大学数学基礎解説

交代群が有限生成であること(とくに、2か3元生成である)

群論,巡回置換,対称群

群論の演習問題を解いていたときにふと考えたことを書いていきます。

以下はよく知られている命題です。

$S_{n}$ を $n (\geq 2)$ 次の対称群とする. このとき，次が成り立つ.

$S_{n} = ⟨ (1 2) ， (2 3) ， \dots ， (n - 1 n) ⟩$
$S_{n} = ⟨ (1 2) ， (1 2 \dots n) ⟩$

赤雪江や代数演習(サイエンス社)には演習問題として載っていました。今回は証明を略します。
今回はこの命題の"交代群版"を示したいと思います。

$A_{n}$ を $n (\geq 3)$ 次の交代群とする. このとき，次が成り立つ.

$A_{n} = ⟨ (1 2 3) ， (2 3 4) ， \dots ， (n - 2 n - 1 n) ⟩$

$T = ⟨ (1 2 3) ， (2 3 4) ， \dots ， (n - 2 n - 1 n) ⟩$ とおく.
$T \subset A_{n}$ であり，あとは $T \supset A_{n}$ を示せばよい.
$T$ が任意の2つの互換の積、すなわち $(i i + k) (j j + l)$ の形の置換を全て含むことを示す.
$k$ と $l$ に関する二重帰納法で示す.
まず， $k = l = 1$ のときは $i < j$ の場合

$\begin{aligned} (i i + 1) (j j + 1) & = (i i + 1) (i + 1 i + 2) (i + 1 i + 2) \dots (j - 1 j) (j - 1 j) (j j + 1) \\ = (i i + 1 i + 2) \dots (j - 1 j j + 1) \in T \end{aligned}$

となる. また $i > j$ の場合も同様にでき， $i = j$ のときは $(i i + 1) (j j + 1) = e$ (単位元)となるのでよい.

次に $l$ を固定し， $k$ まで正しかったとする. このとき

$\begin{aligned} (i i + k + 1) (j j + l) & = (i i + k) (i + k i + k + 1) (i i + k) (j j + l) \\ = (i i + k i + k + 1) (i i + k) (j j + l) \end{aligned}$

であり，帰納法の仮定より $(i i + k) (j j + l) \in T$ . また，

$(i i + k i + k + 1) = {\begin{aligned} (i i + 1 i + 2) & (k = 1) \\ (i + k - 1 i + k i + k + 1) (i i + k - 1 i + k) (i + k - 1 i + k i + k + 1)^{- 1} & (k \geq 2) \end{aligned}$

であるから，帰納的に $(i i + k i + k + 1) \in T$ . したがって， $(i i + k + 1) (j j + l) \in T$ である.

一方 $k$ を固定し， $l$ まで正しかったとしたときも，同様の変形を使って $(i i + k) (j j + l + 1) \in T$ がわかる.

以上によって， $T$ は $(i i + k) (j j + l)$ の形の置換をすべて含む. つまり， $T$ は $S_{n}$ の偶置換をすべて含む.
$T \supset A_{n}$ が示されたので， $T = A_{n}$ であった.

$Q . E . D .$

この命題を用いて、次を示します.

$A_{n}$ を $n$ 次の交代群とする. $k \geq 2$ とするとき，次が成り立つ.

$A_{2 k - 1} = ⟨ (1 2 3) ， (1 2 \dots 2 k - 1) ⟩$
$A_{2 k} = ⟨ (1 2 3) ， (1 2 2 k) ， (2 3 \dots 2 k) ⟩$

(1)の証明
$U = ⟨ (1 2 3) ， (1 2 \dots 2 k - 1) ⟩$ とおき， $A_{2 k - 1} = U$ を示す.
$(1 2 3) ， (1 2 \dots 2 k - 1)$ は偶置換なので， $U \subset A_{2 k - 1}$ である.
次に， $U \supset A_{2 k - 1}$ を示す.
命題2によって， $(1 2 3) ， (2 3 4) ， \dots ， (2 k - 3 2 k - 2 2 k - 1)$ が $U$ に入ることを言えばよい.

$k = 2$ のときは $A_{3} = ⟨ (1 2 3) ⟩ = U$ である.
また $k \geq 3$ で $σ = (1 2 \dots 2 k - 1)$ と置いたとき，

$σ^{i} (1 2 3) σ^{- i} = (σ^{i} (1) σ^{i} (2) σ^{i} (3)) = (1 + i 2 + i 3 + i) (1 \leq i \leq 2 k - 4)$

となる. したがって， $(1 2 3) ， (2 3 4) ， \dots ， (2 k - 3 2 k - 2 2 k - 1) \in U$ がわかる.
ゆえに $U \supset A_{2 k - 1}$ . 逆の包含と合わせて， $A_{2 k - 1} = U$ を得る.

(2)の証明
(1)と同じことをする.
$U = ⟨ (1 2 3) ， (1 2 2 k) ， (2 3 \dots 2 k) ⟩$ とおき， $A_{2 k} = U$ を示す.
まず， $U$ の生成元は偶置換なので $U \subset A_{2 k}$ である.
次に， $U \supset A_{2 k}$ を示す.
命題2によって， $(1 2 3) ， (2 3 4) ， \dots ， (2 k - 2 2 k - 1 2 k)$ が $U$ に入ることを言えばよい.
$σ = (2 3 \dots 2 k) ， τ = (1 2 2 k)$ と置くと，

$k = 2$ のとき
$σ = (2 3 4)$ で，すでに $(1 2 3) ， (2 3 4) \in U$

$k \geq 3$ のとき
$τ σ (1 2 3) σ^{- 1} τ^{- 1} = τ (1 3 4) τ^{- 1} = (2 3 4)$
さらに
$σ^{i} (2 3 4) σ^{- i} = (σ^{i} (2) σ^{i} (3) σ^{i} (4)) = (2 + i 3 + i 4 + i) (1 \leq i \leq 2 k - 4)$