早稲田大学教育学部第2問(2024)の郡論を用いた解法

問題編

$(1)$ $G \coloneqq \{z_{1}^{n} \mid n\in\mathbb{Z}\}$は$\mathbb{C}^{\times}$の部分群である．なぜなら，

• $G$は演算について閉じている（明らか）．
• $G$は結合法則が成り立つ（明らか）．
• $G$は$\mathbb{C}^{\times}$の単位元$1=z_{1}^{0} \in G$をもつ．
• 任意の$z_{1}^{n} \in G$は，逆元$z_{1}^{-n} \in G$をもつ．
  だからである．
  \begin{align*} \therefore \quad G \cong \mathbb{Z} \quad \text{または} \quad \exists m\in\mathbb{N}, \quad G \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}. \end{align*}
  しかし，$G \cong \mathbb{Z}$は実は成り立たない．これを背理法で示そう．$G \cong \mathbb{Z}$と仮定し，同型写像$f: G \to \mathbb{Z}$が存在するとする．無限巡回群$\mathbb{Z}$の生成元は$1$と$-1$の2つのみであるため，$G \cong \mathbb{Z}$ならば$G$の生成元も2つしか存在しない．しかし，条件$P$より$G$は$z_{1}, z_{2}, z_{3}$という相異なる3つの生成元を持つことになり，矛盾する．よって，$G \cong \mathbb{Z}$は成り立たない．
  \begin{align*} \therefore \quad \exists m\in\mathbb{N}, \quad G \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}. \end{align*}
  よって，ラグランジュの定理を用いると
  \begin{align*} z_{1}^{m}=1 \quad \cdots (\ast). \end{align*}
  \begin{align*} \therefore \quad |z_{1}|=1. \end{align*}
  $(2)$ 以下の方針で$G$を求める．
• $|G| \leqq 4$となる$G$が存在しないことを示す．
• $|G|=5$となる$G$をすべて求める．
  $(\ast)$から，$|G|=m$のとき
  \begin{align*} z_{1}=\exp\left(i\dfrac{2k\pi}{m}\right) \end{align*}
  を満たす$m$と互いに素な$k\in\mathbb{N}$が存在する．これは条件$P$から
  \begin{align*} z_{j}=\exp\left(i\dfrac{2k_{j}\pi}{m}\right) \quad (j=1, 2, 3) \end{align*}
  を満たす$m$と互いに素な$k_{j}\in\{1, 2, \cdots, m-1\}$が存在する，と主張を強めることができ，その上$z_{j} \; (j=1, 2, 3)$が相異なるので$k_{j}$は相異なる．
  ここで，位数$m$の巡回群の生成元の個数は，$m$と互いに素な$1$以上$m$以下の自然数の個数に等しい．
  $m=1, 2$のとき，生成元は$1$つ．
  $m=3, 4$のとき，生成元は$2$つ．
  $m=5$のとき，生成元は$4$つ．
  条件より生成元は$z_{1}, z_{2}, z_{3}$の少なくとも$3$つ必要であるため，$m \leqq 4$である$G$は存在しない．しかし$m=5$のとき，$k_{1}=1, k_{2}=2, k_{3}=3$が条件を満たす．
  \begin{align*} \therefore \quad G=\left\{e^{i\frac{2}{5}\pi n} \;\middle|\; n\in\mathbb{Z}\right\} \end{align*}
  が求める$G$である．

追記

2026年7月13日：Geminiに誤植と誤りを直してもらいました.