\mathbfcal{C}\rightarrow\textbf{SET}$と$a\in\mathcal{C}$に対して、以下の同型が成り立つ。
$$ \text{Nat}_{[\mathbfcal{C},\mathbf{SET}]}\big(\text{Hom}_\mathcal{C}(a,\cdot),(R,\mathsf{\large Я})\big)\overset{\psi}{\cong}_\textsf{SET}R(a)$$
ここで、全単射$\psi$は
\begin{array}{ccl}
\psi:\;\text{Nat}_{[\mathbfcal{C},\mathbf{SET}]}\big(\text{Hom}_\mathcal{C}(a,\cdot),(R,\mathsf{\large Я})\big) &\overset{\cong_\mathsf{SET}}{\longrightarrow}& R(a)\,;& \\
\;\;\;\;(\theta_y)_{y\in\mathcal{C}} & \longmapsto & \psi((\theta_y)_{y\in\mathcal{C}})\coloneqq\theta_a(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_a)\,;
\end{array}
で与えられる。逆写像は
\begin{array}{ccl}
\psi^{-1}:\;R(a) &\overset{\cong_\mathsf{SET}}{\longrightarrow}& \text{Nat}_{[\mathbfcal{C},\mathbf{SET}]}\big(\text{Hom}_\mathcal{C}(a,\cdot),(R,\mathsf{\large Я})\big)\,;& \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;u & \longmapsto & \psi^{-1}(u)\coloneqq\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}\,;
\end{array}
になる。ここで$\psi^{-1}(u)\coloneqq\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}$とは、$y\in\mathcal{C}$成分が
\begin{array}{rcl}
\psi^{-1}(u)_y=\mathsf{\large Я}(\cdot)(u):&\text{Hom}_\mathcal{C}(a,y) &\longrightarrow& R(y)\,;& \\
&f & \longmapsto & \big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)(f)\coloneqq\mathsf{\large Я}(f)(u)\,;
\end{array}
という写像であるような自然変換のこと。
念のため振り返っておくと、$(R,\mathsf{\large Я}):\mathbfcal{C}\rightarrow\textbf{SET}$が関手であるとは、
$R:\mathcal{C}\rightarrow\mathsf{SET};$という対象の写像$R$と、
\begin{array}{ccrl}
\mathsf{\large Я}:\;\text{Hom}_\mathcal{C}(a,b) &\longrightarrow& \text{Map}(R(a),R(b));& \\
\;\;\;\;f & \longmapsto & \mathsf{\large Я}(f):\,R(a)\;\longrightarrow& R(b);\\&& x\;\;\;\;\longmapsto& \mathsf{\large Я}(f)(x);
\end{array}
という射の写像$\mathsf{\large Я}$のペア$(R,\mathsf{\large Я})$であって、射の合成と恒等射を交換するということである。
$(R,\mathsf{\large Я}):\mathbfcal{C}\rightarrow\textbf{SET}$を関手、$\Gamma\in\mathcal{C}$とする。
$(\Gamma,u)$が$\color{red}(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たすとは
$$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})\;\;\;\big(\,\text{s.t.}\:\,u\in R(\Gamma)\big)$$
という自然同型が成り立つことである。$u$が何らかの射になっているとき、$u$を普遍射と呼ぶ。
米田の補題より、上のような$u$を一つ選ぶことと、Hom関手と$(R,\mathsf{\large Я})$の自然同型を一つ選ぶことは同じこと。
$(\Gamma,u),(\Gamma',u')$が$(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たすとする。このとき
$$(\exists!v\in\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\Gamma'))\big[\,\Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma',\;u'=\mathsf{\large Я}(v)(u)\big]$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})\;\;\;\big(u\in R(\Gamma)\big) \,,\\
\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u')\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})\;\,\big(u'\in R(\Gamma)\big)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を仮定する。見やすさのために、自然同型$\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}$を$(\theta_y)_{y\in\mathcal{C}}$と置く。この逆自然変換は$(\theta_y^{-1})_{y\in\mathcal{C}}$になる。仮定より
$$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u')\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})\overset{(\theta_y^{-1})_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)$$
となり、$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)$から$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)$への自然同型が得られる。米田の補題より、
\begin{eqnarray}
((\cdot)\circ_\mathcal{C}v)_{y\in\mathcal{C}} &=&(\theta_y^{-1})_{y\in\mathcal{C}}\circ\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u')\big)_{y\in\mathcal{C}}\\
&=& \big(\theta_y^{-1}\circ_\mathsf{Set}\mathsf{\large Я}(\cdot)(u')\big)_{y\in\mathcal{C}}\;\;\;\;\;\cdots(♦)
\end{eqnarray}を満たすある$v\in\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\Gamma')$が一意に存在する。
以降、$(♦)$を言い換える。$(♦)$で、$y=\Gamma'$の成分に$\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\Gamma'}$を代入してみると
\begin{array}{rrl}
&v& =\big(\theta_{\Gamma'}^{-1}\circ_\mathsf{Set}\mathsf{\large Я}(\cdot)(u')\big)(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\Gamma'})\\
&& =\theta_{\Gamma'}^{-1}\big(\mathsf{\large Я}(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\Gamma'})(u')\big)\\
&& =\theta_{\Gamma'}^{-1}\big(\underset{\mathsf{Set}}{\text{id}}{}_{R(\Gamma')}(u')\big)\\
&& =\theta_{\Gamma'}^{-1}(u')\\\\
\Longleftrightarrow& \theta_{\Gamma'}(v)&=u'\\
\Longleftrightarrow& \mathsf{\large Я}(v)(u)&=u'\\
\end{array}
になる。逆にこのとき、米田の補題より$(♦)$が成り立つ。よって、$(♦)⇔u'=\mathsf{\large Я}(v)(u)$。
また、米田の補題より米田埋め込みはconservativeなので
$$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)\overset{\big((\cdot)\circ_\mathcal{C}v\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)\Longrightarrow \Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma'$$
である。以上より、題意が示せた。
証明を追えば分かるが「$u=\mathsf{\large Я}(v)(u')$を満たす射が一意に存在し、それはたまたま同型射になる」と言っており、同型射の一意性は言っていない。$u=\mathsf{\large Я}(v)(u')$を満たさない同型射はたくさん存在し得る。「同型射も一意に存在する」と言っている記事は全てデマである。
ある意味で命題２の逆も成り立つ。
$(\Gamma,u)$が$(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たし、$\Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma'$であるとする。
このとき、$(\Gamma',\mathsf{\large Я}(v)(u))$も$(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たす。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})\;\;\;\big(u\in R(\Gamma)\big) \,,\\
\Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma'
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を仮定する。米田埋め込みは関手なので
$$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)\overset{\big((\cdot)\circ_\mathcal{C}v\big)_{y\in \mathcal{C}}}{\cong} \text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)$$
となる。よって、
$$\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma',\cdot)\overset{\big((\cdot)\circ_\mathcal{C}v\big)_{y\in \mathcal{C}}}{\cong} \text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\cdot)\overset{\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)_{y\in\mathcal{C}}}{\cong}(R,\mathsf{\large Я})$$
となり従う。
※自然同型の$y$成分を計算すると
\begin{eqnarray} \big(\mathsf{\large Я}(\cdot)(u)\big)\circ_\mathsf{Set}\big((\cdot)\circ_\mathcal{C}v\big)&=&\mathsf{\large Я}((\cdot)\circ_\mathcal{C}v)(u)\\ &=&\big(\mathsf{\large Я}(\cdot)\circ_\mathsf{Set}\mathsf{\large Я}(v)\big)(u)\\ &=&\mathsf{\large Я}(\cdot)(\color{red}\mathsf{\large Я}(v)(u)\color{black}) \end{eqnarray}
命題２，３をまとめると、以下の定理になる。
$(R,\mathsf{\large Я}):\mathbfcal{C}\rightarrow\textbf{SET}$とする。$(\Gamma,u)$が$(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たしているとき、$\Gamma',u'$に対して以下の３つは同値。
- $(\Gamma',u')$は$(R,\mathsf{\large Я})$の普遍性を満たす
- $(\exists v\in\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\Gamma'))\big[\,\Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma',\;u'=\mathsf{\large Я}(v)(u)\big]$
- $(\exists\color{red}!\color{black} v\in\text{Hom}_\mathcal{C}(\Gamma,\Gamma'))\big[\,\Gamma\overset{v}{\cong}_\mathcal{C}\Gamma',\;u'=\mathsf{\large Я}(v)(u)\big]$
(1)$\Rightarrow$(3)：命題２
(3)$\Rightarrow$(2)：自明
(2)$\Rightarrow$(1)：命題３
普遍性を満たす$(\Gamma,u)$を持つような関手$(R,\mathsf{\large Я})$を表現可能関手という。つまり、表現可能関手とはあるHom関手と自然同型になる関手のこと。このとき$\Gamma$(の属する$\mathcal{C}$上の同型類)をその関手の表現対象という。
最後に応用例を見る。
$\mathbb{K}$を体とする。任意の$\mathbb{K}$-ベクトル空間はある集合から自由に生成される。つまり、$(U,I):\mathbf{Vect}_{\mathbb{K}}\rightarrow\mathbf{Set}$を忘却関手とすると、任意の$\mathbb{K}$-ベクトル空間$V$に対してある写像$b_\bullet$とある集合$B$が存在し、$(V,b_\bullet)$は$\text{Hom}_\mathsf{Set}(B,\cdot)\circ(U,I)$の普遍性を満たす。言い換えると、$\mathbb{K}$-ベクトル空間$V$に対してある写像$b_\bullet$とある集合$B$が存在し
$$\text{Hom}_{\mathsf{Vect}_{\mathbb{K}}}(V,\cdot)\overset{\big( I(\cdot)\circ_\mathsf{Set}b_\bullet\big)_{W\in\mathcal{C}}}{\cong}\text{Hom}_\mathsf{Set}(B,U(\cdot))\;\;\big(\,b_\bullet\in \text{Hom}_\mathsf{Set}(B,U(V))\big)$$
を満たす。これを自由の普遍性という。このとき普遍射$b_\bullet$を基底といい、集合$B$の濃度$|B|$を次元という。
さて、具体的な話に移ろう。実は、任意の集合$B$に対して$(\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K},\hat{\mathbb{e}}_\bullet)$は$\text{Hom}_\mathsf{Set}(B,U(\cdot))$の普遍性を満たす（※ここで$\hat{\mathbb{e}}_\bullet=(\hat{\mathbb{e}}_{i})_{i\in B}=((\delta_{i,j})_{j\in B})_{i\in B}$は標準ベクトル）。つまり$$\text{Hom}_{\mathsf{Vect}_\mathbb{K}}\Big(\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K},\cdot\Big)\overset{\big(I(\cdot)\circ_\textsf{Set}\hat{\mathbb{e}}_\bullet\big)_{W\in\mathsf{Vect}_\mathbb{K}}}{\cong}\text{Hom}_\mathsf{Set}(B,U(\cdot))\;\;\bigg(\,\hat{\mathbb{e}}_\bullet:B\rightarrow U\Big(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{K}\Big);\bigg)$$となる。特に、自然同型の各成分$I(\cdot)\circ_\mathsf{Set}\hat{\mathbb{e}}_\bullet$は全単射になるので、各ベクトル空間$W$と各写像$x_\bullet=(x_i)_{i\in B}:B\rightarrow U(W);$に対して
$$\Big(\exists!\phi\in\text{Hom}_{\mathsf{Vect}_\mathbb{K}}\Big(\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K},W\Big)\Big)\Big[\,x_\bullet=I(\phi)\circ_\textsf{Set}\hat{\mathbb{e}}_\bullet\,\Big]$$が言える。一意に存在するこのような$\phi$を具体的に構成してみると、数ベクトルを$x_j$の肩に差し込む線型写像
$$ \phi_{x_\bullet}((\alpha_i)_{i\in B})=\sum_{j\in\text{supp}(\alpha_i)_{i\in B}}\alpha_j\triangleright_V x_j$$
になる。確認してみよう！以後これを$\phi_{x_\bullet}$と書く。
さて、定理４より$(V,b_\bullet)$が$\text{Hom}_\mathsf{Set}(B,U(\cdot))$の普遍性を満たすことは
$$\Big(\exists!\phi\in\text{Hom}_{\mathsf{Vect}_{\mathbb{K}}}\Big(\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K},V\Big)\Big)\bigg[\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K}\overset{\phi}{\cong}_{\mathsf{Vect}_\mathbb{K}}V,\;b_\bullet=I(\phi)\circ_{\mathsf{Set}}\hat{\mathbb{e}}_\bullet\bigg]$$
が成り立つことと同値だ。上の話により、このような$\phi$は数ベクトルを基底の各成分に差し込む線型写像
$$ \phi_{b_\bullet}((\alpha_i)_{i\in B})=\sum_{j\in\text{supp}(\alpha_i)_{i\in B}}\alpha_j\triangleright_V b_j$$
に限られる。
以上を使って、基底は「一次独立な生成元」として特徴付けられることを見てみよう！$V$の次元を$\text{dim}(V)=|B|$とする。$b_\bullet$が$V$の基底であるとは、$(V,b_\bullet)$が普遍性を満たすことである。$(\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K},\hat{\mathbb{e}}_\bullet)$は普遍性を満たすので、定理４及び上で定義した$\phi_{b_\bullet}$の具体的な式より
\begin{eqnarray}
b_\bullet\textsf{ が }V\textsf{ の基底 }&\Longleftrightarrow&\bigoplus_{i\in B}\mathbb{K}\overset{\phi_{b_\bullet}}{\cong}_{\mathsf{Vect}_\mathbb{K}}V\\
&\Longleftrightarrow&\phi_{b_\bullet}\textsf{ は全単射}
\end{eqnarray}
となる。ここで、$b_\bullet$が一次独立であることは$\phi_{b_\bullet}$が単射であることと同値になり、$b_\bullet$が$V$を生成することは$\phi_{b_\bullet}$が全射であることと同値になることが簡単にチェックできる。上の$\phi_{b_\bullet}$の具体的な式をよく見てみよう。以上より、示せた！
この話は、ヒルベルト空間や多元環などあらゆる分野で現れる。
命題２を使うと、「随伴関手は自然同型を除いて一意である」という基本的な事実を秒で示せる。まず$(F,\mathrm{\large ꟻ}):\mathbfcal{C}\rightarrow\mathbfcal{D}$の右随伴とは、以下の左Kan拡張の普遍性を満たす$(\Gamma,u_\bullet)$のうち、絶対Kan拡張なものとして特徴つけられる。
$$ \text{Nat}_{[\mathbfcal{D},\mathbfcal{C}]}(\Gamma,\cdot)\overset{\big((\cdot)_{F}\circ_{[\mathbfcal{C},\mathbfcal{C}]}u_\bullet\big)_{y:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}}}{\cong}\text{Nat}_{[\mathbfcal{C},\mathbfcal{C}]}\Big(\underset{\mathsf{CAT}}{\text{Id}}{}_\mathbfcal{C},(\cdot)\circ_\mathsf{CAT}(F,\mathrm{\large ꟻ})\Big)\;\;\big(\,u_\bullet:\underset{\mathsf{CAT}}{\text{Id}}{}_\mathbfcal{C} \Rightarrow \Gamma\circ_\mathsf{CAT}(F,\mathrm{\large ꟻ}) \big)$$
このとき$\Gamma$を$\color{red}(F,\mathrm{\large ꟻ})$の右随伴関手といい、普遍射$u_\bullet$を単位という。これは随伴のKan拡張としての特徴付けである。$(\Gamma,u_\bullet)$が$(F,\mathrm{\large ꟻ})$の右随伴になることを$\color{red}(F,\mathrm{\large ꟻ})\overset{u_\bullet}{\dashv}\Gamma$と表記する。
右随伴が二つあると仮定する。$(F,\mathrm{\large ꟻ})\overset{u_\bullet}{\dashv}\Gamma,(F,\mathrm{\large ꟻ})\overset{u_\bullet'}{\dashv}\Gamma'$であるとき、$(\Gamma,u_\bullet),(\Gamma',u_\bullet')$はともに普遍性を満たすので、命題２より
$$(\exists!\theta_\bullet:\Gamma\Rightarrow\Gamma')\big[\,\Gamma\overset{\theta_\bullet}{\cong}\Gamma',\;u_\bullet'=\theta_F\circ_{[\mathbfcal{C},\mathbfcal{C}]} u_\bullet\big]$$
を得る。単位の等式は、
\begin{eqnarray}
(u_c')_{c\in\mathcal{C}} &=& (\theta_{F(c)})_{c\in\mathcal{C}}\circ_{[\mathbfcal{C},\mathbfcal{C}]}(u_c)_{c\in\mathcal{C}}\\
&=& (\theta_{F(c)}\circ_\mathcal{C} u_c)_{c\in\mathcal{C}}
\end{eqnarray}
という意味である。特に、右随伴関手は自然同型を除いて一意。
（※一方で、これの逆は一般に言えない。自然同型だからといって、左Kan拡張の普遍性を満たす対応物が絶対Kan拡張になっているとは限らないため。）
米田珈琲の豆菓子って美味しいよね
$\textbf{Set}$を集合と写像の圏、$\textbf{SET}$をクラスと写像の大圏としている。本記事で使っている米田の補題は、大圏での米田の補題である。巷にある普通の本では、局所小圏での米田を使って普遍性を局所小圏に限って定義しているが、それだとKan拡張が一般に表現可能関手の形で書けずだるい（例えば関手圏$[\mathbf{Set},\mathbf{Set}]$は局所小でない）。
