準同型定理の直感的理解

はじめに

群の準同型定理とは群準同型$f : G \rightarrow H$があったとき$G / \text{Ker} f \cong \text{Im}f$になるという定理ですが、これの直感的な理解を紹介します。

$\text{Ker}$で割ることと準同型定理の直感的な意味

よって、$\text{Ker}f$で$G$を割ることは、$f$での行き先が等しい元をひとまとめにすることなのです。

したがって、$f$から誘導される写像$ \overline{f} : G / \text{Ker} f \rightarrow H, x\text{Ker}f \mapsto f(x)$は当然well-definedで単射になります。

さらに、終域を$H$から$\text{Im}f$に変更すれば全射になります。

つまり、準同型定理とは、行き先が同じ元をひとまとめにして終域を制限すれば全単射が作れるという定理なのです。