早稲田大学教育学部第2問(2024)の郡論を用いた解法

$(1)\quad $$G\coloneqq{\{z_{1}^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}}$は$\mathbb{C}^{\times}$の部分群である。なぜなら

• $G$は演算について閉じている（明らか）
• $G$は結合法則が成り立つ（明らか）
• $G$は$\mathbb{C}^{\times}$の単位元$1=z_{1}^{0}\in G$をもつ。
• 任意の$z_{1}^{n}\in G$は, 逆元$z_{1}^{-n}\in G$をもつ。

だから。

\begin{align*} \therefore\, G\cong{\mathbb{Z}}または, \exists m\in{\mathbb{N}}, G\cong{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}. \end{align*}

しかし, $G\cong{\mathbb{Z}}$は実は成り立たない。これを背理法で示そう。$G\cong{\mathbb{Z}}$と仮定する。群同型$f:G\to{\mathbb{Z}}$を考える。$f(z_{i})=a_{j}\in\mathbb{Z}\quad (j=1, 2, 3)$とすると
\begin{align*} f(z_{j}^{n})=na_{j}\quad (n=1, 2, \cdots, ) \end{align*}
だから
\begin{align*} \langle z_{j}\rangle \cong a_{j}\mathbb{Z}. \end{align*}
\begin{align*} a_{j}\mathbb{Z}=\mathbb{Z} \end{align*}
となるには$a_{j}=-1, 1$でなければならないが, これは$f$が群同型であることに矛盾。よって, $G\cong{\mathbb{Z}}$は成り立たない。
\begin{align*} \therefore\quad \exists{m\in\mathbb{N}}, G\cong\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}. \end{align*}
よって, ラグランジュの定理を用いると
\begin{align*} z_{1}^{m}=1\quad \cdots(\ast). \end{align*}
\begin{align*} \therefore\quad|z_{1}|=1. \end{align*}

$(2)\quad $以下の方針で$G$を求めます。

• $|G|\leqq{4}$となる$G$が存在しない
• $|G|=5$となる$G$をすべて求める

$(\ast)$から, $|G|=m$のとき
\begin{align*} z_{1}=\exp\left(i\dfrac{2k\pi}{m}\right) \end{align*}
を満たす$m$と互いに素な$k\in\mathbb{N}$が存在。これは条件$P$から
\begin{align*} z_{j}=\exp\left(i\dfrac{2k_{j}\pi}{m}\right)\quad (j=1, 2, 3) \end{align*}
を満たす$m$と互いに素な$k_{j}\in\{1, 2, \cdots, m-1\}$が存在に主張を強めることができ, その上$z_{j}\quad (j=1, 2, 3)$が相異なるので$k_{j}$は相異なる。ゆえに$m\leqq{4}$である$G$は存在しない。しかし$m=5$のとき, $k_{1}=1, k_{2}=2, k_{3}=3$が条件を満たす。
\begin{align*} \therefore\quad G=\{e^{i\frac{2}{5}\pi}\mid n\in\mathbb{Z}\} \end{align*}
が求める$G$である。