{1-}^n,{3-}^nにおける交代多重t値
同じ値だけからなる交代多重$t$値は
\begin{align}
t(\{\ol k\}^n)&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_n}\frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n}}{(2m_1-1)^{k}\cdots (2m_n-1)^k}
\end{align}
と表される. 今回は, $k=1,3$の場合に明示式を与える.
$n\geq 0$に対し,
\begin{align}
t(\{\ol{1}\}^n)&=(-1)^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\frac{\pi^n}{2^{2n}n!}
\end{align}
が成り立つ.
母関数を考えると, ガンマ関数の相反公式と三角関数の加法定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}t(\{\ol 1\}^n)u^n&=\prod_{0\leq k}\left(1-\frac{(-1)^ku}{2k+1}\right)\\
&=\prod_{0\leq k}\frac{\left(k+\frac{1-u}{4}\right)\left(k+\frac{3+u}4\right)}{\left(k+\frac 14\right)\left(k+\frac 34\right)}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)\Gamma\left(\frac 34\right)}{\Gamma\left(\frac{1-u}4\right)\Gamma\left(\frac{3+u}4\right)}\\
&=\frac{\sin\frac{\pi(1-u)}4}{\sin\frac{\pi}4}\\
&=\cos\frac{\pi u}4-\sin\frac{\pi u}4\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{4n}(2n)!}u^{2n}-\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{4n+2}(2n+1)!}
\end{align}
となるから両辺の$u^{n}$の係数を比較して定理を得る.
$n\geq 0$に対し,
\begin{align}
t(\{\ol{3}\}^n)&=(-1)^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\frac{3\pi^{3n}}{2^{3n+1}(3n)!}
\end{align}
が成り立つ.
母関数を考えると, $\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}t(\{\ol 3\}^n)u^{3n}&=\prod_{0\leq k}\left(1-\frac{(-1)^ku^3}{(2k+1)^3}\right)\\
&=\prod_{0\leq k}\left(1-\frac{(-1)^ku}{2k+1}\right)\left(1-\frac{(-1)^k\omega u}{2k+1}\right)\left(1-\frac{(-1)^k\omega^2u}{2k+1}\right)\\
&=\frac{\sin\frac{\pi(1-u)}4\sin\frac{\pi(1-\omega u)}4\sin\frac{\pi(1-\omega^2u)}4}{\sin^3\frac{\pi}4}
\end{align}
ここで,
3変数の$\sin$の積和の公式
より,
\begin{align}
&\sin\frac{\pi(1-u)}4\sin\frac{\pi(1-\omega u)}4\sin\frac{\pi(1-\omega^2u)}4\\
&=-\frac 14\left(\sin\frac{3\pi}4-\sin\frac{\pi(1-(1+\omega-\omega^2)u)}4-\sin\frac{\pi(1-(1-\omega+\omega^2)u)}4-\sin\frac{\pi(1-(-1+\omega+\omega^2)u)}4\right)\\
&=-\frac 14\left(\sin\frac{\pi}4-\sin\frac{\pi(1+2\omega^2 u)}4-\sin\frac{\pi(1+2\omega u)}4-\sin\frac{\pi(1+2u)}4\right)\\
&=\frac{\sin\frac{\pi}4}4\left(\sin\frac{\pi u}{2}+\sin\frac{\pi\omega u}2+\sin\frac{\pi\omega^2 u}2+\cos\frac{\pi u}{2}+\cos\frac{\pi\omega u}2+\cos\frac{\pi\omega^2 u}2-1\right)
\end{align}
より, これを代入して,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}t(\{\ol 3\}^n)u^{3n}&=\frac{1}2\left(\sin\frac{\pi u}{2}+\sin\frac{\pi\omega u}2+\sin\frac{\pi\omega^2 u}2+\cos\frac{\pi u}{2}+\cos\frac{\pi\omega u}2+\cos\frac{\pi\omega^2 u}2-1\right)\\
&=1+\frac 32\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n\pi^{6n}}{2^{6n}(6n)!}u^{6n}-\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\pi^{6n+3}}{2^{6n+3}(6n+3)!}u^{6n+3}\right)
\end{align}
であるから, 両辺の$u^{3n}$の係数を比較して定理を得る.
同様の方針で$5$以上の奇数$k$に対しても$t(\{\ol{k}\}^n)$の明示式を与えることもできるようだが, 実際にそれを計算しているものは見たことがないかもしれない.
