東大数学過去問解答例(2025理2)
ここでは東大数学の2025理2(改)の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
極限
$$
\lim_{n\to\infty}n\int_1^2\log(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})dx
$$
を計算しなさい。
まず
$$
\begin{split}
\lim_{n\to\infty}n \log(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})&=\left.\lim_{y\to0}\frac{1}{y}\log(\frac{1+x^{y}}{2})\right.\\
&=\left.\frac{\partial}{\partial y}\left(\log(\frac{1+x^{y}}{2})\right)\right|_{y=0}\\
&=\left.\frac{x^y\log(x)}{1+x^y}\right|_{y=0}&=\frac{\log(x)}{2}
\end{split}
$$
である。ここで任意の$n$及び$x\in[1,2]$に対して、
$$
\log(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})^n\leq \log({x^{\frac{1}{n}}})^n=\log(x)
$$
であるから、ルベーグの優収束定理と前半の計算から
$$
\begin{split}
\lim_{n\to\infty}n\int_1^2\log(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})dx&=\int_1^2 \lim_{n\to\infty}n\log(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})dx\\
&=\frac{1}{2}\int_1^2\log(x)dx\\
&=\frac{1}{2}[x\log(x)-x]_1^2&={\color{red}-\frac{1}{2}+\log2}
\end{split}
$$
である。
実際の問題は(1)で正の実数$x$に対して$\log(x)\leq x-1$が成り立つことを示し、それを使って(2)で上の極限値を求めるものでした。
