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大学数学基礎解説
東大数理院試2006年度専門問2解答
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$$\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}}
\newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}}
$$
東大数理の院試（2006年度専門問2）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあり，代数の問題も数問解いてpdfにまとめてはあります．でもまだ公開するつもりはないので，ここで個別に書いておくことにします．
（東大数理2006年度専門問2）
体$K$上の$1$変数多項式環$K[X]$を考える．$K[X]$の部分環$R$が$K$を含むとき，$R$は$K[X]$の有限個の元 $f_1, f_2, \dots, f_n$によって$K$上生成される部分環であること，すなわち$R = K[f_1, f_2, \dots, f_n]$であることを示せ．
$K \subset R \subset K[X]$である．任意のmonicな$f \in R \setminus K$に対し，$f(T) - f(X) \in R[T]$はmonicで$T = X$を零点に持つから，$X$は$R$上整である．よって$K[X]$は$K$代数として有限生成かつ$R$上整である．$K$はNoether環なので，$R$も$K$代数として有限生成となる．
投稿日：2023年11月24日
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