Hausdorff空間の族からなる積空間はHausdorff空間

Hausdorff空間の族$\{(S_{\lambda },{\mathfrak{O}}_{\lambda }){\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$について，$S=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{S}_{\lambda }$に積位相を入れた積空間$(S,\mathfrak{O})$を考える．$\mathrm{\forall }x,y\in S$について$x\ne y$であるとする．
すると，ある射影について$\mathrm{\exists }\mu \in \mathrm{\Lambda }s.t.p_{\mu }(x)\ne p_{\mu }(y)$を満たす．
このとき，$p_{\mu }(x)=x_{\mu },p_{\mu }(y)=y_{\mu }$とおけば，$S_{\mu }$はHausdorff空間なので，
$$\mathrm{\exists }{U}_{\mu }\in V(x_{\mu }),\mathrm{\exists }{V}_{\mu }\in V(y_{\mu })s.t.U_{\mu }\cap V_{\mu }=\mathrm{\varnothing }$$を満たす．
よって，$\mathrm{\exists }{O}_{\mu },O_{\mu }^{\prime }\in {\mathfrak{O}}_{\mu }s.t.(x_{\mu }\in O_{\mu }\subset U_{\mu })\wedge (y_{\mu }\in O_{\mu }^{\prime }\subset V_{\mu })$を満たす．

このとき，$O_{\mu }\cap O_{\mu }^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$となるから，$x\in p_{\mu }^{-1}(O_{\mu })\in V(x),y\in p_{\mu }^{-1}(O_{\mu }^{\prime })\in V(y)$について，
$$\begin{array}{rl}{p}_{\mu }^{-1}(O_{\mu })\cap p_{\mu }^{-1}(O_{\mu }^{\prime })& =(\left(\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{\mu \}}{S}_{\lambda }\right)\times O_{\mu })\cap (\left(\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{\mu \}}{S}_{\lambda }\right)\times O_{\mu }^{\prime })\\ & =(\left(\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{\mu \}}{S}_{\lambda }\right)\times (O_{\mu }\cap O_{\mu }^{\prime }))\\ & =\mathrm{\varnothing }\end{array}$$
となる．