Cullis行列式(1) 定義

I$\iff$III

$k$に関する帰納法で示す.
$k=1$のときは, $\sigma :1\mapsto i$に対して$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{i-1}$なので正しい.

$k\ge 2$のときを考える.
$\sigma \in S_k^n$とする.
$f_i:I_n\setminus \{i\}\to I_{n-1}$を順序を保つ全単射として定め, ${\sigma }^{\prime }:I_{k-1}\stackrel{+1}{\to }{I}_k\setminus \{1\}\stackrel{\sigma }{\to }{I}_n\setminus \{\sigma (1)\}\stackrel{f_{\sigma (1)}}{\to }{I}_{n-1}$
と定める.
このとき, ${\sigma }^{\prime }(j)=f_{\sigma (1)}(\sigma (j+1))=\{\begin{array}{ll}\sigma (j+1)& (\sigma (j+1)<\sigma (1))\\ \sigma (j+1)-1& (\sigma (j+1)>\sigma (1))\end{array}$であり, 各$i$に対して, この対応により, $\sigma \in S_k^n$であって$\sigma (1)=i$であるものと${\sigma }^{\prime }\in S_{k-1}^{n-1}$は一対一に対応する.
また, このとき, $\sigma (2),\dots ,\sigma (k)$の中で$\sigma (1)$より小さいものが$l$個であるとすると,
$\mathrm{sgn}(\sigma (I_k))=(-1{)}^{\sigma (1)-k+k-l-1}\mathrm{sgn}({\sigma }^{\prime }(I_{k-1}))$
$\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (k)\end{array}\right)=(-1{)}^l\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{ccc}{i}_1& \cdots & i_k-1\\ {\sigma }^{\prime }(1)& \cdots & {\sigma }^{\prime }(k-1)\end{array}\right)$
であるため$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{\sigma (1)-1}\mathrm{sgn}({\sigma }^{\prime })$が成り立つ.

したがって,
$$\begin{array}{rl}\sum _{\sigma \in S_k^n}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}& =\sum _{i=1}^n\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in S_k^n\\ \sigma (1)=i\end{array}}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in S_k^n\\ \sigma (1)=i\end{array}}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{{\sigma }^{\prime }\in S_{k-1}^{n-1}}(-1{)}^{i-1}\mathrm{sgn}({\sigma }^{\prime })x_{i,1}{x}_{{f_i}^{-1}({\sigma }^{\prime }(1)),2}\cdots x_{{f_i}^{-1}({\sigma }^{\prime }(k-1)),k}\\ & =\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{x}_{i,1}{\det }_{n-1,k-1}((E_{I_n\setminus \{i\}}^n{)}^{\ast }X{E}_{I_k\setminus \{1\}}^k)\end{array}$$
となり, $k-1$のとき正しければ$k$のときも正しい.

II$\iff$III

$\sigma \in S_k^n$に対し, $c$を$\sigma$による$I_k$の像とし, $c$の元を小さい順に$i_1,\dots ,i_k$としたとき, $\mathrm{sgn}(\sigma )$の定義から$\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}(c)\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (k)\end{array}\right)$
である.
また, $S_c$を全単射$c\to c$全体の集合とすると, 各$\sigma \in S_k^n$に対し, ${\sigma }^{\prime }\in S_c$が存在して$\sigma (j)={\sigma }^{\prime }(i_j)$が成り立つ.
また, この対応によって, $\sigma \in S_k^n$であって$\sigma (I_k)=c$であるものと${\sigma }^{\prime }\in S_c$は一対一に対応する.

したがって,
$$\begin{array}{rl}\sum _{\sigma \in S_k^n}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}& =\sum _{\sigma \in S_k^n}\mathrm{sgn}(c)\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (k)\end{array}\right)x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}\\ & =\sum _{c\in {\mathcal{C}}_k^n}\mathrm{sgn}(c)\sum _{{\sigma }^{\prime }\in S_c}\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ {\sigma }^{\prime }(i_1)& {\sigma }^{\prime }(i_2)& \cdots & {\sigma }^{\prime }(i_k)\end{array}\right)\$x_{{\sigma }^{\prime }(i_1),1}{x}_{{\sigma }^{\prime }(i_2),2}\cdots x_{{\sigma }^{\prime }(i_k),k}\\ & =\sum _{c\in {\mathcal{C}}_k^n}\mathrm{sgn}(c){\det }_k((E_c^n{)}^{\ast }X)\end{array}$$
となる.

III$\iff$IV

IIIを用いて$D_{n,k}:({\mathbb{C}}^n{)}^k\to \mathbb{C}$を定めると, $D_{n,k}$は交代線型形式である.
また, $D_{n,k}({\mathbf{e}}_{\sigma (1)},{\mathbf{e}}_{\sigma (2)},\dots ,{\mathbf{e}}_{\sigma (k)})=\mathrm{sgn}(\sigma )$は明らかに成り立つ.

逆に, IVの条件をみたすとき,
$D_{n,k}$が線型形式であることから
$$D_{n,k}(X)=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^n{a}_{i_1,\dots ,i_k}{x}_{i_1,1}\cdots x_{i_k,k}$$
と書ける.
$D_{n,k}$の交代性から$i_1,\dots ,i_k$の中に等しいものがあるときは$a_{i_1,\dots ,i_k}=0$である.
規格条件から,
$$D_{n,k}(X)=\sum _{\sigma \in S_k^n}\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1),1}{x}_{\sigma (2),2}\cdots x_{\sigma (k),k}$$
が得られる.