Gauss和の値は√±pになる

Gauss和

$p$を奇素数, ${\zeta }_p$は1の原始$p$乗根とする.

このとき, 次の等式が成り立つ.

定理1より, 任意の素数$p$に対し$G_p=\sqrt{\pm p}$または$-\sqrt{\pm p}$のいずれかとなることがわかる. 実際は, 次の定理が成り立つ.

この定理の証明はここでは述べないが, この定理を使って実際にいくつか具体的に計算をおこなう.

計算

ここでは, $i$を虚数単位とする.

$p=7$の場合

$$\left(\frac{2}{7}\right)=1,\left(\frac{3}{7}\right)=-1,\left(\frac{5}{7}\right)=-1,\left(\frac{-1}{7}\right)=-1$$
であるから, 定理2により
$$\sqrt{-7}={\zeta }_7+{\zeta }_7^2-{\zeta }_7^3+{\zeta }_7^4-{\zeta }_7^5-{\zeta }_7^6$$
となる. さらに, ${\zeta }_7=\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}$であり, $\mathrm{Re}\sqrt{-7}=0$だから, 実部が打ち消し合って
$$\begin{array}{rl}\sqrt{-7}& =i\sin \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{4\pi }{7}-i\sin \frac{6\pi }{7}+i\sin \frac{8\pi }{7}-i\sin \frac{10\pi }{7}-i\sin \frac{12\pi }{7}\\ \sqrt{7}& =\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}-\sin \frac{6\pi }{7}+\sin \frac{8\pi }{7}-\sin \frac{10\pi }{7}-\sin \frac{12\pi }{7}\end{array}$$
となる.

$p=13$の場合

$$\left(\frac{2}{13}\right)=-1,\left(\frac{3}{13}\right)=1,\left(\frac{4}{13}\right)=1,\left(\frac{5}{13}\right)=-1,\left(\frac{6}{13}\right)=-1,\left(\frac{7}{13}\right)=-1,\left(\frac{8}{13}\right)=-1,\left(\frac{9}{13}\right)=1,\left(\frac{10}{13}\right)=1,\left(\frac{11}{13}\right)=-1,\left(\frac{12}{13}\right)=1$$
であるから, 定理2により
$$\sqrt{13}={\zeta }_{13}-{\zeta }_{13}^2+{\zeta }_{13}^3+{\zeta }_{13}^4-{\zeta }_{13}^5-{\zeta }_{13}^6-{\zeta }_{13}^7-{\zeta }_{13}^8+{\zeta }_{13}^9+{\zeta }_{13}^{10}-{\zeta }_{13}^{11}+{\zeta }_{13}^{12}\text{.}$$
そして, $p=7$の場合と同様にして
$$\sqrt{13}=\cos \frac{2\pi }{13}-\cos \frac{4\pi }{13}+\cos \frac{6\pi }{13}+\cos \frac{8\pi }{13}-\cos \frac{10\pi }{13}-\cos \frac{12\pi }{13}-\cos \frac{14\pi }{13}-\cos \frac{16\pi }{13}+\cos \frac{18\pi }{13}+\cos \frac{20\pi }{13}-\cos \frac{22\pi }{13}+\cos \frac{24\pi }{13}$$
が得られる.

一般化

定理1から, 任意の2次代数体がある円分体に含まれることがわかる. この一般化として, 次の定理が成り立つ.