ガウスの補題：原始多項式どうしの積もまた原始多項式
今回は
$f(x), g(x)\in{\mathbb{Z}[x]}$がともに原始多項式でならば, $f(x)g(x)$も原始多項式である。
を証明します。
準備
$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$が原始多項式であるとは, $f(x)$のどの係数も割り切る素数が存在しないことである。
$x^{2}+4x+3, 4x^{3}+7x^{2}+11x+9$は原始多項式である。一方, $2x^{2}+4x+6, 3x^{3}+6x^{2}+12x+6$は原始多項式でない。
$R, R^{\prime}$を環とする。写像$f:R\to{R^{\prime}}$が
\begin{align*}
f(1_{R})=1_{R^{\prime}}
\end{align*}
かつ, 任意の$x, y\in{R}$に対し
\begin{align*}
f(x+y)=f(x)+f(y)
\end{align*}
かつ
\begin{align*}
f(xy)=f(x)f(y)
\end{align*}
を満たすとき,$f$は環の準同型写像であるという。
この記事では, 環$A$に対しその乗法単位元を$1_{A}$と書き, 加法単位元は$0_{A}$と書くことにします。
$\sigma:R\to{R^{\prime}}$を環の準同型写像とする。
\begin{align*}
R[x]\ni{f(x):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}
\end{align*}
に対して
\begin{align*}
R^{\prime}[x]\ni{\sigma^{\ast}{f(x)}:=\sum_{i=0}^{n}\sigma(a_{i})x^{i}}
\end{align*}
により定義される写像$\sigma^{\ast}:R[x]\to{R^{\prime}[x]}$は環の準同型写像である。
$\sigma$が環の準同型写像であることを利用するだけ。
\begin{align*} \sigma^{\ast}(1_{R[x]})=\sigma(1_{R})x^{0}=1_{R^{\prime}}x^{0}=1_{R^{\prime}[x]} \end{align*}
\begin{align*}
R[x]\ni{f(x):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}, g(x):=\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i}
\end{align*}
に対して
\begin{align*} \sigma^{\ast}(f(x)+g(x)) &=\sum_{i=0}^{n}\sigma(a_{i}+b_{i})x^{i}\\ &=\sum_{i=0}^{n}\sigma(a_{i})x^{i}+\sum_{i=0}^{n}\sigma(b_{i})x^{i}\\ &=\sigma^{\ast}(f(x))+\sigma^{\ast}(g(x)), \end{align*}
\begin{align*}
\sigma^{\ast}(f(x)g(x))&=\sum_{i+j=0}^{2n}\sigma(a_{i}b_{j})x^{i+j}\\
&=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\sigma(a_{i})\sigma(b_{j})x^{i+j}\\
&=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\sigma(a_{i})x^{i}\sigma(b_{j})x^{j}\\
&=\sum_{i=0}^{n}\sigma(a_{i})x^{i}\sum_{j=0}^{n}\sigma(b_{j})x^{j}\\
&=\sigma^{\ast}(f(x))\sigma^{\ast}(g(x))
\end{align*}
よって, $\sigma^{\ast}$は環の準同型写像である。
ガウスの補題の証明
$f(x), g(x)\in{\mathbb{Z}[x]}$がともに原始多項式でならば, $f(x)g(x)$も原始多項式である。
$f(x), g(x)\in\mathbb{Z}[x]$が原始多項式だが, $f(x)g(x)$は原始多項式でないとする。$f(x)g(x)$のどんな係数も割り切る素数$p$をとる。$\sigma:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{p}$を標準的な準同型写像
\begin{align*}
a\mapsto{\sigma(a)=a+(p)}
\end{align*}
で定める。そして,
\begin{align*}
\mathbb{Z}[x]\ni{f(x):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}
\end{align*}
に対して
\begin{align*}
\mathbb{Z}_{p}[x]\ni{\sigma^{\ast}({f(x))}:=\sum_{i=0}^{n}\sigma(a_{i})x^{i}}
\end{align*}
で定まる$\sigma^{\ast}:\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}_{p}[x]$を考える。命題2より$\sigma^{\ast}$は環の準同型写像である。すると, $p$は$f(x)g(x)$のどんな係数でも割り切るのだから$\sigma^{\ast}(f(x)g(x))=0_{\mathbb{Z}_{p}[x]}$である。ここで, $\sigma^{\ast}$は環の準同型写像であることに注意すれば, $\sigma^{\ast}(f(x)g(x))=\sigma^{\ast}(f(x))\sigma^{\ast}(g(x))$なので, $\sigma^{\ast}(f(x))\sigma^{\ast}(g(x))=0_{\mathbb{Z}_{p}[x]}$である。 一方, $f(x), g(x)$はともに原始多項式なので, $\sigma^{\ast}(f(x))\neq{0_{\mathbb{Z}_{p}[x]}}$かつ$\sigma^{\ast}(g(x))\neq{0_{\mathbb{Z}_{p}[x]}}, $つまり$\sigma^{\ast}(f(x))\sigma^{\ast}(g(x))\neq{0_{\mathbb{Z}_{p}[x]}}$である。$\mathbb{Z}_{p}[x]$が整域であることも鑑みれば, これらは矛盾である。
参考文献
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