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計量テンソルの微分・変分公式

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はじめに

 場の理論では計量テンソル$g_{\mu\nu}$による微分・変分の計算が必要になることがある。例えば、エネルギー運動量テンソルは、

$$ T^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{\sqrt{g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} $$

と定義される(定数部分のとり方は色々ある。)

 本稿では、このような計算を行うための公式を整理することにしたい。

対称テンソルによる微分の定義

 場の変分も結局は(偏)微分の計算に帰着されるので、計量テンソルによる微分について考えていく。計量テンソルの対称性$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$を考慮して、定義するには少し工夫が必要である。

対称テンソルによる微分

対称テンソルの空間を$D=\{ (g_{\mu\nu})_{\mu,\nu=1,2,\cdots,n}:g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu} \in \mathbb R \}$とおく。また、$D$の開部分集合$D_f$上の関数$f:D_f \to \mathbb R$があるとする。

ここで、$g\in D_f, h\in D, \epsilon\in \mathbb R$に対して、$A\in D$が存在して、

$$ f(g+\epsilon h) = f(g) + \epsilon A^{\mu\nu}h_{\mu\nu} + O(\epsilon^2) $$

とできるとする(重複添字は和をとる。以下同じ。)。

このとき、対応$g\mapsto A$

$$ A^{\mu\nu} = \frac{\partial f(g)}{\partial g_{\mu\nu}} $$

とかく。

公式

 基本的な公式を3つあげておく。なお、以下では$g_{\mu\nu}$の逆行列を$g^{\mu\nu}$と表すことにする。

要素の微分

$f:g\mapsto g_{\rho\sigma}$に対して、$\frac{\partial f}{\partial g_{\mu\nu}}=\frac{1}{2}\delta^\mu_{\rho}\delta^\nu_{\sigma}+\frac{1}{2}\delta^\nu_{\rho}\delta^\mu_{\sigma}$となる。つまり、

$$ \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial g_{\mu\nu}}=\frac{1}{2}\delta^\mu_{\rho}\delta^\nu_{\sigma}+\frac{1}{2}\delta^\nu_{\rho}\delta^\mu_{\sigma} $$

逆行列の微分

$f:g\mapsto g^{\rho\sigma}$に対して、$\frac{\partial f}{\partial g_{\mu\nu}}=-\frac{1}{2}g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}-\frac{1}{2}g^{\rho\nu}g^{\sigma\mu}$となる。つまり、

$$ \frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial g_{\mu\nu}}=-\frac{1}{2}g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}-\frac{1}{2}g^{\rho\nu}g^{\sigma\mu} $$

行列式の微分

$f:g\mapsto \det(g)$に対して、$\frac{\partial f}{\partial g_{\mu\nu}}=\det(g)g^{\mu\nu}$となる。つまり、

$$ \frac{\partial \det(g)}{\partial g_{\mu\nu}}=\det(g)g^{\mu\nu} $$

(概略)
[公式1]

$$ f(g+\epsilon h) = g_{\rho\sigma}+\epsilon h_{\rho\sigma}= g_{\rho\sigma}+\epsilon \delta_{\rho}^\mu \delta_\sigma^\nu h_{\mu\nu}= g_{\rho\sigma}+\frac{1}{2}\epsilon( \delta_{\rho}^\mu \delta_\sigma^\nu + \delta_{\rho}^\nu \delta_\sigma^\mu )h_{\mu\nu} $$

より明らか。

[公式2]

$$ (g+\epsilon h)^{-1} = (1+\epsilon g^{-1}h)^{-1}g^{-1}=g^{-1}-\epsilon g^{-1}h g^{-1} + O(\epsilon^2) $$

を整理すればわかる。二つ目の等号は、Neumann級数展開である。

[公式3]

$$ \begin{align} \det(g+\epsilon h) &= \det(g)\det(1+\epsilon g^{-1}h)\\ &=\det(g)\det(e^{\epsilon g^{-1}h}) + O(\epsilon^2)\\ &=\det(g)e^{\mathrm{tr} (\epsilon g^{-1}h)} + O(\epsilon^2)\\ &=\det(g)+\epsilon \det(g) \mathrm{tr} (g^{-1}h) + O(\epsilon^2)\\ \end{align} $$

よりわかる。

投稿日:2023521

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投稿者

yuska
7
1989

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