大学数学基礎解説

計量テンソルの微分・変分公式

微分,計量テンソル,場の理論

1013

はじめに

　場の理論では計量テンソル $g_{μ ν}$ による微分・変分の計算が必要になることがある。例えば、エネルギー運動量テンソルは、

$T^{μ ν} = \frac{4 π}{\sqrt{g}} \frac{δ S}{δ g_{μ ν}}$

と定義される（定数部分のとり方は色々ある。）

　本稿では、このような計算を行うための公式を整理することにしたい。

対称テンソルによる微分の定義

　場の変分も結局は（偏）微分の計算に帰着されるので、計量テンソルによる微分について考えていく。計量テンソルの対称性 $g_{μ ν} = g_{ν μ}$ を考慮して、定義するには少し工夫が必要である。

対称テンソルによる微分

対称テンソルの空間を $D = {(g_{μ ν})_{μ, ν = 1, 2, \dots, n} : g_{μ ν} = g_{ν μ} \in R}$ とおく。また、 $D$ の開部分集合 $D_{f}$ 上の関数 $f : D_{f} \to R$ があるとする。

ここで、 $g \in D_{f}, h \in D, ϵ \in R$ に対して、 $A \in D$ が存在して、

$f (g + ϵ h) = f (g) + ϵ A^{μ ν} h_{μ ν} + O (ϵ^{2})$

とできるとする(重複添字は和をとる。以下同じ。)。

このとき、対応 $g \mapsto A$ を

$A^{μ ν} = \frac{\partial f (g)}{\partial g_{μ ν}}$

とかく。

公式

　基本的な公式を３つあげておく。なお、以下では $g_{μ ν}$ の逆行列を $g^{μ ν}$ と表すことにする。

要素の微分

$f : g \mapsto g_{ρ σ}$ に対して、 $\frac{\partial f}{\partial g_{μ ν}} = \frac{1}{2} δ_{ρ}^{μ} δ_{σ}^{ν} + \frac{1}{2} δ_{ρ}^{ν} δ_{σ}^{μ}$ となる。つまり、

$\frac{\partial g_{ρ σ}}{\partial g_{μ ν}} = \frac{1}{2} δ_{ρ}^{μ} δ_{σ}^{ν} + \frac{1}{2} δ_{ρ}^{ν} δ_{σ}^{μ}$

逆行列の微分

$f : g \mapsto g^{ρ σ}$ に対して、 $\frac{\partial f}{\partial g_{μ ν}} = - \frac{1}{2} g^{ρ μ} g^{σ ν} - \frac{1}{2} g^{ρ ν} g^{σ μ}$ となる。つまり、

$\frac{\partial g^{ρ σ}}{\partial g_{μ ν}} = - \frac{1}{2} g^{ρ μ} g^{σ ν} - \frac{1}{2} g^{ρ ν} g^{σ μ}$

行列式の微分

$f : g \mapsto \det (g)$ に対して、 $\frac{\partial f}{\partial g_{μ ν}} = \det (g) g^{μ ν}$ となる。つまり、

$\frac{\partial \det (g)}{\partial g_{μ ν}} = \det (g) g^{μ ν}$

（概略）

[公式1]

$f (g + ϵ h) = g_{ρ σ} + ϵ h_{ρ σ} = g_{ρ σ} + ϵ δ_{ρ}^{μ} δ_{σ}^{ν} h_{μ ν} = g_{ρ σ} + \frac{1}{2} ϵ (δ_{ρ}^{μ} δ_{σ}^{ν} + δ_{ρ}^{ν} δ_{σ}^{μ}) h_{μ ν}$

より明らか。

[公式2]

$(g + ϵ h)^{- 1} = (1 + ϵ g^{- 1} h)^{- 1} g^{- 1} = g^{- 1} - ϵ g^{- 1} h g^{- 1} + O (ϵ^{2})$

を整理すればわかる。二つ目の等号は、Neumann級数展開である。

[公式3]

$\begin{aligned} \det (g + ϵ h) & = \det (g) \det (1 + ϵ g^{- 1} h) \\ = \det (g) \det (e^{ϵ g^{- 1} h}) + O (ϵ^{2}) \\ = \det (g) e^{tr (ϵ g^{- 1} h)} + O (ϵ^{2}) \\ = \det (g) + ϵ \det (g) tr (g^{- 1} h) + O (ϵ^{2}) \end{aligned}$

よりわかる。

投稿日：2023年5月21日

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