文献あり

東大院試04-A7

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問題

$M (n, R)$ を実 $n$ 次正方行列全体の集合とする． $R$ 上で定義された $C^{\infty}$ 級の行列値関数 $Φ : R \to M (n, R)$ を考える．対称行列 $Φ (s) +^{t} Φ (s)$ の最大固有値を $λ (s)$ とする．また， $C^{\infty}$ 級のベクトル値関数 $X : R \to R^{n}$ は微分方程式
$\frac{d X}{d s} (s) = Φ (s) X (s)$
を満たすものとする． $λ (s)$ が条件
$\int_{0}^{\infty} | λ (s) | d s < \infty$
を満たせば， $X (s) (s \geq 0)$ は有界であることを示せ．

復習（？）

数域半径

$w (A) = sup {| ⟨ A x, x ⟩ |; | | x | | = 1}$ を $A$ の数域半径と呼ぶ．

スペクトル半径

$n$ 次行列 $A$ の固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ とし，
$ρ (A) = max_{i} | λ_{i} |$
とおく． $ρ (A)$ を $A$ のスペクトル半径と呼ぶ．

明らかに， $ρ (A) \leq w (A)$ が成り立ちます．

正規行列

$A^{*}$ を $A$ の共役転置とする．行列 $A$ が $A A^{*} = A^{*} A$ を満たすとき， $A$ を正規行列という．

ユニタリ行列

行列 $U$ が $U^{*} U = U U^{*} = I$ を満たすとき， $U$ をユニタリ行列という．

実は次の定理が成り立ちます．

$A$ が正規行列のとき， $ρ (A) = w (A)$ が成り立つ．

正規行列はユニタリ行列で対角化できるので，ユニタリ行列 $U$ が存在して $A = U^{*} Λ U$ と書ける．この時， $| | x | | = 1$ について，
$⟨ A x, x ⟩ = ⟨ U^{*} Λ U x, x ⟩ = ⟨ Λ U x, U x ⟩$
で， $U$ がユニタリ行列であることから
$sup {| ⟨ A x, x ⟩ |; | | x | | = 1} = sup {| ⟨ Λ x, x ⟩ |; | | x | | = 1} \leq ρ (A)$
最後の不等式は $⟨ Λ x, x ⟩ = λ_{1} x_{1}^{2} + λ_{2} x_{2}^{2} + \dots + λ_{n} x_{n}^{2}$ で， $x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = 1$ であることから導かれる．
よって $ρ (A) \leq w (A)$ と合わせて $ρ (A) = w (A)$ が分かる．

解答

$| | X (s) | |^{2} =^{t} X (s) X (s)$ を考える．微分すると，
$\frac{d | | X | |^{2}}{d s} = ⟨ (^{t} Φ + Φ) X, X ⟩ = | λ (s) | | | X | |^{2}$
である（最大固有値という言葉を絶対値が最大の固有値と解釈した）．よってこの微分方程式を解くと，
$| | X (s) | |^{2} = | | X (0) | |^{2} \exp (\int_{0}^{s} | λ (t) | d t)$
が分かるので，問題の条件から $X (t) (t \geq 0)$ は有界．