e^π-π≒20の証明に出てくる級数を一般化してみたを一般化してみた
おさらい
前回の記事、e^π-π≒20の証明に出てくる級数を一般化してみたでは、
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\qty(-\frac{64\pi^3}{15}n^6+16\pi^2n^4-2)=1$$
のような、1に収束する$e^{-\pi n^2}$×$(n\mathrm{の偶数次多項式})$という形の級数（を生み出す公式）を作りました。
ここで、次のように定義すると、
$$\varTheta_p^{-\infty}(f(n))=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-p\pi n^2}f(n)$$
$$\varTheta_p^1(f(n))=\sum_{n=1}^\infty e^{-p\pi n^2}f(n)$$
$$E_p=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-p\pi n^2},\space E=E_1$$
とくに、
$$\varTheta_p^{-\infty}(n^{2m+1})=0$$
$$\varTheta_p^{-\infty}(n^{2m})=2\varTheta_p^1(n^{2m})\space(m\geq1)$$
$$E_p=\varTheta_p^{-\infty}(1)=1+2\varTheta_p^1(1)$$
$$\varTheta_p^{-\infty}(1)=\vartheta_3(e^{-p\pi}),\space\varTheta_p^{-\infty}((-1)^n)=\vartheta_4(e^{-p\pi})$$
以前作った公式や級数は、次のように表されます。
$m\in\mathbb{N}$について、
$$(1-(-1)^m)\varTheta^1(n^{2m})=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{m-1}\varTheta^{-\infty}(n^{2i})(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$
$$(1-(-1)^m)\varTheta^1(n^{2m})=\left(\sum_{i=0}^{m-1}\left(\varTheta^1(n^{2i})+\frac{0^i}{2}\right)(-1)^i{}_{2m}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(m-i)-1)!!}{(2\pi)^{m-i}}\right)$$
$k\in\mathbb{N}$について、
$$\varTheta^1(n^{4k-2})=\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^{2k-2}\varTheta^{-\infty}(n^{2i})(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}\right)$$
$k\in\mathbb{N}$について、
$$\varTheta^1\left(\frac{4(2\pi)^{2k-1}}{(4k-3)!!}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$
$k-1\in\mathbb{N}$について、
$$\varTheta^1\left(\frac{8(2\pi)^{2k-1}}{(4k-5)!!(8k-6-{}_{4k-2}\mathrm{C}_2)}\left(n^{4k-2}-\frac{1}{2}\sum_{i=2}^{2k-2}(-1)^i{}_{4k-2}\mathrm{C}_{2i}\frac{(2(2k-1-i)-1)!!}{(2\pi)^{2k-1-i}}n^{2i}\right)-2\right)=1$$
以下たくさん例を挙げていますが、Juliaで書いたコードで$\LaTeX$出力したものなので、目視の限りでは大丈夫そうですが、バグや設計ミスがあると芋づる式に間違いが生じている可能性があります。
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(8πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{32π^{3}}{15}n^{6}-8π^{2}n^{4}+12πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{128π^{5}}{945}n^{10}-\frac{32π^{4}}{21}n^{8}+\frac{32π^{3}}{3}n^{6}-\frac{80π^{2}}{3}n^{4}+20πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{512π^{7}}{135135}n^{14}-\frac{128π^{6}}{1485}n^{12}+\frac{64π^{5}}{45}n^{10}-\frac{32π^{4}}{3}n^{8}+\frac{112π^{3}}{3}n^{6}-56π^{2}n^{4}+28πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{2048π^{9}}{34459425}n^{18}-\frac{512π^{8}}{225225}n^{16}+\frac{1024π^{7}}{15015}n^{14}-\frac{512π^{6}}{495}n^{12}+\frac{128π^{5}}{15}n^{10}-\frac{192π^{4}}{5}n^{8}+\frac{448π^{3}}{5}n^{6}-96π^{2}n^{4}+36πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{8192π^{11}}{13749310575}n^{22}-\frac{2048π^{10}}{59520825}n^{20}+\frac{1024π^{9}}{626535}n^{18}-\frac{512π^{8}}{12285}n^{16}+\frac{512π^{7}}{819}n^{14}-\frac{256π^{6}}{45}n^{12}+\frac{1408π^{5}}{45}n^{10}-\frac{704π^{4}}{7}n^{8}+176π^{3}n^{6}-\frac{440π^{2}}{3}n^{4}+44πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{32768π^{13}}{7905853580625}n^{26}-\frac{8192π^{12}}{24325703325}n^{24}+\frac{8192π^{11}}{352546425}n^{22}-\frac{4096π^{10}}{4578525}n^{20}+\frac{1024π^{9}}{48195}n^{18}-\frac{512π^{8}}{1575}n^{16}+\frac{1024π^{7}}{315}n^{14}-\frac{6656π^{6}}{315}n^{12}+\frac{9152π^{5}}{105}n^{10}-\frac{4576π^{4}}{21}n^{8}+\frac{4576π^{3}}{15}n^{6}-208π^{2}n^{4}+52πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{131072π^{15}}{6190283353629375}n^{30}-\frac{32768π^{14}}{14230536445125}n^{28}+\frac{16384π^{13}}{75293843625}n^{26}-\frac{8192π^{12}}{695020095}n^{24}+\frac{4096π^{11}}{10072755}n^{22}-\frac{2048π^{10}}{218025}n^{20}+\frac{1024π^{9}}{6885}n^{18}-\frac{512π^{8}}{315}n^{16}+\frac{256π^{7}}{21}n^{14}-\frac{1664π^{6}}{27}n^{12}+\frac{9152π^{5}}{45}n^{10}-416π^{4}n^{8}+\frac{1456π^{3}}{3}n^{6}-280π^{2}n^{4}+60πn^{2}-2\right)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{64π^{3}}{15}n^{6}+16π^{2}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{256π^{5}}{2835}n^{10}+\frac{64π^{4}}{63}n^{8}-\frac{64π^{3}}{9}n^{6}+\frac{160π^{2}}{9}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{1024π^{7}}{675675}n^{14}+\frac{256π^{6}}{7425}n^{12}-\frac{128π^{5}}{225}n^{10}+\frac{64π^{4}}{15}n^{8}-\frac{224π^{3}}{15}n^{6}+\frac{112π^{2}}{5}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{4096π^{9}}{241215975}n^{18}+\frac{1024π^{8}}{1576575}n^{16}-\frac{2048π^{7}}{105105}n^{14}+\frac{1024π^{6}}{3465}n^{12}-\frac{256π^{5}}{105}n^{10}+\frac{384π^{4}}{35}n^{8}-\frac{128π^{3}}{5}n^{6}+\frac{192π^{2}}{7}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{16384π^{11}}{123743795175}n^{22}+\frac{4096π^{10}}{535687425}n^{20}-\frac{2048π^{9}}{5638815}n^{18}+\frac{1024π^{8}}{110565}n^{16}-\frac{1024π^{7}}{7371}n^{14}+\frac{512π^{6}}{405}n^{12}-\frac{2816π^{5}}{405}n^{10}+\frac{1408π^{4}}{63}n^{8}-\frac{352π^{3}}{9}n^{6}+\frac{880π^{2}}{27}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{65536π^{13}}{86964389386875}n^{26}+\frac{16384π^{12}}{267582736575}n^{24}-\frac{16384π^{11}}{3878010675}n^{22}+\frac{8192π^{10}}{50363775}n^{20}-\frac{2048π^{9}}{530145}n^{18}+\frac{1024π^{8}}{17325}n^{16}-\frac{2048π^{7}}{3465}n^{14}+\frac{13312π^{6}}{3465}n^{12}-\frac{1664π^{5}}{105}n^{10}+\frac{832π^{4}}{21}n^{8}-\frac{832π^{3}}{15}n^{6}+\frac{416π^{2}}{11}n^{4}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-\frac{262144π^{15}}{80473683597181875}n^{30}+\frac{65536π^{14}}{184996973786625}n^{28}-\frac{32768π^{13}}{978819967125}n^{26}+\frac{16384π^{12}}{9035261235}n^{24}-\frac{8192π^{11}}{130945815}n^{22}+\frac{4096π^{10}}{2834325}n^{20}-\frac{2048π^{9}}{89505}n^{18}+\frac{1024π^{8}}{4095}n^{16}-\frac{512π^{7}}{273}n^{14}+\frac{256π^{6}}{27}n^{12}-\frac{1408π^{5}}{45}n^{10}+64π^{4}n^{8}-\frac{224π^{3}}{3}n^{6}+\frac{560π^{2}}{13}n^{4}-2\right)=1$$
本題
さて、今回は安直に$e^{-\pi n^2}$の部分をテータ関数のように$e^{-p\pi n^2}$（$\tau=pi$,$\mathrm{Im\tau\gt0}$）と関数化して、1に収束する級数を作りたいと思います。
なお、テータ関数が虚部が正の複素数で絶対収束するように、中身にnの単項式を掛けたものも絶対収束することがダランベールの収束判定法などにより容易に分かります。従って、pと置いた変数は、実部が正の複素数であればよく、$p=-\tau i$を用いて虚部が正の複素数を変数にとってもよいです。
$m\in\mathbb{N}$について、
$$\varTheta^{1}_p(n^{2m})=\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})+\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^1(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}+\frac{1}{2\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}E_{\frac{1}{p}}$$
$$\varTheta^{-\infty}_p(n^{2m})=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{n^{2m}}{e^{p\pi n^2}}=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi inx}x^{2m}e^{-p\pi x^2}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi\qty(x+\frac{in}{p})^2-\frac{\pi n^2}{p}}x^{2m}dx$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2}\qty(t-\frac{in}{p})^{2m}dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2}\sum_{j=0}^{2m}{}_{2m}\mathrm{C}_j t^{2m-j}\qty(-\frac{in}{p})^{j}dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2}\left(\sum_{j=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j} t^{2m-2j}\qty(-\frac{in}{p})^{2j}+\sum_{j=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j+1} t^{2m-2j-1}\qty(-\frac{in}{p})^{2j+1}\right)dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2}\left(\sum_{j=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j} (t^2)^{m-j}\qty(-\frac{n^2}{p^2})^{j}-\sum_{j=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j+1} t^{2(m-j)-1}(-1)^ji\qty(\frac{n}{p})^{2j+1}\right)dt$$
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\left(\sum_{j=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\qty(-\frac{n^2}{p^2})^{j}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2} (t^2)^{m-j}dt-\sum_{j=0}^{m-1}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j+1}(-1)^ji\qty(\frac{n}{p})^{2j+1}\int_{-\infty}^\infty e^{-p\pi t^2} t^{2(m-j)-1}dt\right)$$
ガウス積分より、
$$=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{\pi n^2}{p}}\sum_{j=0}^{m}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\qty(-\frac{n^2}{p^2})^{j}\frac{1}{\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}$$
ダランベールの収束判定法より、無限和部分は絶対収束するので、
$$=\sum_{j=0}^{m}\sum_{n=-\infty}^\infty \qty(\frac{n}{p})^{2j}e^{-\frac{\pi n^2}{p}}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}$$
$$=\sum_{j=0}^{m}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{-\infty}(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}$$
$$=\sum_{j=0}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{-\infty}(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}+\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{-\infty}(n^{2m})$$
$$2\varTheta^{1}_p(n^{2m})=\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{-\infty}(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}+\frac{1}{\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}E_{\frac{1}{p}}+2\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})$$
$$\varTheta^{1}_p(n^{2m})=\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^1(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}+\frac{1}{2\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}E_{\frac{1}{p}}+\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})$$
$m\in\mathbb{N}$について、
$$\varTheta_p^1\qty(\frac{2\sqrt{p}(2p\pi)^m}{(2m-1)!!}n^{2m})-\varTheta_\frac{1}{p}^1\left((-1)^m\frac{2(2\pi)^m}{p^{m}(2m-1)!!}n^{2m}+\frac{2}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+2\right)=1$$
$$\varTheta^{1}_p(n^{2m})=\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})+\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^1(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}+\frac{1}{2\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}E_{\frac{1}{p}}$$
$$\varTheta^{1}_p(n^{2m})-\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})-\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^1(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}-\frac{1}{\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(1)=\frac{1}{2\sqrt{p}}\frac{(2m-1)!!}{(2p\pi)^m}$$
$$\frac{2\sqrt{p}(2p\pi)^m}{(2m-1)!!}\left(\varTheta^{1}_p(n^{2m})-\frac{(-1)^m}{p^{2m}\sqrt{p}}\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(n^{2m})-\sum_{j=1}^{m-1}\varTheta_{\frac{1}{p}}^1(n^{2j})(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{1}{p^{2j}\sqrt{p}}\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2p\pi)^{m-j}}\right)-2\varTheta_{\frac{1}{p}}^{1}(1)=1$$
$$\varTheta_p^1\qty(\frac{2\sqrt{p}(2p\pi)^m}{(2m-1)!!}n^{2m})-\varTheta_\frac{1}{p}^1\left((-1)^m\frac{2(2\pi)^m}{p^{m}(2m-1)!!}n^{2m}+\frac{2}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+2\right)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{4\sqrt{5}π}{25}n^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(20πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(\frac{π}{2}n^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(16πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(\frac{4\sqrt{3}π}{9}n^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(12πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\sqrt{2}πn^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(8πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(8πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(8\sqrt{2}πn^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(2πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(12\sqrt{3}πn^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(\frac{4π}{3}n^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(32πn^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(20\sqrt{5}πn^{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{4π}{5}n^{2}-2\right)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{8\sqrt{5}π^{2}}{375}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(-\frac{200π^{2}}{3}n^{4}+40πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(\frac{π^{2}}{12}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(-\frac{128π^{2}}{3}n^{4}+32πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(\frac{8\sqrt{3}π^{2}}{81}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(-24π^{2}n^{4}+24πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{\sqrt{2}π^{2}}{3}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(-\frac{32π^{2}}{3}n^{4}+16πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{32\sqrt{2}π^{2}}{3}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-\frac{2π^{2}}{3}n^{4}+4πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(24\sqrt{3}π^{2}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{27}n^{4}+\frac{8π}{3}n^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(\frac{256π^{2}}{3}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(-\frac{π^{2}}{6}n^{4}+2πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{200\sqrt{5}π^{2}}{3}n^{4}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{75}n^{4}+\frac{8π}{5}n^{2}-2\right)=1$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{16\sqrt{5}π^{3}}{9375}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{400π^{3}}{3}n^{6}-600π^{2}n^{4}+60πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(\frac{π^{3}}{120}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(\frac{1024π^{3}}{15}n^{6}-384π^{2}n^{4}+48πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(\frac{16\sqrt{3}π^{3}}{1215}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(\frac{144π^{3}}{5}n^{6}-216π^{2}n^{4}+36πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{\sqrt{2}π^{3}}{15}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{128π^{3}}{15}n^{6}-96π^{2}n^{4}+24πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(\frac{32π^{3}}{15}n^{6}-8π^{2}n^{4}+12πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{128\sqrt{2}π^{3}}{15}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{2π^{3}}{15}n^{6}-6π^{2}n^{4}+6πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(\frac{144\sqrt{3}π^{3}}{5}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(\frac{16π^{3}}{405}n^{6}-\frac{8π^{2}}{3}n^{4}+4πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(\frac{2048π^{3}}{15}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(\frac{π^{3}}{60}n^{6}-\frac{3π^{2}}{2}n^{4}+3πn^{2}-2\right)=1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{400\sqrt{5}π^{3}}{3}n^{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{16π^{3}}{1875}n^{6}-\frac{24π^{2}}{25}n^{4}+\frac{12π}{5}n^{2}-2\right)=1$$
ここで、$p$と$\frac{1}{p}$を見比べてみると、それぞれの項が$\sqrt{p}$倍になっている部分があります。したがって、$\sqrt{p}$倍して足し引きすることで、もう少しシンプルな形になることが予想されます。やってみましょう。
本題その２（変換公式）
$$2\sqrt{p}\varTheta_p^1\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!p^{j}n^{2j}+1\right)+2(-1)^m\varTheta_\frac{1}{p}^1 \left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+1\right)=-\sqrt{p}-(-1)^m$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^{-\infty}\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!p^{j}n^{2j}+1\right)=(-1)^{m+1}\varTheta_\frac{1}{p}^{-\infty}\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+1\right)$$
$$\varTheta_p^1\qty(\frac{2\sqrt{p}(2p\pi)^m}{(2m-1)!!}n^{2m})-\varTheta_\frac{1}{p}^1\left((-1)^m\frac{2(2\pi)^m}{p^{m}(2m-1)!!}n^{2m}+\frac{2}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+2\right)=1$$
$$\varTheta_{\frac{1}{p}}^1\qty(\frac{2(2\pi)^m}{p^m\sqrt{p}(2m-1)!!}n^{2m})-\varTheta_p^1\left((-1)^m\frac{2(2p\pi)^m}{(2m-1)!!}n^{2m}+\frac{2}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!p^{j}n^{2j}+2\right)=1$$
第一式の$(-1)^m$倍および第二式の$\sqrt{p}$倍から、
$$2\sqrt{p}\varTheta_p^1\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!p^{j}n^{2j}+1\right)+2(-1)^m\varTheta_\frac{1}{p}^1 \left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+1\right)=-\sqrt{p}-(-1)^m$$
また、$2\varTheta^1=\varTheta^{-\infty}-f(0)$より、
$$\sqrt{p}\varTheta_p^{-\infty}\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!p^{j}n^{2j}+1\right)=(-1)^{m+1}\varTheta_\frac{1}{p}^{-\infty}\left(\frac{1}{(2m-1)!!}\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^{j}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}\frac{(2\pi)^j(2(m-j)-1)!!}{p^{j}}n^{2j}+1\right)$$
ここで、係数部分を
$$C_{m,j}=\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2m-1)!!}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}2^j$$
と置くことで、
$$2\sqrt{p}\varTheta_p^1\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}(-p\pi n^2)^j+1\right)+2(-1)^m\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}\qty(-\frac{\pi n^2}{p})^j+1\right)=-\sqrt{p}-(-1)^m$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^{-\infty}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}(-\pi pn^2)^j+1\right)=(-1)^{m+1}\varTheta_\frac{1}{p}^{-\infty}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}\qty(-\frac{\pi n^2}{p})^j+1\right)$$
つまり、
任意の$m\in\mathbb{N}$および$p$（$\mathrm{Re}p\gt0$）について、
$$C_{m,j}=\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2m-1)!!}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}2^j$$
とすると、
$$\sqrt{p}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-p\pi n^2}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}(-p\pi n^2)^j+1\right)=(-1)^{m+1}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{p}\pi n^2}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}\qty(-\frac{\pi n^2}{p})^j+1\right)$$
$p=-\tau i$（$\mathrm{Im}\tau\gt0$）を用いると、
$$\sqrt{-\tau i}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\tau\pi in^2}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}(\tau\pi in^2)^j+1\right)=(-1)^{m+1}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{\tau}\pi in^2}\left(\sum_{j=1}^{m-1}C_{m,j}\qty(-\frac{\pi in^2}{\tau})^j+1\right)$$
とそこそこ綺麗な形になります。（当然保型性が失われ、係数も制限されるので実用性はありませんが、見た目が左右対称で綺麗なので、個人的にはリリスの変換公式と呼んで気に入っています。）
また、とくに$m=1$の場合は、ヤコビの変換公式
$$\vartheta_3(e^{\tau\pi i})=\frac{1}{\sqrt{-\tau i}}\vartheta_3(e^{-\frac{1}{\tau}\pi i})$$
に一致することがわかります。
$$\varTheta_p^1\left(2\sqrt{p}\right)+\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(-2\right)=1-\sqrt{p}$$
$$\sqrt{p}\vartheta_3(e^{-p\pi})=\vartheta_3(e^{-\frac{1}{p}\pi})$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(2\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-2\right)=0$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(2\sqrt{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{2}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(2\sqrt{3}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{3}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(4\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(-2\right)=-1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(2\sqrt{5}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{5}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-6\pi n^2}\left(2\sqrt{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{6}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{6}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-7\pi n^2}\left(2\sqrt{7}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{7}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{7}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-8\pi n^2}\left(2\sqrt{8}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{8}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{8}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-9\pi n^2}\left(6\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{9}\pi n^2}\left(-2\right)=-2$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-10\pi n^2}\left(2\sqrt{10}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{10}\pi n^2}\left(-2\right)=1-\sqrt{10}$$
$$\varTheta_p^1\left(-8\pi p\sqrt{p}n^{2}+2\sqrt{p}\right)+\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(-\frac{8\pi}{p}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{p}$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^{-\infty}\left(-4\pi pn^{2}+1\right)+\varTheta_\frac{1}{p}^{-\infty}\left(-\frac{4\pi}{p}n^{2}+1\right)=0$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-8πn^{2}+2\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-8πn^{2}+2\right)=-2$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(-16\sqrt{2}πn^{2}+2\sqrt{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-4πn^{2}+2\right)=-1-\sqrt{2}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(-24\sqrt{3}πn^{2}+2\sqrt{3}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(-\frac{8π}{3}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{3}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(-64πn^{2}+4\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(-2πn^{2}+2\right)=-3$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(-40\sqrt{5}πn^{2}+2\sqrt{5}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{8π}{5}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{5}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-6\pi n^2}\left(-48\sqrt{6}πn^{2}+2\sqrt{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{6}\pi n^2}\left(-\frac{4π}{3}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{6}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-7\pi n^2}\left(-56\sqrt{7}πn^{2}+2\sqrt{7}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{7}\pi n^2}\left(-\frac{8π}{7}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{7}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-8\pi n^2}\left(-64\sqrt{8}πn^{2}+2\sqrt{8}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{8}\pi n^2}\left(-πn^{2}+2\right)=-1-\sqrt{8}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-9\pi n^2}\left(-216πn^{2}+6\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{9}\pi n^2}\left(-\frac{8π}{9}n^{2}+2\right)=-4$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-10\pi n^2}\left(-80\sqrt{10}πn^{2}+2\sqrt{10}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{10}\pi n^2}\left(-\frac{4π}{5}n^{2}+2\right)=-1-\sqrt{10}$$
$$\varTheta_p^1\left(8\pi^2p^{2}\sqrt{p}n^{4}-12\pi p\sqrt{p}n^{2}+2\sqrt{p}\right)+\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(-\frac{8\pi^2}{p^{2}}n^{4}+\frac{12\pi}{p}n^{2}-2\right)=1-\sqrt{p}$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^{-\infty}\left(4\pi^2p^{2}n^{4}-6\pi pn^{2}+1\right)=\varTheta_\frac{1}{p}^{-\infty}\left(\frac{4\pi^2}{p^{2}}n^{4}-\frac{6\pi}{p}n^{2}+1\right)$$
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(8π^{2}n^{4}-12πn^{2}+2\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}\left(-8π^{2}n^{4}+12πn^{2}-2\right)=0$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(32\sqrt{2}π^{2}n^{4}-24\sqrt{2}πn^{2}+2\sqrt{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-2π^{2}n^{4}+6πn^{2}-2\right)=1-\sqrt{2}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-3\pi n^2}\left(72\sqrt{3}π^{2}n^{4}-36\sqrt{3}πn^{2}+2\sqrt{3}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{3}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{9}n^{4}+4πn^{2}-2\right)=1-\sqrt{3}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-4\pi n^2}\left(256π^{2}n^{4}-96πn^{2}+4\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{4}\pi n^2}\left(-\frac{π^{2}}{2}n^{4}+3πn^{2}-2\right)=-1$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(200\sqrt{5}π^{2}n^{4}-60\sqrt{5}πn^{2}+2\sqrt{5}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{25}n^{4}+\frac{12π}{5}n^{2}-2\right)=1-\sqrt{5}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-6\pi n^2}\left(288\sqrt{6}π^{2}n^{4}-72\sqrt{6}πn^{2}+2\sqrt{6}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{6}\pi n^2}\left(-\frac{2π^{2}}{9}n^{4}+2πn^{2}-2\right)=1-\sqrt{6}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-7\pi n^2}\left(392\sqrt{7}π^{2}n^{4}-84\sqrt{7}πn^{2}+2\sqrt{7}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{7}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{49}n^{4}+\frac{12π}{7}n^{2}-2\right)=1-\sqrt{7}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-8\pi n^2}\left(512\sqrt{8}π^{2}n^{4}-96\sqrt{8}πn^{2}+2\sqrt{8}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{8}\pi n^2}\left(-\frac{π^{2}}{8}n^{4}+\frac{3π}{2}n^{2}-2\right)=1-\sqrt{8}$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-9\pi n^2}\left(1944π^{2}n^{4}-324πn^{2}+6\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{9}\pi n^2}\left(-\frac{8π^{2}}{81}n^{4}+\frac{4π}{3}n^{2}-2\right)=-2$$ $$\sum_{n=1}^\infty e^{-10\pi n^2}\left(800\sqrt{10}π^{2}n^{4}-120\sqrt{10}πn^{2}+2\sqrt{10}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{10}\pi n^2}\left(-\frac{2π^{2}}{25}n^{4}+\frac{6π}{5}n^{2}-2\right)=1-\sqrt{10}$$
係数部分$C_{m.j}$の、mとjごとの値も乗っけておきます。
| m＼j | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | $4$ | ||||||||
| 3 | $4$ | $6$ | |||||||
| 4 | $\frac{32}{15}$ | $8$ | $8$ | ||||||
| 5 | $\frac{16}{21}$ | $\frac{16}{3}$ | $\frac{40}{3}$ | $10$ | |||||
| 6 | $\frac{64}{315}$ | $\frac{16}{7}$ | $\frac{32}{3}$ | $20$ | $12$ | ||||
| 7 | $\frac{64}{1485}$ | $\frac{32}{45}$ | $\frac{16}{3}$ | $\frac{56}{3}$ | $28$ | $14$ | |||
| 8 | $\frac{1024}{135135}$ | $\frac{256}{1485}$ | $\frac{256}{135}$ | $\frac{32}{3}$ | $\frac{448}{15}$ | $\frac{112}{3}$ | $16$ | ||
| 9 | $\frac{256}{225225}$ | $\frac{512}{15015}$ | $\frac{256}{495}$ | $\frac{64}{15}$ | $\frac{96}{5}$ | $\frac{224}{5}$ | $48$ | $18$ | |
| 10 | $\frac{1024}{6891885}$ | $\frac{256}{45045}$ | $\frac{1024}{9009}$ | $\frac{128}{99}$ | $\frac{128}{15}$ | $32$ | $64$ | $60$ | $20$ |
ちなみに、次の表現も同値です。
$$C_{m.j}=\frac{2^{2j}{}_m\mathrm{P}_j}{(2j)!}=\frac{2^{2j}{}_m\mathrm{C}_j}{{}_{2j}\mathrm{P}_j}$$
本題その３（貴金属数）
例えば、
$$\tau^{-1}=\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(2\sqrt{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-2\right)$$
$$\varphi^{-1}=\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\sqrt{5}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-1\right)$$
$$\tau=\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(16\sqrt{2}πn^{2}-2\sqrt{2}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(4πn^{2}-2\right)$$
$$\varphi=\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(20\sqrt{5}πn^{2}-\sqrt{5}\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{4π}{5}n^{2}-1\right)$$
のように、黄金数や白銀数（ここで$\tau$はテータ関数の変数ではなく白銀数を示す）とその逆数が出てきますね。（というよりも、右辺が2次の代数的実数になり、その中でも黄金数や白銀数はpが簡単になる）
次のように比較することで、貴金属数$M_n$とその逆数について、テータ関数を用いた式で表すことができます。
$$M_n^{\pm1}=\frac{n\pm\sqrt{n^2+1}}{2}=\frac{n}{2}\qty(1\pm\sqrt{1+\frac{4}{n^2}})=\frac{n}{2}\qty(1\pm\sqrt{p})$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^1\left(\sum_{j=1}^{2k-2}C_{2k-1,j}(-p\pi n^2)^j+1\right)-\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(\sum_{j=1}^{2k-2}C_{2k-1,j}\qty(-\frac{\pi n^2}{p})^j+1\right)=\frac{1-\sqrt{p}}{2}$$
$$\sqrt{p}\varTheta_p^1\left(\sum_{j=1}^{2k-1}C_{2k,j}(-p\pi n^2)^j+1\right)+\varTheta_\frac{1}{p}^1\left(\sum_{j=1}^{2k-1}C_{2k,j}\qty(-\frac{\pi n^2}{p})^j+1\right)=\frac{-1-\sqrt{p}}{2}$$
任意の$m,n\in\mathbb{N}$（$p=\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}$）について、
$$C_{m,j}=\frac{(2(m-j)-1)!!}{(2m-1)!!}{}_{2m}\mathrm{C}_{2j}2^j$$
とすると、
$$M_n=-n\sqrt{p}\sum_{k=1}^\infty e^{-p\pi k^2}\left(\sum_{j=1}^{2m-1}C_{2m,j}(-p\pi k^2)^j+1\right)-n\sum_{k=1}^\infty e^{-\frac{1}{p}\pi k^2}\left(\sum_{j=1}^{2m-1}C_{2m,j}\qty(-\frac{\pi k^2}{p})^j+1\right)$$
$$M_n^{-1}=n\sqrt{p}\sum_{k=1}^\infty e^{-p\pi k^2}\left(\sum_{j=1}^{2m-2}C_{2m-1,j}(-p\pi k^2)^j+1\right)-n\sum_{k=1}^\infty e^{-\frac{1}{p}\pi k^2}\left(\sum_{j=1}^{2m-2}C_{2m-1,j}\qty(-\frac{\pi k^2}{p})^j+1\right)$$
ただし$M_n$は$n$番目の貴金属数である。
$$\varphi=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(20πn^{2}-1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{4π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{800π^{3}}{3}n^{6}-200π^{2}n^{4}+40πn^{2}-1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{32π^{3}}{1875}n^{6}-\frac{8π^{2}}{25}n^{4}+\frac{8π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{40000π^{5}}{63}n^{10}-\frac{10000π^{4}}{7}n^{8}+\frac{4000π^{3}}{3}n^{6}-500π^{2}n^{4}+60πn^{2}-1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{64π^{5}}{984375}n^{10}-\frac{16π^{4}}{4375}n^{8}+\frac{32π^{3}}{375}n^{6}-\frac{4π^{2}}{5}n^{4}+\frac{12π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{16000000π^{7}}{27027}n^{14}-\frac{800000π^{6}}{297}n^{12}+\frac{160000π^{5}}{27}n^{10}-\frac{20000π^{4}}{3}n^{8}+\frac{11200π^{3}}{3}n^{6}-\frac{2800π^{2}}{3}n^{4}+80πn^{2}-1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{1024π^{7}}{10557421875}n^{14}-\frac{256π^{6}}{23203125}n^{12}+\frac{256π^{5}}{421875}n^{10}-\frac{32π^{4}}{1875}n^{8}+\frac{448π^{3}}{1875}n^{6}-\frac{112π^{2}}{75}n^{4}+\frac{16π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{400000000π^{9}}{1378377}n^{18}-\frac{20000000π^{8}}{9009}n^{16}+\frac{80000000π^{7}}{9009}n^{14}-\frac{2000000π^{6}}{99}n^{12}+\frac{80000π^{5}}{3}n^{10}-20000π^{4}n^{8}+8000π^{3}n^{6}-1500π^{2}n^{4}+100πn^{2}-1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(\frac{1024π^{9}}{13460712890625}n^{18}-\frac{256π^{8}}{17595703125}n^{16}+\frac{1024π^{7}}{703828125}n^{14}-\frac{128π^{6}}{1546875}n^{12}+\frac{128π^{5}}{46875}n^{10}-\frac{32π^{4}}{625}n^{8}+\frac{64π^{3}}{125}n^{6}-\frac{12π^{2}}{5}n^{4}+4πn^{2}-1\right)$$ $$\varphi^{-1}=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-1\right)$$ $$\varphi^{-1}=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(100π^{2}n^{4}-30πn^{2}+1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{4π^{2}}{25}n^{4}+\frac{6π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi^{-1}=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{10000π^{4}}{21}n^{8}-\frac{2000π^{3}}{3}n^{6}+\frac{1000π^{2}}{3}n^{4}-50πn^{2}+1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{16π^{4}}{13125}n^{8}+\frac{16π^{3}}{375}n^{6}-\frac{8π^{2}}{15}n^{4}+2πn^{2}-1\right)$$ $$\varphi^{-1}=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{200000π^{6}}{297}n^{12}-\frac{20000π^{5}}{9}n^{10}+\frac{10000π^{4}}{3}n^{8}-\frac{7000π^{3}}{3}n^{6}+700π^{2}n^{4}-70πn^{2}+1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{64π^{6}}{23203125}n^{12}+\frac{32π^{5}}{140625}n^{10}-\frac{16π^{4}}{1875}n^{8}+\frac{56π^{3}}{375}n^{6}-\frac{28π^{2}}{25}n^{4}+\frac{14π}{5}n^{2}-1\right)$$ $$\varphi^{-1}=\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty e^{-5\pi n^2}\left(\frac{4000000π^{8}}{9009}n^{16}-\frac{8000000π^{7}}{3003}n^{14}+\frac{800000π^{6}}{99}n^{12}-\frac{40000π^{5}}{3}n^{10}+12000π^{4}n^{8}-5600π^{3}n^{6}+1200π^{2}n^{4}-90πn^{2}+1\right)+\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{5}\pi n^2}\left(-\frac{256π^{8}}{87978515625}n^{16}+\frac{512π^{7}}{1173046875}n^{14}-\frac{256π^{6}}{7734375}n^{12}+\frac{64π^{5}}{46875}n^{10}-\frac{96π^{4}}{3125}n^{8}+\frac{224π^{3}}{625}n^{6}-\frac{48π^{2}}{25}n^{4}+\frac{18π}{5}n^{2}-1\right)$$
$$\tau=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(8πn^{2}-1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(2πn^{2}-1\right)$$ $$\tau=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{256π^{3}}{15}n^{6}-32π^{2}n^{4}+16πn^{2}-1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{4π^{3}}{15}n^{6}-2π^{2}n^{4}+4πn^{2}-1\right)$$ $$\tau=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{2048π^{5}}{315}n^{10}-\frac{256π^{4}}{7}n^{8}+\frac{256π^{3}}{3}n^{6}-80π^{2}n^{4}+24πn^{2}-1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{2π^{5}}{315}n^{10}-\frac{π^{4}}{7}n^{8}+\frac{4π^{3}}{3}n^{6}-5π^{2}n^{4}+6πn^{2}-1\right)$$ $$\tau=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{131072π^{7}}{135135}n^{14}-\frac{16384π^{6}}{1485}n^{12}+\frac{8192π^{5}}{135}n^{10}-\frac{512π^{4}}{3}n^{8}+\frac{3584π^{3}}{15}n^{6}-\frac{448π^{2}}{3}n^{4}+32πn^{2}-1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{8π^{7}}{135135}n^{14}-\frac{4π^{6}}{1485}n^{12}+\frac{8π^{5}}{135}n^{10}-\frac{2π^{4}}{3}n^{8}+\frac{56π^{3}}{15}n^{6}-\frac{28π^{2}}{3}n^{4}+8πn^{2}-1\right)$$ $$\tau=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{524288π^{9}}{6891885}n^{18}-\frac{65536π^{8}}{45045}n^{16}+\frac{131072π^{7}}{9009}n^{14}-\frac{8192π^{6}}{99}n^{12}+\frac{4096π^{5}}{15}n^{10}-512π^{4}n^{8}+512π^{3}n^{6}-240π^{2}n^{4}+40πn^{2}-1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(\frac{2π^{9}}{6891885}n^{18}-\frac{π^{8}}{45045}n^{16}+\frac{8π^{7}}{9009}n^{14}-\frac{2π^{6}}{99}n^{12}+\frac{4π^{5}}{15}n^{10}-2π^{4}n^{8}+8π^{3}n^{6}-15π^{2}n^{4}+10πn^{2}-1\right)$$ $$\tau^{-1}=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-1\right)$$ $$\tau^{-1}=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(16π^{2}n^{4}-12πn^{2}+1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-π^{2}n^{4}+3πn^{2}-1\right)$$ $$\tau^{-1}=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{256π^{4}}{21}n^{8}-\frac{128π^{3}}{3}n^{6}+\frac{160π^{2}}{3}n^{4}-20πn^{2}+1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-\frac{π^{4}}{21}n^{8}+\frac{2π^{3}}{3}n^{6}-\frac{10π^{2}}{3}n^{4}+5πn^{2}-1\right)$$ $$\tau^{-1}=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{4096π^{6}}{1485}n^{12}-\frac{1024π^{5}}{45}n^{10}+\frac{256π^{4}}{3}n^{8}-\frac{448π^{3}}{3}n^{6}+112π^{2}n^{4}-28πn^{2}+1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-\frac{π^{6}}{1485}n^{12}+\frac{π^{5}}{45}n^{10}-\frac{π^{4}}{3}n^{8}+\frac{7π^{3}}{3}n^{6}-7π^{2}n^{4}+7πn^{2}-1\right)$$ $$\tau^{-1}=2\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty e^{-2\pi n^2}\left(\frac{65536π^{8}}{225225}n^{16}-\frac{65536π^{7}}{15015}n^{14}+\frac{16384π^{6}}{495}n^{12}-\frac{2048π^{5}}{15}n^{10}+\frac{1536π^{4}}{5}n^{8}-\frac{1792π^{3}}{5}n^{6}+192π^{2}n^{4}-36πn^{2}+1\right)+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac{1}{2}\pi n^2}\left(-\frac{π^{8}}{225225}n^{16}+\frac{4π^{7}}{15015}n^{14}-\frac{4π^{6}}{495}n^{12}+\frac{2π^{5}}{15}n^{10}-\frac{6π^{4}}{5}n^{8}+\frac{28π^{3}}{5}n^{6}-12π^{2}n^{4}+9πn^{2}-1\right)$$
黄金数の場合は2×p=10となり、分子が0ばかりになってしまいましたが、とはいえそこそこ綺麗な式で表すことができました。
果たして、モジュラー形式の性質を全て無視して貴金属数を表すためだけにテータ関数を持ち出した人はいたでしょうか。
あとがき
まだまだ一般化できそうなので気が向いたら次回を書く予定です。ご覧いただきありがとうございました。
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