Natural deduction system

$\{[p{]}_{(1)},q\}$
$⊢q$
${⊢}_{(1)}(p\to q)$

$\{p\to q,\mathrm{\neg }q\}$
$⊢\{p\to q,p\to \mathrm{\neg }q\}$
$⊢\mathrm{\neg }p$

$p\wedge \mathrm{\neg }p\to p,p\wedge \mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }p$
$⊢\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$

$\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$
$⊢\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p$(De Morgan's Law)
$⊢\mathrm{\neg }p\vee p$

$[p{]}_{(1)}$
$⊢p\vee q$
${⊢}_{(1)}p\to (p\vee q)$

$[q{]}_{(2)}$
$⊢p\vee q$
${⊢}_{(2)}q\to (p\vee q)$

$\{p\to (p\vee q),\mathrm{\neg }(p\vee q)\}⊢\mathrm{\neg }p$(Modus tollens)
$\{q\to (p\vee q),\mathrm{\neg }(p\vee q)\}⊢\mathrm{\neg }q$(Modus tollens)

$\mathrm{\neg }(p\vee q)⊢(\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$

$[p{]}_{(1)}$
$⊢q$
${⊢}_{(1)}p\to q$

$[p{]}_{(2)}$
$⊢\mathrm{\neg }q$
${⊢}_{(2)}p\to \mathrm{\neg }q$

$[p{]}_{(3)}$
${⊢}_{(3)}(p\to q)\wedge (p\to \mathrm{\neg }q)$
$⊢\mathrm{\neg }p$

$(\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)⊢\mathrm{\neg }p$

$\mathrm{\neg }p⊢(p\to r)$

$(\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)⊢\mathrm{\neg }q$

$\mathrm{\neg }q⊢(q\to r)$

$\{[p\vee q{]}_{(1)},(\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)\}$
$⊢\{(p\vee q),(p\to r),(q\to r)\}$
$⊢r$(arbitrary)
${⊢}_{(1)}\mathrm{\neg }(p\vee q)$