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Gauss和の値は√±pになる

Gauss和

$p$を奇素数, $\zeta_p$は1の原始$p$乗根とする.

奇素数$p$に対し
$$ G_p = \sum_{i = 1}^{p - 1} \legendre{i}{p} \zeta_p^i $$
をGauss和とよぶ. ただし, $\legendre{i}{p}$はLegendreの記号.

このとき, 次の等式が成り立つ.

$$ G_p^2 = (-1)^{\frac{p - 1}{2}}p \text{.} $$

$G_p^2$を展開すると
\begin{align} G_p^2 &= \left(\sum_{i = 1}^{p - 1} \legendre{i}{p} \zeta_p^i\right) \left(\sum_{j = 1}^{p - 1} \legendre{j}{p} \zeta_p^j\right)\\ &= \sum_{1 \le i, j < p} \legendre{ij}{p} \zeta_p^{i + j} \end{align}
ここで, $k$を$i \equiv jk \pmod{p}$なる整数とすれば, $\legendre{i}{p} = \legendre{i^{-1}}{p}$であるから
\begin{align} \sum_{1 \le i, j < p} \legendre{ij}{p} \zeta_p^{i + j} &= \sum_{1\le i, k < p} \legendre{k}{p} \zeta_p^{i(1+ k)}\\ &= \sum_{k = 1}^{p - 1} \legendre{k}{p} \sum_{i = 1}^{p - 1} \zeta_p^{i(k + 1)} \end{align}
となる. この式の最後の辺で, $k = p - 1$のとき$\zeta_p^{i(1 + k)} = 1$となるから, その部分の和を前にだして
$$ G_p^2 = \legendre{-1}{p} (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 2} \legendre{k}{p} \sum_{i = 1}^{p - 1} \zeta_p^{i(k + 1)} $$
とできる. また$1\le k \le p - 2$のときは, $\zeta_p^{k + 1}$は巡回群$\set{1, \zeta_p, \zeta_p^2, \dotsc, \zeta_p^{p - 1}}$の生成元となるから, $\sum_{i = 1}^{p - 1} \zeta_p^{i(k + 1)} = -1$となる (これは多項式$X^p - 1= (X - 1)(X - \zeta_p) \cdots(X - \zeta_p^{p - 1})$の$X^{p - 1}$の係数から$1$を引いたものである). そして, $p$の平方剰余と非平方剰余は同じ数あるから$\sum_{k = 1}^{p - 1} \legendre{k}{p} = 0$, よって$\sum_{k = 1}^{p - 1} \legendre{k}{p} = -\legendre{-1}{p}$, ゆえに
$$ G_p^2 = \legendre{-1}{p}p $$
となり, 平方剰余の第一補充則により
$$ G_p^2 = (-1)^{\frac{p - 1}{2}}p $$
となる.

定理1より, 任意の素数$p$に対し$G_p = \sqrt{\pm p}$または$-\sqrt{\pm p}$のいずれかとなることがわかる. 実際は, 次の定理が成り立つ.

任意の奇素数$p$に対し
$$ G = \sqrt{(-1)^{\frac{p - 1}{2}}p} $$

この定理の証明はここでは述べないが, この定理を使って実際にいくつか具体的に計算をおこなう.

計算

ここでは, $i$を虚数単位とする.

$p = 7$の場合

$$ \legendre{2}{7} = 1, \legendre{3}{7} = -1, \legendre{5}{7} = -1, \legendre{-1}{7} = -1 $$
であるから, 定理2により
$$ \sqrt{-7} = \zeta_7 + \zeta_7^2 - \zeta_7^3 + \zeta_7^4 - \zeta_7^5 - \zeta_7^6 $$
となる. さらに, $\zeta_7 = \cos{\frac{2\pi}{7}} + i \sin{\frac{2\pi}{7}}$であり, $\Re\sqrt{-7} = 0$だから, 実部が打ち消し合って
\begin{align} \sqrt{-7} &= i\sin{\frac{2\pi}{7}} + i\sin{\frac{4\pi}{7}} - i\sin{\frac{6\pi}{7}} + i\sin{\frac{8\pi}{7}} - i\sin{\frac{10\pi}{7}} - i\sin{\frac{12\pi}{7}}\\ \sqrt{7} &= \sin{\frac{2\pi}{7}} + \sin{\frac{4\pi}{7}} - \sin{\frac{6\pi}{7}} + \sin{\frac{8\pi}{7}} - \sin{\frac{10\pi}{7}} - \sin{\frac{12\pi}{7}} \end{align}
となる.

$p = 13$の場合

$$ \legendre{2}{13} = -1, \legendre{3}{13} = 1, \legendre{4}{13} = 1, \legendre{5}{13} = -1, \legendre{6}{13} = -1, \legendre{7}{13} = -1, \legendre{8}{13} = -1, \legendre{9}{13} = 1, \legendre{10}{13} = 1, \legendre{11}{13} = -1, \legendre{12}{13} = 1 $$
であるから, 定理2により
$$ \sqrt{13} = \zeta_{13} - \zeta_{13}^{2} + \zeta_{13}^{3} + \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{12} \text{.} $$
そして, $p = 7$の場合と同様にして
$$ \sqrt{13} = \cos{\frac{2\pi}{13}} - \cos{\frac{4\pi}{13}} + \cos{\frac{6\pi}{13}} + \cos{\frac{8\pi}{13}} - \cos{\frac{10\pi}{13}} - \cos{\frac{12\pi}{13}} - \cos{\frac{14\pi}{13}} - \cos{\frac{16\pi}{13}} + \cos{\frac{18\pi}{13}} + \cos{\frac{20\pi}{13}} - \cos{\frac{22\pi}{13}} + \cos{\frac{24\pi}{13}} $$
が得られる.