早稲田大学教育学部第2問(2024)の郡論を用いた解法

$(1)$$G:=\{z_1^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$は${\mathbb{C}}^{\times }$の部分群である。なぜなら

• $G$は演算について閉じている（明らか）
• $G$は結合法則が成り立つ（明らか）
• $G$は${\mathbb{C}}^{\times }$の単位元$1=z_1^0\in G$をもつ。
• 任意の$z_1^n\in G$は, 逆元$z_1^{-n}\in G$をもつ。

だから。

$$\begin{array}{r}\therefore G\cong \mathbb{Z}または,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N},G\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.\end{array}$$

しかし, $G\cong \mathbb{Z}$は実は成り立たない。これを背理法で示そう。$G\cong \mathbb{Z}$と仮定する。群同型$f:G\to \mathbb{Z}$を考える。$f(z_i)=a_j\in \mathbb{Z}(j=1,2,3)$とすると
$$\begin{array}{r}f(z_j^n)=n{a}_j(n=1,2,\cdots ,)\end{array}$$
だから
$$\begin{array}{r}⟨z_j⟩\cong a_j\mathbb{Z}.\end{array}$$
$$\begin{array}{r}{a}_j\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\end{array}$$
となるには$a_j=-1,1$でなければならないが, これは$f$が群同型であることに矛盾。よって, $G\cong \mathbb{Z}$は成り立たない。
$$\begin{array}{r}\therefore \mathrm{\exists }m\in \mathbb{N},G\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.\end{array}$$
よって, ラグランジュの定理を用いると
$$\begin{array}{r}{z}_1^m=1\cdots (\ast ).\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\therefore |z_1|=1.\end{array}$$

$(2)$以下の方針で$G$を求めます。

• $|G|\leqq 4$となる$G$が存在しない
• $|G|=5$となる$G$をすべて求める

$(\ast )$から, $|G|=m$のとき
$$\begin{array}{r}{z}_1=\exp \left(i{\displaystyle \frac{2k\pi }{m}}\right)\end{array}$$
を満たす$m$と互いに素な$k\in \mathbb{N}$が存在。これは条件$P$から
$$\begin{array}{r}{z}_j=\exp \left(i{\displaystyle \frac{2k_j\pi }{m}}\right)(j=1,2,3)\end{array}$$
を満たす$m$と互いに素な$k_j\in \{1,2,\cdots ,m-1\}$が存在に主張を強めることができ, その上$z_j(j=1,2,3)$が相異なるので$k_j$は相異なる。ゆえに$m\leqq 4$である$G$は存在しない。しかし$m=5$のとき, $k_1=1,k_2=2,k_3=3$が条件を満たす。
$$\begin{array}{r}\therefore G=\{e^{i\frac{2}{5}\pi }\mid n\in \mathbb{Z}\}\end{array}$$
が求める$G$である。