Cullis行列式(1) 定義
Cullis行列式というものを紹介したいと思います.
Cullis行列式とは, 行列式の定義を正方行列以外にも拡張したものです. 以下が具体例になります.
$$\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}=2$$
$$\det_{3,2}\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}=0$$
本記事では, Cullis行列式の定義を複数挙げ, それらが同値な定義であることを示します.
$\mathbb{C}$係数の$n\times k$行列全体の集合を$M_{n,k}(\mathbb{C})$と書く.
$X$の随伴行列を$X^*$で表す.
$\bm{e}_i$は基本ベクトルを表す.
正の整数$n$に対し, $I_n\coloneqq\{1,2,\ldots,n\}$.
$k\leq n$をみたす正の整数$k,n$に対し, $\mathscr{C}_k^n\coloneqq\{c\subset I_n\mid\#c=k\}$.
$k\leq n$をみたす正の整数$k,n$に対し, $S_k^n\coloneqq\{\sigma\mid\sigma:I_k\to I_n,\text{単射}\}$.
$c\in\mathscr{C}_k^n$に対し, $c$の元を小さい順に$i_1,\ldots,i_k$としたとき, $\sgn(c)\coloneqq(-1)^{\sum_{j=1}^k(i_j-j)}$.
$\sigma\in S_k^n$に対し, $c$を$\sigma$による$I_k$の像とし, $c$の元を小さい順に$i_1,\ldots,i_k$としたとき, $\sgn(\sigma)\coloneqq\sgn(c)\sgn\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(k)\end{pmatrix}$.
$c\in\mathscr{C}_k^n$に対し, $\bm{p}_i=\begin{cases}\bm{e}_i&i\in c,\\0&i\notin c\end{cases}$と定め, $P_c^n\coloneqq\begin{pmatrix}\bm{p}_1\cdots\bm{p}_n\end{pmatrix}\in M_{n}(\mathbb{R})$.
$c\in\mathscr{C}_k^n$に対し, $c$の元を小さい順に$i_1,\ldots,i_k$としたとき, $E_c^n\coloneqq\begin{pmatrix}\mathbf{e}_{i_1}\cdots\mathbf{e}_{i_k}\end{pmatrix}\in M_{n,k}(\mathbb{R})$.
Cullis行列式の定義
$n\geq k$をみたす正の整数$k,n$に対して
$\det_{n,k}:M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$を以下のように定める.
定義2-I
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\in M_{n,1}(\mathbb{C})$に対し, $\det_{n,1}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\coloneqq\ds\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}a_i.$
$n\geq k\geq 2$のとき, $X\in M_{n,k}(\mathbb{C})$に対し, $$\det_{n,k}(X)\coloneqq\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_{i,1}\det_{n-1,k-1}((E_{I_n\setminus\{i\}}^n)^*XE_{I_k\setminus\{1\}}^k).$$
定義2-II
$$\det_{n,k}(X)
\coloneqq\sum_{c\in\mathscr{C}_k^n}\sgn(c)\det_k((E_c^n)^*X).$$
定義2-III
$$\det_{n,k}(X)
\coloneqq\sum_{\sigma\in S_{k}^n}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}.$$
定義2-IV
$D_{n,k}:\underbrace{\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\times\cdots\times\mathbb{C}^n}_{k}\to\mathbb{C}$を交代多重線型形式とし, $\sigma\in S_k^n$に対して規格条件$D_{n,k}(\bm{e}_{\sigma(1)},\bm{e}_{\sigma(2)},\ldots,\bm{e}_{\sigma(k)})=\sgn(\sigma)$が成り立つとする.
このような$D_{n,k}:\underbrace{\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\times\cdots\times\mathbb{C}^n}_{k}\to\mathbb{C}$は一意に定まるのでこれを$M_{n,k}(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$とみなしたものを$ \det_{n,k}$とする.
計算例
例1
冒頭にも挙げた$$\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
を計算してみます.
定義2-Iに従うと,
$$\begin{aligned}\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}
&=1\cdot\det_{3,1}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+1\cdot\det_{3,1}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\\
&=(1-0+1)+(0-1+1)\\
&=2\end{aligned}$$
となります.
例2
$$\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\\x&y\\x^2&y^2\end{pmatrix}$$
を計算します.
定義2-Iに従うと,
$$\begin{aligned}
\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\\x&y\\x^2&y^2\end{pmatrix}
&=\det_{3,1}\begin{pmatrix}y\\y\\y^2\end{pmatrix}
-x\det_{3,1}\begin{pmatrix}1\\y\\y^2\end{pmatrix}
+x\det_{3,1}\begin{pmatrix}1\\y\\y^2\end{pmatrix}
-x^2\det_{3,1}\begin{pmatrix}1\\y\\y\end{pmatrix}\\
&=(y-y+y^2)-x(1-y+y^2)+x(1-y+y^2)-x^2(1-y+y)\\
&=y^2-x^2
\end{aligned}$$
となります.
定義2-IIに従うと,
$$\begin{aligned}
\det_{4,2}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\\x&y\\x^2&y^2\end{pmatrix}
&=\det_{2}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}
-\det_{2}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}
+\det_{2}\begin{pmatrix}1&1\\x^2&y^2\end{pmatrix}
+\det_{2}\begin{pmatrix}x&y\\x&y\end{pmatrix}
-\det_{2}\begin{pmatrix}x&y\\x^2&y^2\end{pmatrix}
+\det_{2}\begin{pmatrix}x&y\\x^2&y^2\end{pmatrix}\\
&=\det_{2}\begin{pmatrix}1&1\\x^2&y^2\end{pmatrix}\\
&=y^2-x^2
\end{aligned}$$
となります.
同値な定義であることの証明
I$\Leftrightarrow$III
$k$に関する帰納法で示す.
$k=1$のときは, $\sigma:1\mapsto i$に対して$\sgn(\sigma)=(-1)^{i-1}$なので正しい.
$k\geq 2$のときを考える.
$\sigma\in S_k^n$とする.
$f_i:I_n\setminus\{i\}\to I_{n-1}$を順序を保つ全単射として定め, $\sigma^\prime:I_{k-1}\stackrel{+1}{\to} I_k\setminus\{1\}\stackrel{\sigma}{\to}I_n\setminus\{\sigma(1)\}\stackrel{f_{\sigma(1)}}{\to}I_{n-1}$
と定める.
このとき, $\sigma^\prime(j)=f_{\sigma(1)}(\sigma(j+1))=\begin{cases}\sigma(j+1)&(\sigma(j+1)<\sigma(1))\\\sigma(j+1)-1&(\sigma(j+1)>\sigma(1))\end{cases}$であり, 各$i$に対して, この対応により, $\sigma\in S_k^n$であって$\sigma(1)=i$であるものと$\sigma^\prime\in S_{k-1}^{n-1}$は一対一に対応する.
また, このとき, $\sigma(2),\ldots,\sigma(k)$の中で$\sigma(1)$より小さいものが$l$個であるとすると,
$\sgn(\sigma(I_k))=(-1)^{\sigma(1)-k+k-l-1}\sgn(\sigma^\prime(I_{k-1}))$
$\sgn\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(k)\end{pmatrix}=(-1)^l\sgn\begin{pmatrix}i_1&\cdots&i_k-1\\\sigma^\prime(1)&\cdots&\sigma^\prime(k-1)\end{pmatrix}$
であるため$\sgn(\sigma)=(-1)^{\sigma(1)-1}\sgn(\sigma^\prime)$が成り立つ.
したがって,
\begin{aligned}
\sum_{\sigma\in S_{k}^n}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}
&=\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{\sigma\in S_{k}^n\\\sigma(1)=i}}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{\sigma\in S_{k}^n\\\sigma(1)=i}}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{\sigma^\prime\in S_{k-1}^{n-1}}(-1)^{i-1}\sgn(\sigma^\prime)x_{i,1}x_{{f_i}^{-1}(\sigma^\prime(1)),2}\cdots x_{{f_i}^{-1}(\sigma^\prime(k-1)),k}\\
&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_{i,1}\det_{n-1,k-1}((E_{I_n\setminus\{i\}}^n)^*XE_{I_k\setminus\{1\}}^k)
\end{aligned}
となり, $k-1$のとき正しければ$k$のときも正しい.
II$\Leftrightarrow$III
$\sigma\in S_k^n$に対し, $c$を$\sigma$による$I_k$の像とし, $c$の元を小さい順に$i_1,\ldots,i_k$としたとき, $\sgn(\sigma)$の定義から$\sgn(\sigma)=\sgn(c)\sgn\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(k)\end{pmatrix}$
である.
また, $S_c$を全単射$c\to c$全体の集合とすると, 各$\sigma\in S_k^n$に対し, $\sigma^\prime\in S_c$が存在して$\sigma(j)=\sigma^\prime(i_j)$が成り立つ.
また, この対応によって, $\sigma\in S_k^n$であって$\sigma(I_k)=c$であるものと$\sigma^\prime\in S_c$は一対一に対応する.
したがって,
\begin{aligned}
\sum_{\sigma\in S_{k}^n}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}
&=\sum_{\sigma\in S_{k}^n}\sgn(c)\sgn\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(k)\end{pmatrix}x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}\\
&=\sum_{c\in \mathscr{C}_{k}^n}\sgn(c)\sum_{\sigma^\prime\in S_c}
\sgn\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\\sigma^\prime(i_1)&\sigma^\prime(i_2)&\cdots&\sigma^\prime(i_k)\end{pmatrix}$x_{\sigma^\prime(i_1),1}x_{\sigma^\prime(i_2),2}\cdots x_{\sigma^\prime(i_k),k}\\
&=\sum_{c\in\mathscr{C}_k^n}\sgn(c)\det_k((E_c^n)^*X)
\end{aligned}
となる.
III$\Leftrightarrow$IV
IIIを用いて$D_{n,k}:(\mathbb{C}^n)^k\to\mathbb{C}$を定めると, $D_{n,k}$は交代線型形式である.
また, $D_{n,k}(\bm{e}_{\sigma(1)},\bm{e}_{\sigma(2)},\ldots,\bm{e}_{\sigma(k)})=\sgn(\sigma)$は明らかに成り立つ.
逆に, IVの条件をみたすとき,
$D_{n,k}$が線型形式であることから
$$D_{n,k}(X)=\sum_{i_1,\ldots,i_k=1}^na_{i_1,\ldots,i_k}x_{i_1,1}\cdots x_{i_k,k}$$
と書ける.
$D_{n,k}$の交代性から$i_1,\ldots,i_k$の中に等しいものがあるときは$a_{i_1,\ldots,i_k}=0$である.
規格条件から,
$$D_{n,k}(X)=\sum_{\sigma\in S_{k}^n}\sgn(\sigma)x_{\sigma(1),1}x_{\sigma(2),2}\cdots x_{\sigma(k),k}$$
が得られる.
