極限の扱いには気を付けましょう.
以下,2変数数列は
2変数数列
を満たすとき,
このことを,
と表す.
同時収束は一般的な用語ではなく,この記事独自の用語です(たぶん).
同時収束する2変数数列の例を1つ見てみましょう.
で定める.このとき,
なぜならば,
が成立するからである.
片方の添え字について極限を飛ばしてからも片方の添え字について極限を飛ばす,という極限の取り方も考えられます.
ただし,この極限はあまり良い性質を持っていません.
以下では
まず,収束するかどうかは極限をとる順番によります.
で定める.すると,
が成立する一方で,
は収束しない.
さらに,両方の順番で収束したとしても,その極限が一致するとは限りません.
で定める.すると,
である.
結論から述べてしまうと,これらの収束は特に関係ありません.
すなわち,どちらかの収束が強いということはありません.
で定める.
が成立するので,
一方,各
で定める.ただし
このとき,
が成立する.しかし,
となるので,
なお,「
極限の扱いには気を付けましょう.
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