対称式の基本定理をガロア理論で証明する

Step 1. 有理対称式が基本対称式の有理式で表せること

$L := \Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$を有理関数体とし，$e_1,e_2,\cdots,e_n$を$x_1,x_2,\cdots,x_n$の基本対称式とする．$x_1,x_2,\cdots,x_n$の置換により$S_n \subset \Aut(L)$とみなす．固定体$L^{S_n}$は有理対称式全体からなる．$K := \Q(e_1,e_2,\cdots,e_n)$とする．$K$上の多項式
$$ f(T) = T^n - e_1 T^{n-1} + e_2 T^{n-2} - \cdots + (-1)^n e_n = \prod_{i=1}^n (T - x_i) \in K[T] $$
を考えると，$L$は$f$の最小分解体だから，$L/K$はガロア拡大である．また，$\sigma \in \Gal(L/K)$は$x_1,x_2,\cdots,x_n$の置換を引き起こすため，$\Gal(L/K) \subset S_n$であり，$K \supset L^{S_n}$である．したがって，任意の有理対称式$g$は$e_1,e_2,\cdots,e_n$の有理式として表せることが分かった．

Step 2. $e_1,e_2,\cdots,e_n$は代数的独立であること

超越次数に着目する．$L/K$は有限次拡大だから，
$$ \mathrm{tr.deg}_{\Q} K = \mathrm{tr.deg}_{\Q} L = n $$
である．もし$e_1,e_2,\cdots,e_n$に非自明な多項式関係があれば，ある$e_i$が$\Q(e_j | j \neq i)$上で代数的な元になるから，$\mathrm{tr.deg}_{\Q} K < n$となり矛盾する．よって，$e_1,e_2,\cdots,e_n$は代数的独立である．これより一意性も従う．

Step 3. 対称式が基本対称式の多項式で表せること

$$ A := \Q[e_1,e_2,\cdots,e_n],\quad B := \Q[x_1,x_2,\cdots,x_n] $$
とおく．$x_1,x_2,\cdots,x_n$は$A$上のモニック多項式$f(T) \in A[T]$の根だから，$B/A$は整拡大である．一方，$e_1,e_2,\cdots,e_n$は代数的独立であるから，$A$は多項式環なのでUFD(一意分解環)であり，特に整閉である．
以上より，任意の対称式$g$は$A$の分数体$K$の元であり，さらに$g \in B$より$A$上整である．$A$は整閉だから，$g \in A$である．よって$g$は基本対称式の多項式で表せる．