8番定理(令和8年8月8日)
この記事はゲーム『8番出口』のパロディです！要するに間違い探しです！
ルール
ルール：以下の第1章から第8章までのうち異変を含む章番号を全て挙げてください。
(異変の厳密な定義はしませんが、それが数学書に書いてあったら間違いだと指摘したくなるものが異変だと思ってください。)
知識ゲーにならないように、ヒントを置いておきます。
ヒント：非可換環の最小位数は8である。
第1章
$A$は集合とする．$B$は1点集合で$B=\{*\}$とする．$f:A\to B$は写像とする．
このとき，$f$は全射である．
第2章
ここでは空集合を$\varnothing$と表すことにする．
$B$は集合とする．$f:\varnothing\to B$は写像とする．
このとき，$f$は単射である．
第3章
$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$は実数とする。このとき，
$\displaystyle(\prod_{i=1}^{3}a_i)(\prod_{j=1}^3b_j)=\prod_{1≤i,j≤3}(a_ib_j)$．
第4章
2つの$4\times 4$行列$A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})$が与えられたとき，積$AB$の(2,3)-成分は次のように書かれる．
$\displaystyle\sum_{k=1}^4a_{2,k}b_{k,3}$．
(何の関係もない画像)
第5章
実数や複素数で成り立つような性質でも，一般の環では成り立たないことがあるから注意が要る．例えば，平方根の個数について考えてみよう．
$0$でない複素数が1個与えられたとき，その平方根は2個存在する．
ところが，このことは一般の環では必ずしも成立しない．例えば$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$では$1^2=3^2=5^2=7^2=1$であるから，$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$に$1$の平方根は4個存在する．
第6章
$a,b,x,y$は整数とし，$ax+by=1$とする．
このとき，$2=2^{ax+by}=(2^{ax})^{by}$．
第7章
各素数が代数体$K$で分岐するかどうかどうかは，判別式によってによって完全に記述できる．
$p$は素数とする．次の(1),(2)は同値である．
(1)$p$は$K$で分岐する．
(2)$p\mid \Delta_K$．
第8章
非可換環の最小位数は8である．
この命題を示すには，次の(1)と(2)を示せば十分である．
(1)位数が8未満の任意の環は可換環である
(2)位数が8の非可換環が存在する
ではまず(1)を示そう．...
終わりです．異変を見つけられましたか？解答は後日！
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