ガウスの補題：原始多項式どうしの積もまた原始多項式

$$\begin{array}{r}{\sigma }^{\ast }(1_{R[x]})=\sigma (1_R)x^0=1_{R^{\prime }}{x}^0=1_{R^{\prime }[x]}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}R[x]\ni f(x):=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i,g(x):=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i\end{array}$$
に対して

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^{\ast }(f(x)+g(x))& =\sum _{i=0}^n\sigma (a_i+b_i)x^i\\ & =\sum _{i=0}^n\sigma (a_i)x^i+\sum _{i=0}^n\sigma (b_i)x^i\\ & ={\sigma }^{\ast }(f(x))+{\sigma }^{\ast }(g(x)),\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^{\ast }(f(x)g(x))& =\sum _{i+j=0}^{2n}\sigma (a_i{b}_j)x^{i+j}\\ & =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n\sigma (a_i)\sigma (b_j)x^{i+j}\\ & =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n\sigma (a_i)x^i\sigma (b_j)x^j\\ & =\sum _{i=0}^n\sigma (a_i)x^i\sum _{j=0}^n\sigma (b_j)x^j\\ & ={\sigma }^{\ast }(f(x)){\sigma }^{\ast }(g(x))\end{array}$$
よって, ${\sigma }^{\ast }$は環の準同型写像である。

$f(x),g(x)\in \mathbb{Z}[x]$が原始多項式だが, $f(x)g(x)$は原始多項式でないとする。$f(x)g(x)$のどんな係数も割り切る素数$p$をとる。$\sigma :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_p$を標準的な準同型写像
$$\begin{array}{r}a\mapsto \sigma (a)=a+(p)\end{array}$$
で定める。そして,
$$\begin{array}{r}\mathbb{Z}[x]\ni f(x):=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\end{array}$$
に対して
$$\begin{array}{r}{\mathbb{Z}}_p[x]\ni {\sigma }^{\ast }(f(x)):=\sum _{i=0}^n\sigma (a_i)x^i\end{array}$$
で定まる${\sigma }^{\ast }:\mathbb{Z}[x]\to {\mathbb{Z}}_p[x]$を考える。命題2より${\sigma }^{\ast }$は環の準同型写像である。すると, $p$は$f(x)g(x)$のどんな係数でも割り切るのだから${\sigma }^{\ast }(f(x)g(x))=0_{{\mathbb{Z}}_p[x]}$である。ここで, ${\sigma }^{\ast }$は環の準同型写像であることに注意すれば, ${\sigma }^{\ast }(f(x)g(x))={\sigma }^{\ast }(f(x)){\sigma }^{\ast }(g(x))$なので, ${\sigma }^{\ast }(f(x)){\sigma }^{\ast }(g(x))=0_{{\mathbb{Z}}_p[x]}$である。 一方, $f(x),g(x)$はともに原始多項式なので, ${\sigma }^{\ast }(f(x))\ne 0_{{\mathbb{Z}}_p[x]}$かつ${\sigma }^{\ast }(g(x))\ne 0_{{\mathbb{Z}}_p[x]},$つまり${\sigma }^{\ast }(f(x)){\sigma }^{\ast }(g(x))\ne 0_{{\mathbb{Z}}_p[x]}$である。${\mathbb{Z}}_p[x]$が整域であることも鑑みれば, これらは矛盾である。