東大数理院試2006年度専門問2解答

東大数理の院試（2006年度専門問2）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあり，代数の問題も数問解いてpdfにまとめてはあります．でもまだ公開するつもりはないので，ここで個別に書いておくことにします．

（東大数理2006年度専門問2）

体 $K$ 上の $1$ 変数多項式環 $K [X]$ を考える． $K [X]$ の部分環 $R$ が $K$ を含むとき， $R$ は $K [X]$ の有限個の元 $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ によって $K$ 上生成される部分環であること，すなわち $R = K [f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}]$ であることを示せ．

$K \subset R \subset K [X]$ である．任意のmonicな $f \in R ∖ K$ に対し， $f (T) - f (X) \in R [T]$ はmonicで $T = X$ を零点に持つから， $X$ は $R$ 上整である．よって $K [X]$ は $K$ 代数として有限生成かつ $R$ 上整である． $K$ はNoether環なので， $R$ も $K$ 代数として有限生成となる．

投稿日：2023年11月24日

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