Hausdorff空間の族からなる積空間はHausdorff空間
本記事の目的
松坂先生の
集合・位相入門
を読んでいる時，Hausdorff性が部分空間にて保たれる事は書かれていたのですが，積空間については書かれていなさそうでした．
せっかくなので，投稿の練習の意味も込めて証明を書いてみます．
準備
本記事で重要となる用語について定義を与える．
位相空間族$\{(S_\lambda, \mathfrak{O}_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を考える．$S = \prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$とおき，各$\lambda \in \Lambda$における射影$p_\lambda : S \rightarrow S_\lambda$が連続となる$S$の最弱の位相を積位相という．$S$に積位相を導入した位相空間を積空間という．
位相空間族$\{(S_\lambda, \mathfrak{O}_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$からなる積空間$(S, \mathfrak{O})$について，$\mathfrak{O}$の基底として
$$ \bigcap_{i=1}^n p_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i}) = \left(\prod_{\lambda \in \Lambda \setminus \{\lambda_1, \cdots, \lambda_n\}} S_\lambda\right) \times O_{\lambda_1} \times \cdots \times O_{\lambda_n}$$
の形の集合の全体をとれる．
位相空間$S$における$x \in S$の近傍系を$V(x)$とおき，Hausdorff空間を次のように定義する．
位相空間$S$について，$\forall x,y \in S$について$ x \neq y$であるとき，
$$ \exists U \in V(x),\; \exists V \in V(y), \;s.t.\; U \cap V = \emptyset$$
を満たすなら，$S$をHausdorff空間という．
証明
Hausdorff空間の族$\{(S_\lambda, \mathfrak{O}_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$からなる積空間もHausdorff空間となる．
Hausdorff空間の族$\{(S_\lambda, \mathfrak{O}_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$について，$S = \prod_{\lambda \in \Lambda}S_\lambda$に積位相を入れた積空間$(S, \mathfrak{O})$を考える．$\forall x, y \in S$について$x \neq y$であるとする．
すると，ある射影について$\exists \mu \in \Lambda \;s.t.\; p_\mu(x) \neq p_\mu(y)$を満たす．
このとき，$p_\mu(x) = x_\mu,\; p_\mu(y) = y_\mu$とおけば，$S_\mu$はHausdorff空間なので，
$$ \exists U_\mu \in V(x_\mu),\; \exists V_\mu \in V(y_\mu) \;s.t.\; U_\mu \cap V_\mu = \emptyset$$を満たす．
よって，$\exists O_{\mu}, O_{\mu}' \in \mathfrak{O}_\mu \;s.t.\; (x_\mu \in O_{\mu} \subset U_\mu) \wedge (y_\mu \in O_{\mu}' \subset V_{\mu})$を満たす．
このとき，$O_\mu \cap O_\mu' = \emptyset$となるから，$x \in p_\mu^{-1}(O_\mu) \in V(x), \; y \in p_\mu^{-1}(O_\mu') \in V(y)$について，
\begin{align}
p_\mu^{-1}(O_\mu) \cap p_\mu^{-1}(O_\mu') &= \left(\left(\prod_{\lambda \in \Lambda \setminus \{\mu \}} S_\lambda\right) \times O_\mu \right) \cap \left(\left(\prod_{\lambda \in \Lambda \setminus \{\mu \}} S_\lambda\right) \times O_\mu' \right) \\
&= \left(\left(\prod_{\lambda \in \Lambda \setminus \{\mu \}} S_\lambda\right) \times (O_\mu \cap O_\mu') \right) \\
&= \emptyset
\end{align}
となる．
参考文献
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