金融数学の基礎

金融の数学には、複利、抵当貸付、ローン、年金といった概念が含まれる。いくつかの基本原則を確立するために、まず様々な利率での複利計算を確認する。これらの基本原則は、抵当貸付、ローン、年金で発生する、より複雑なプロセスを開発するために使用される。これらのトピックの探求においては、離散過程と連続過程が検討され、導かれる。

利子の基本

$P_o$を当初の投資額、$r$を年あたりの名目金利とする。$P(t)$が$t$年後の累積額を表すとすると、$P_o$を金利$r$で数年運用すると、次のような結果が得られる：

$$P(t)=P_o(1+r{)}^t$$

これを期間ごとに$m$分割する場合(例えば12ヶ月で分離する等)、以下のように書き換えることができる:

$$P_m(t)=P_o{(1+\frac{r}{m})}^{mt}$$

これを連続期間に置き換える場合は以下。

$$P_c(t)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_m(t)=P_o{e}^{rt}$$

抵当貸付

1期間において$x$の支払いが行われることを仮定する。

$P(0)=P_o$
$P(1)=P(0)(1+r)-x$
$P(2)=P(1)(1+r)-x$

支払い部分に注目すれば、

$$\sum _{i=0}^{T-1}(1+r{)}^i=\frac{(1+r{)}^T-1}{r}$$

よって、

$$P(T)=P_o(1+r{)}^T-((1+r{)}^T-1)\frac{x}{r}$$

$P(T)=0$として$x$について解くと、

$$x_1=\frac{P_{o}r(1+r{)}^T}{(1+r{)}^T-1}$$
$$x_m=\frac{P_o\frac{r}{m}(1+\frac{r}{m}{)}^{mT}}{(1+\frac{r}{m}{)}^{mT}-1}$$

ここで連続値版について考えてみると、

$$P(t)=P_o{e}^{\rho t}$$

定期レート$r_{eff}$を使えば、

$$e^{\rho }=1+r_{eff}={(1+\frac{r}{m})}^m$$

支払いが率 $x>0$で連続支払いできるとすると、

$$P(t+\mathrm{\Delta }t)\approx P(t)+(\rho P(t)-x)\mathrm{\Delta }t$$

または

$$\frac{P(t+\mathrm{\Delta }t)-P(t)}{\mathrm{\Delta }t}\approx \rho P(t)-x$$

$\mathrm{\Delta }t\to 0$とし、$P^{\prime }(t)$を使えば線型微分方程式を使うことができる。

$$P^{\prime }(t)-\rho P(t)=-x$$

$P(T)$について解くと、

$$P(T)=P_o{e}^{\rho T}-\frac{x}{\rho }(e^{\rho T}-1)$$

これは$T$時点で残っている負債である。支払い$x$を決定するために、$P(T)=0$を仮定して解くと、

$$x_c=\frac{P_o\rho e^{\rho T}}{e^{\rho T}-1}$$

$x=x(t)$としてパラメータ化すると、

$$x(t)=P(t)\frac{\rho (t)e^{\rho (t)(T-t)}}{e^{\rho (t)(T-t)}-1}$$

この式を線型微分方程式に代入する。

$$P^{\prime }(t)-\rho (t)P(t)+P(t)\frac{\rho (t)}{1-e^{-\rho (t)(T-t)}}=0$$

$$\alpha (t)=\rho (t)\frac{e^{-\rho (t)(T-t)}}{1-e^{-\rho (t)(T-t)}}$$

とすると、

$$P^{\prime }(t)+\alpha (t)P(t)=0$$

$P(t)$について解くと、

$$P(t)=P_o\exp \{-{\int }_0^t\frac{\rho (\tau )e^{-\rho (\tau )(T-\tau )}}{1-e^{-\rho (\tau )(T-\tau )}}d\tau \}$$

$P(T)=0$として構成すれば、支払い完了期間がわかる。

ローン支払い

$$P^{\prime }(t)-\rho (t)P(t)=-x$$という形式は、以下のように置き換えられる。

$$P(t)e^{-{\int }_0^t\rho (\tau )d\tau }=P_o-x{\int }_0^t{e}^{-{\int }_0^{\tau }\rho (\sigma )d\sigma }d\tau$$

支払い完了時点$P(T)=0$を使えば、

$$P_o=x{\int }_0^T{e}^{-{\int }_0^{\tau }\rho (\sigma )d\sigma }d\tau$$

現在価値

離散的には、$$PV=P_o=\frac{P_{12}(t)}{(1+r/12{)}^{12t}}$$ 連続的には、$$PV=P(t)e^{\rho t}$$ 微分方程式を解けば以下となる。

$$PV=P(t)e^{-{\int }_0^t\rho (\tau )d\tau }$$

保険

抵当貸付とローン支払いはどちらも保険の特殊型である。死亡するまで一定のキャッシュフローが利率xで支払われるのが保険という。保険が一定の量$K_o$で売れたとして、これは現在価値よりも高くなければならない。現在価値は、$$K_o\ge PV={\int }_0^{T}x{e}^{-\rho t}dt=\frac{x}{\rho }(1-e^{-\rho T})$$ ここで、$T$は死亡する時間であり、$\rho$は利率である。ここで問題がある、平均余命が確率変数であるということである。この問題はハザードレート関数で解決できる。

ハザードレート関数

$$h(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}Prob\{A|B\}$$

ここで、Aは$(t,t+\mathrm{\Delta }t)$内で死亡するイベントで、Bは$t$で生きているというイベントである。個人が$t$において生きている確率はサバイバー関数といい、$S(t)$で表す。$$S(t+\mathrm{\Delta }t)=Prob\{\overline{A}andB\}$$条件付き確率を用いれば、$$S(t+\mathrm{\Delta }t)=Prob\{\overline{A}|B\}Prob\{B\}$$

ハザード関数とサバイバー関数を結びつけるために以下の関係から導出する。$$S(t+\mathrm{\Delta }t)-S(t)=Prob\{\overline{A}|B\}Prob\{B\}-Prob\{B\}$$ $$S(t+\mathrm{\Delta }t)-S(t)=(Prob\{\overline{A}|B\}-1)S(t)=-(Prob\{A|B\})S(t)$$ $$S(t+\mathrm{\Delta }t)-S(t)=(-h(t)\mathrm{\Delta }t)S(t)+o(\mathrm{\Delta }t)$$

整理すると、$$\frac{S(t+\mathrm{\Delta }t)-S(t)}{S(t)\mathrm{\Delta }t}=-h(t)+\frac{o(\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

$\mathrm{\Delta }t\to 0$において、$$\frac{S^{\prime }(t)}{S(t)}=-h(t)$$ $$\ln S(t)-\ln S(0)=-{\int }_0^{t}h(\tau )d\tau$$ 明らかに$S(0)=1$なので、$$S(t)=\exp (-{\int }_0^{t}h(\tau )d\tau )$$

$$1-S(t)=Prob\{個人がtの前に死ぬ\}$$ $$F(t)=Prob\{T\le t\}=1-S(t)$$ $$f(t)=F^{\prime }(t)=-S^{\prime }(t)$$ $$f(t)=h(t)S(t)$$

期待寿命

$$E(T)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}tf(t)dt$$ $$E(T)=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{S}^{\prime }(t)dt$$ $$E(T)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}S(t)dt$$

年金保険問題

現在価値は以下で与えられるのだった。$$Y=\frac{x}{\rho }(1-e^{-\rho T})$$ ここから確率関数に代入すると、$$Prob\{Y\le y\}=Prob\{T\le -\frac{1}{\rho }\ln (1-\frac{\rho y}{x})\}$$ ここでCDF$F_Y(y)$とすると、$$F_Y(y)=Prob\{Y\le y\}=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1-S(-\frac{1}{\rho }\ln (1-\frac{\rho y}{x})))\cdots \rho y\le x\\ 1\cdots else\end{array}\end{array}$$ 確率密度関数$f_Y(y)$は、$$f_Y(y)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}-\frac{1}{x-\rho y}{S}^{\prime }(-\frac{1}{\rho }\ln (1-\frac{\rho y}{x}))\cdots \rho y\le x\\ 0\cdots else\end{array}\end{array}$$ ここで$f(t)=-S^{\prime }(t)$であったことを使えば、$$f_Y(y)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-\rho y}f(-\frac{1}{\rho }\ln (1-\frac{\rho y}{x}))\cdots \rho y\le x\\ 0\cdots else\end{array}\end{array}$$ ここで適切な関数$f(y)=\lambda e^{-\lambda y}$をつかうと、$$f_Y(y)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{\lambda }{x}{(1-\frac{\rho y}{x})}^{\frac{\lambda }{\rho }-1}\cdots \rho y\le x\\ 0\cdots else\end{array}\end{array}$$ この関係を用いれば、$E(Y)$について、$$E(Y)=\frac{\lambda }{x}{\int }_0^{\frac{x}{\rho }}y{(1-\frac{\rho y}{x})}^{\frac{\lambda }{\rho }-1}dy$$ $z=\rho y/x$を代入し、部分積分すると$$E(Y)=\frac{x}{\lambda +\rho }$$ リスク評価のために分散$V(Y)$を導入すると、$$V(Y)={\int }_0^{x/\rho }{y}^2{f}_Y(y)dy-{\left(\frac{x}{\lambda +\rho }\right)}^2$$ $$V(Y)=\frac{\lambda x^2}{(\lambda +\rho {)}^2(\lambda +2\rho )}$$