部分群 商群 ラグランジュの定理
群の分類の準備
この記事では、ラグランジュの定理を紹介、証明して、今後の群の分類に生かす一助にしようとおもいます。
$G$を群とし、$H$をその部分集合とする。
$H$が($G$と同じ演算で)群であるとき、$H$を$G$の部分群であるといい、$H\leqq G$とかく。
ここで、次も紹介しておきます。
次の二つは同値である。
- $H\leqq G$
- $a,b\in H \Rightarrow ab^{-1}\in H$
1から2は自明なので、2から1を示します。
- 結合則
$H$は$G$の部分集合であるから自明 - 単位元の存在
$b=a$として、2を適用すれば、$1\in H$ - 逆元の存在
$b=1$として、2を適用すれば、$\forall a\in H,a^{-1}\in H$ - 演算が閉じていること
$a,b\in H \Rightarrow a,b^{-1}\in H \Rightarrow ab\in H$
続いて、剰余類を紹介します。
$G$を群、$H\leqq G$ とする。$G$の元$a$に対して、
$ aH=\{ah|h\in H\}$ を($a$による)左剰余類という。
同様にして、$Ha=\{ha|h\in H\}$を($a$による)右剰余類 という。
左剰余類と右剰余類は、同じ$a$によるものであっても、一般には一致しない。(十分条件として、$G$が可換群なら一致する。)
これを利用して、次の定理を証明します。
$G$を群、$H\leqq G$とする。また、$|G|$を$G$の位数を表すものとする。
この時、$|G|$は$|H|$で割り切れる。
以後は、整数$a,b$に対して、$a|b$を$b$は$a$で割り切れるという記号として定義する。
これを示すために次の補題を示します。
$a,b\in G$に対して、次の二つのいずれか片方のみが成立する。
- $aH=bH$
- $aH\cap bH=\varnothing$
$aH\cap bH \neq \varnothing$を仮定して、$x\in aH\cap bH$について考察する。
定義より、$\exists h_1,h_2\in H,x=ah_1=bh_2$が成立する。
$a=bh_2h_1^{-1}\in bH$ である。$h_2h_1^{-1}=h'$とおくと
$a=bh'$であり、 $aH=\{ah|h\in H\}=\{bh'h|h\in H\}$
ここで、$H'=\{h'h|h\in H\}$とおくと$H'=H$である。
($H'\subset H$は自明。($H$の元同士の演算は$H$に入る。)逆に、任意の$H$の元$h$について、$h=h'(h'^{-1}h)$ ($h'^{-1}h\in H$) だから$H\subset H'$)
よって、$\{bh'h|h\in H\}=bH$
この定理は$G$を剰余類によって分類すると、被りがなく$\displaystyle G=\bigsqcup_{k}a_kH$と書けることを意味する。
(ここで各$a_k$は $i\neq j \Rightarrow a_iH\cap a_jH =\varnothing$となるようにとる。)
$G/H=\{aH|a\in G\}$と定義する。
$f:G\to G/H $ $(a\to aH)$
とする。
$a\in G$は$f$ によって、$G/H$のただ一つの元に移る。
よって、
$\displaystyle|G|=\sum_{k}|a_kH|$
任意の$k$について、$|a_kH|=|H|$であることは
$g:H\to a_kH $ $(h\to a_kh)$ という写像が全単射であることから
($g^{-1}:h\to a_k^{-1}h$ という逆写像が存在するから。)
直ちにわかる。
よって、$\displaystyle|G|=\sum_k|H|$
以上より題意は示された。
写像$f :A\to B$が全単射であるとは、以下の二つ(単射性と全射性)を満たすことをいう。
- $x,y\in A,x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$(単射性)
- $\forall y \in B,\exists x\in A,f(x)=y$(全射性)
この時、$|A|=|B|$である。
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
