交代群が有限生成であること(とくに、2か3元生成である)

$T = \langle \, (1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4)，\cdots ，(n-2 \,\,\, n-1 \,\,\, n) \, \rangle$とおく.
$T \subset A_n$であり，あとは$T \supset A_n$を示せばよい.
$T$が任意の2つの互換の積、すなわち$(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l)$の形の置換を全て含むことを示す.
$k$と$l$に関する二重帰納法で示す.
まず，$k = l = 1$のときは$i < j$の場合

$\begin{align*} (i \,\,\, i+1)(j \,\,\, j+1) &= (i \,\,\, i+1)(i+1 \,\,\, i+2)(i+1 \,\,\, i+2) \cdots (j-1 \,\,\, j)(j-1 \,\,\, j) (j \,\,\, j+1) \\ &= (i \,\,\, i+1 \,\,\, i+2) \cdots (j-1 \,\,\, j \,\,\, j+1) \in T \end{align*}$

となる. また$ $$i > j$の場合も同様にでき，$i = j$のときは$ (i \,\,\, i+1)(j \,\,\, j+1) = e \,\,$(単位元)となるのでよい.

次に$l$を固定し，$k$まで正しかったとする. このとき

$\begin{align*} (i \,\,\, i+k+1)(j \,\,\, j+l) &= (i \,\,\, i+k)(i+k \,\,\, i+k+1)(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l)\\ &= (i \,\,\, i+k\,\,\, i+k+1)(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l) \end{align*}$

であり，帰納法の仮定より$(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l) \in T$. また，

$(i \,\,\, i+k\,\,\, i+k+1) = \left\{ \begin{align*} &(i \,\,\, i+1\,\,\, i+2) \quad & (k=1)\\ &(i+k-1 \,\,\, i+k\,\,\, i+k+1)(i \,\,\, i+k-1\,\,\, i+k)(i+k-1 \,\,\, i+k\,\,\, i+k+1)^{-1} \quad & (k \geq 2) \end{align*}\right.$

であるから，帰納的に$(i \,\,\, i+k\,\,\, i+k+1) \in T$. したがって，$(i \,\,\, i+k+1)(j \,\,\, j+l) \in T$である.

一方$k$を固定し，$l$まで正しかったとしたときも，同様の変形を使って$(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l+1) \in T$がわかる.

以上によって，$T$は$(i \,\,\, i+k)(j \,\,\, j+l)$の形の置換をすべて含む. つまり，$T$は$S_n$の偶置換をすべて含む.
$T \supset A_n$が示されたので，$T = A_n$であった.

$Q.E.D.$

(1)の証明
$U = \langle \, (1 \ 2 \ 3)，(1 \ 2 \ \cdots \ 2k-1) \, \rangle$とおき，$A_{2k-1} = U$を示す.
$(1 \ 2 \ 3)，(1 \ 2 \ \cdots \ 2k-1)$は偶置換なので，$U \subset A_{2k-1}$である.
次に，$U \supset A_{2k-1}$を示す.
命題2によって，$(1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4)，\cdots ，(2k-3 \,\,\, 2k-2 \,\,\, 2k-1)$が$U$に入ることを言えばよい.

$k = 2$のときは$A_3 = \langle \, (1 \ 2 \ 3) \, \rangle = U$である.
また$k \geq 3$で$\sigma = (1 \ 2 \ \cdots \ 2k-1)$と置いたとき，

$\sigma^i (1 \ 2 \ 3) \sigma^{-i} = (\sigma^i(1) \ \sigma^i(2) \ \sigma^i(3)) = (1+i \,\,\, 2+i \,\,\, 3+i) \qquad (1 \leq i \leq 2k-4)$

となる. したがって，$(1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4)，\cdots ，(2k-3 \,\,\, 2k-2 \,\,\, 2k-1) \in U$がわかる.
ゆえに$U \supset A_{2k-1}$. 逆の包含と合わせて，$A_{2k-1} = U$を得る.

(2)の証明
(1)と同じことをする.
$U = \langle \, (1 \ 2 \ 3)，(1 \,\,\, 2 \,\,\, 2k)，(2 \ 3 \ \cdots \ 2k) \, \rangle$とおき，$A_{2k} = U$を示す.
まず，$U$の生成元は偶置換なので$U \subset A_{2k}$である.
次に，$U \supset A_{2k}$を示す.
命題2によって，$(1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4)，\cdots ，(2k-2 \,\,\, 2k-1 \,\,\, 2k)$が$U$に入ることを言えばよい.
$\sigma = (2 \ 3 \ \cdots \ 2k)，\tau = (1 \,\,\, 2 \,\,\, 2k)$と置くと，

$k = 2$のとき
$\sigma = (2 \ 3 \ 4)$で，すでに$(1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4) \in U$

$k \geq 3$のとき
$\tau \sigma (1 \ 2 \ 3) \sigma^{-1} \tau^{-1} = \tau (1 \ 3 \ 4) \tau^{-1} = (2 \ 3 \ 4)$
さらに
$\sigma^i (2 \ 3 \ 4) \sigma^{-i} = (\sigma^i(2) \ \sigma^i(3) \ \sigma^i(4)) = (2+i \,\,\, 3+i \,\,\, 4+i) \qquad (1 \leq i \leq 2k-4)$

となるのでこの場合も$(1 \ 2 \ 3)，(2 \ 3 \ 4)，\cdots ，(2k-2 \,\,\, 2k-1 \,\,\, 2k) \in U$.
ゆえに$U \supset A_{2k}$. 逆の包含と合わせて，$A_{2k} = U$を得る.

$Q.E.D.$